12. Показать процедуру диагонализации илипроцедуру приведения математического описания системы к каноническому виду.

Процедура диагонализации или приведения к каноническому виду

Диагональная матрица Λ по определению равна

Λ = diag(𝜆1, ... , 𝜆n ).

Предположим, что матрица собственных векторов известна. Получим произведение

Λ V = [𝜆1V1 , ... , 𝜆n Vn ] (𝜆i = const).

Учитывая (1.1.19), запишем_iV_i = АV_i или (A - _iI)V_i=0

V Λ = А (V1 , ... ,Vn ) = АV,

откуда Λ = V-1АV .

Эта процедура и называется диагонализацией матрицы А(т. е. получение диагональной матрицы Λ через исходную матрицу А).

Следует отметить, что диагонализация матрицы А осуществляется, если ее собственные значения различны.

Используя V как матрицу преобразования, получим следующие канонические уравнения состояния и наблюдения: (производится замена переменных x = Vx* )

AVx^*  Bu ;

^Здесь Λ = V ¹ AV ^, B^* V ^1 B ^, C ^* CV ^.

Через x* обозначен преобразованный вектор состояния. В скалярной форме имеем следующую систему

Следовательно, каноническое преобразование приводит к системе уравнений состояния, в котором каждая производная (канонической) переменной состояния зависит толькоот соответствующей (канонической) переменной состояния иот входных сигналов.

13.Сформулировать теоремы А.М.Ляпунова об устойчивости движения системы по первому приближению. Привести геометрическую интерпретацию.

.

Теоремы A.M. Ляпунова об устойчивости по первому при­ближению (первый метод Ляпунова)

Теорема 1. Если вещественные части всех корней λ_i (i=1,n) характеристического уравнения det(A λI)=0 первого приближения dx_i/dt= a_i1x₁+ a_i2x₂+…+ a_inx_n, i=1,n отрицательны, то невозмущенное движение Δx_i=0 асимптотически устойчиво, т.е. если Reλ_i(A)<0 i=1,n, то lim Δx_i(t)=0

Теорема 2. Если среди корней λ_i характеристического уравнения det(A λI)=0 первого приближения dx_i/dt= a_i1x₁+ a_i2x₂+…+ a_inx_n, i=1,n имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво, т.е. если Reλ_k(A)>0, k≠i, хотя Reλ_i(A)<0 и ||Δx_i0||<ε_i i=1,n

Геометрическая трактовка условия устойчивости по Ля­пунову в пространстве трех переменных (рис. 1.2, а): если при возмущениях, не выведших точку B₀ (x₁₀, x₂₀, x₃₀) за грани­цу сферы Y, возмущенное движение будет таково, что точка не выйдет за границу сферы E (В_k, то оно устойчиво.

Замечание. Если среда корней характеристического уравнения имеется один или несколько нулевых корней, а вещественные части остальных корней отрицательны, то этот случай называется критическим.

Система уравнений в критическом случае называется нейтрально устойчивой системой.

В критическом случае устойчивость невозмущенного движения не может быть оценена по первому приближению.

Итак, в соответствии с теоремами Ляпунова:

1. Движение линейной системы устойчиво, причем устой­чиво асимптотически, если все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, т.е. Re λ (A) < 0

2. Движение линейной системы неустойчиво, если среди корней ее характеристического уравнения есть хотя бы один корень с вещественной положительной частью Re λ_i (A) < 0 Vi= Re λ_k (A) > 0.

3. Движение линейной системы нейтрально устойчиво, ес­ли среди ее корней характеристического уравнения один нуле­вой, а у остальных - отрицательные вещественные части Re λ_i (A) < 0 Vi= Re λ_k (A) = 0 i ≠ k.