14.Привести квадратичную форму и ее свойства. Критерии Сильвестора.

Квадратичная форма

Пусть задана линейная динамическая система следующего вида: = Ax + Bu , u(t) º 0 .

Рассмотрим свободную систему вида: = Ax

Выберем функцию следующего вида: V = xT Px , (1.2.10) где P( n× n ) – постоянная матрица; причем PT = P –симметрическая матрица, т. е. Pij = Pji ∀i, j = 1, n .

Квадратичную форму (вида 1.2.10) будем рассматривать в качестве функции Ляпунова, но прежде рассмотрим свойства квадратичной формы.

Свойства квадратично формы

Критерии Сильвестра

Критерии 1. Квадратичная форма является знака определенной положительной, если все главные диагональные миноры матрица P положительный.

Матрица P>0 –матрица P положительно определение, т.е.

P₁₁ >0, P₁₁ P₁₂ >0;… det P>0.

P₂₁ P₂₂

Критерии 2. Квадратичная форма является знака определенной отрицательной, если знаки главных диагональных миноров чередуются, начиная с отрицательного знака.

Матрица P<0 –матрица P положительно определение, т.е.

P₁₁ > 0, P₁₁ P₁₂ >0; P₁₁ P₁₂ P₁₃ … det P>0.

P₂₁ P₂₂ P₂₁ P₂₂ P₂₃ <0 и т.д.,

P₃₁ P₃₂ P₃₃

Т.е знаки чередуются, начиная с отрицательного знака.

15. Сформулировать теоремы второго (прямого) метода а.М.Ляпунова об устойчивости движения динамической системы. . Привести геометрическую интерпретацию.

Теоремы ВТОРОГО метода Ляпунова.Привести геометрическую интерпритацию

=F(x_1, x₂,…….x_n) (1.2.9.a)

Теорема 1. Если для системы (1.2.9.a) существует знакоопределенная положительная функция V(x) в области Д, полная производная которой по времени , взятая в силу системы (1.2.9.a), является функцией знакоопределенной отрицательной; то невозмущенное движение х=0 асимптотический устойчиво по Ляпунову.

Если функция V(x) удовлетворяет условиям определения 2, то есть функция V(x) является знакоопределенной положительной:

∫- значит в одной системе.

А ее полная производная является знакоопределенной отрицательной. Т.е.

,Где

градиент скалярной функции V(x)

Где -правая часть уравнения (1.2.9.a), то невозмущенное движение асимптотический устойчиво по Ляпунову, то есть lim x(t)=0 при t→∞

Теорема 2. Если для системы (1.2.9.a) существует в области Д знакоопределенная положительная функция V(x), полная производная которой по времени , взятая в силу системы (1.2.9.a) является функцией знакоопостоянной отрицательной; то невозмущенное движение х=0 устойчиво по Ляпунову.

Если то невозмущенное движение устойчиво по Ляпунову, причем где Х_к – конечное значение; которое на доходит до начала координат.

Теорема 3. Если для системы (1.2.9.a) в области Д существует знакоопределенная положительная функция V(x), полная производная которой по времени , взятая в силу системы (1.2.9.a) в некоторой части области Д,содержащей в себе начало координат; совпадает по знаку со знаком функции V(x), то невозмущенное движение х=0 устойчиво по Ляпунову.

Если то невозмущенное движение неустойчиво по Ляпунову.