- •Содержание
- •1. ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ ПО РАБОТЕ НАД КУРСОМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
- •2. ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
- •3. ПРОГРАММА
- •3.1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •3.2. Введение в математический анализ
- •3.3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •3.4. Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков
- •4. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
- •4.1. Матрицы
- •4.3. Скалярное произведение векторов
- •4.4. Векторное произведение векторов
- •4.5. Смешанное произведение векторов
- •4.6. Прямая и плоскость
- •4.7. Линии второго порядка
- •4.8. Поверхности второго порядка
- •5. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
- •5.1. Предел числовой последовательности. Предел функции
- •6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
- •6.1. Дифференцирование функций
- •6.2. Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •6.3. Приложение теорем Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя
- •6.4. Формула Тейлора и ее приложения
- •7.1. Исследование функций на экстремум. Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты
- •7.2. Исследование функций и построение их графиков
- •КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
- •Литература
метрический и механический смысл производной. Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственной кривой.
28. Кривизна плоской линии. Радиус кривизны и круг кривизны. Понятие эволюты и эвольвенты. Кривизна и кручение пространственной кривой. Формулы Френе.
4. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
4.1. Матрицы
Прямоугольная таблица из чисел вида
a |
a |
K a |
|
|
|
11 |
12 |
1n |
|
a21 |
a22 |
K a2n |
|
|
A = |
|
|
|
, |
|
K |
K |
K K |
|
|
|
am2 |
|
|
am1 |
K amn |
|
состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размеров m × n.
Матрица A−1 называется обратной к квадратной матрице А, если
A−1A = AA−1 = E , где Е – |
единичная матрица. Для невырожденной |
||||||||
матрицы |
A = (aij ), i, j = 1, 2,K, n, det A ¹ 0 , где det A – опреде- |
||||||||
литель матрицы А, существует единственная обратная матрица |
|||||||||
|
|
|
|
|
A |
A |
K A |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
21 |
n1 |
|
|
|
A−1 = |
1 |
|
A12 |
A22 |
K An2 |
|
, |
|
|
|
|
|
K |
K |
K K |
|
||
|
|
|
|||||||
|
|
det A |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
A1n |
A2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
K Ann |
|
|||
где Aij – |
алгебраические дополнения элементов aij |
матрицы А. |
Если матрица А – вырожденная (det A = 0) , то обратной к ней не существует.
15
П р и м е р 4.1. Найти матрицу A−1 , обратную к матрице
|
1 |
− 1 |
0 |
|
|
− 2 |
|
|
|
A = |
3 |
4 |
. |
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|
|
Так как det A = -10 ¹ 0 , то A – невырожденная и A−1 существует. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A :
A11 = (−1)1+1 3 4 = 1(6 − 8) = −2 ; 2 2
A11 = −2, |
|
A12 = 8, |
A13 = −7, |
|
|
|||||||
A21 = 2, |
|
A22 = 2, |
A23 = −3, |
|
|
|||||||
A31 = −4, |
|
A32 = −4, |
A33 = 1. |
|
|
|||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
− 2 |
2 |
− 4 |
|
|
0,2 |
− 0,2 |
0,4 |
|
||
A−1 = − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
2 |
− 4 |
|
= |
− 0,8 |
− 0,2 |
0,4 |
. |
|||
|
||||||||||||
10 |
|
− 7 |
− 3 |
1 |
|
|
0,7 |
0,3 |
0,1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
4.2. Системы линейных уравнений. Матричный метод. Правило Крамера. Метод Гаусса
Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными вида
a11x1 + a12x2 + K + a1n xn = b1; |
|
||||
a x + a x + K + a x = b ; |
|
||||
|
21 1 |
22 2 |
2n n |
2 |
(4.1) |
|
|
|
|
|
|
|
K |
K K |
K |
K |
|
a x + a x + K + a x = b , |
|
||||
|
n1 1 |
n2 2 |
nn n |
n |
|
или, в матричной форме
16
А Х = В,
где
|
a |
a |
K a |
|
x |
|
b |
|
|
|
|
11 |
12 |
12 |
|
1 |
|
1 |
|
A = |
a21 |
a22 |
K a21 |
|
x2 |
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
; X = |
|
; B = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
K K K K |
|
K |
K |
||||
|
|
|
an2 |
K ann |
|
|
|
|
|
|
an1 |
|
xn |
|
bn |
|
Рассмотрим некоторые методы решения системы (4.1). Формулы Крамера. Если система (4.1) невырождена, то она
имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:
xi = i , i = 1, 2, K, n,
где i – определитель, получаемый из определителя заменой его
i-го столбца на столбец В свободных членов.
Матричный метод.
Решение невырожденной системы (4.1) можно найти по формуле
X = A−1B .
Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).
С помощью элементарных преобразований над строками система m линейных уравнений с n неизвестными может быть приведена к виду
c11x1 + c12 x2 + K+ c1r xr + K+ c1n xn = d1; |
|
||
c22 x2 + K+ c2r xr + K+ c2n xn = d2 |
|
|
|
|
|
||
K K K K |
K |
|
|
crr xr + K+ crn xn = dr; |
|
||
, (4.2) |
|||
0 |
= d |
r +1 |
; |
|
|
|
|
K K |
|||
0 = dm , |
|
||
|
17
где cii ¹ 0 (i = 1, 2, K, r), r £ n.
Система (4.2) эквивалентна исходной системе. Если хотя бы одно из чисел dr +1,K, dm отлично от нуля, то система (4.2), а следова-
тельно, и исходная система несовместны. Если же dr+1 = dr+2 =...=
= d = 0, то система совместна и из уравнений (4.2) выражают по-
m
следовательно неизвестные xr , xr−1,K, x2, x1 через xr +1, xr+2,K, xn .
П р и м е р 4.2. Методом Гаусса решить систему
2x1 + 3x2 |
+ 5x3 = 12; |
||
|
x1 - 4x2 |
+ 3x3 = -22; |
|
|
|||
|
3x |
- x |
- 2x = 0. |
|
1 |
2 |
3 |
Р е ш е н и е . Расширенная матрица системы имеет вид
2 |
3 |
5 |
12 |
|
|
|
|
- 4 |
|
- 22 |
|
1 |
3 |
. |
|||
|
3 |
-1 |
- 2 |
0 |
|
|
|
Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы, получаем
2 3 |
5 |
12 [1] |
1 - 4 3 |
- 22 [2] |
|
|||||||
|
|
- 4 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
® |
|
1 |
- 22 |
® 2 |
3 |
5 |
12 |
|||||||
|
3 |
-1 |
- 2 |
0 |
|
|
3 |
- 2 |
- 2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 - 4 |
3 |
- 22 [3] |
1 - 4 |
3 |
- 22 |
||||||
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
® 0 |
11 |
56 |
® 0 |
11 |
56 , |
||||||
|
0 |
11 |
-11 |
66 |
|
|
0 |
0 |
-10 |
10 |
|
|
|
|
|
где цифрами [1], [2], [3] обозначены следующие операции:
18
[1] – первую и вторую строки поменяли местами; [2] – ко второй строке прибавили первую, умноженную на (–2); к третьей прибавили первую, умноженную на (–3); [3] – к третьей строке прибавили
вторую, умноженную на (–1).
Этой матрице соответствует система
x1 − 4x2 + 3x3 = −22; |
||
|
11x2 − x3 |
= 56; |
|
||
|
− 10x3 |
= 10. |
|
Отсюда последовательно находим
x = |
10 |
= -1; 11x = 56 + x ; x = |
56 -1 |
= 5; |
|||
|
|
||||||
3 |
-10 |
2 |
3 |
2 |
|
11 |
|
|
x1 = -22 + 4x2 - 3x3; x1 = 1. |
|
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
Ответ: |
x1 = 1, x2 = 5, x3 = -1. |
П р и м е р 4.3. Решить систему уравнений
2x1 − x2 + x3 = 0; |
||||||
3x |
− 2x |
2 |
− x |
3 |
= 5; |
|
|
1 |
|
|
|
||
|
x |
+ x |
2 |
+ x |
3 |
= 6, |
|
1 |
|
|
|
используя формулы Крамера.
Р е ш е н и е . Так как определитель данной системы
|
|
2 |
-1 |
1 |
|
|
|
|
|||||
D = |
|
3 |
- 2 |
-1 |
|
= 7 ¹ 0, |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то матрица А невырождена и система имеет единственное решение. Находим определители D1, D2 , D3 :
19