- •1. Записать решение однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, представленной в форме Коши, в скалярной и матричной формах.
- •2. Что выражает общее и частное решение системы дифференциальных уравнений в теории управления:
- •3. Показать, каким образом экспоненциальная матрица записывается степенным рядом
- •5. Получить систему линеаризованных уравнений состояния обьекта и систему уравнений наблюдения разложением в ряд Тейлора в окрестности рабочего режима
- •6. Получить систему линеаризованных уравнений состояния обьекта в пространстве состояний при малых отклонениях
- •7.Получить линеаризованные математическое описание динамической системы первого приближения, если нелинейные функции допускают разложение их в степенные сходящиеся ряды.
- •8. Как определяются собственные числа матрицы? Показать прямой метод определения собственных векторов матрицы.
- •9. Как можно сформулировать устойчивость системы на физическом уровне без использования критериев устойчивости?
- •12. Показать процедуру диагонализации илипроцедуру приведения математического описания системы к каноническому виду.
- •14.Привести квадратичную форму и ее свойства. Критерии Сильвестора.
- •15. Сформулировать теоремы второго (прямого) метода а.М.Ляпунова об устойчивости движения динамической системы. . Привести геометрическую интерпретацию.
- •16.Привести построение функции а.М.Ляпунова для линейных систем.
- •17.Привести определения устойчивости динамической системы в малом в большом в целом
- •18. Показать между математическим описанием динамической системы в пронстранстве состояний в обычной форме математическим описанием системы в канонической форме.Сделать соответствующий вывода
6. Получить систему линеаризованных уравнений состояния обьекта в пространстве состояний при малых отклонениях
Все процессы (ОУ) в природе нелинейные. Решать задачи анализа и синтеза САУ для нелинейных ОУ достаточно сложно. Поэтому, если это возможно, нелинейные процессы линеаризуют, а затем для решения различных задач используют классический математический аппарат линейных САУ.
Итак пусть нелинейный процесс описывается следующим уравнением
(1)
Где x(n*1)- мерный вектор состояния;
u(n*1) -мерный вектор управления;
f(n*1)-мерная вектор-функция.
Нелинейный процесс можно линеаризовать относительно некоторого рабочего состояния, если на вход подать небольшое возмущение
Если на входе процесса, то приращение получат и векторx.f. т. е.
δ (2)
Вычитая уравнения (2) уравнения(1), получим
Где означает частная производная в окрестности рабочей точки
Обозначим
A=
Тогда уравнения(3) перепишется в следующем виде
Которое называется линеаризованным при малых возмущениях.
7.Получить линеаризованные математическое описание динамической системы первого приближения, если нелинейные функции допускают разложение их в степенные сходящиеся ряды.
8. Как определяются собственные числа матрицы? Показать прямой метод определения собственных векторов матрицы.
Если для матрицы А некоторый векторудовлетворяет следующему уровнению:
, то 𝜆 называется собственным числом матрицы А,(𝜆-скаляр); .
Решим задачу нахождения собственного числа и обственного вектора. Если перенесем переменные в левую часть последего уровнения и вынесем вектор вправо, то получим следующее уровнение:
,
где 0-нулевой вектор, т.е. 0=.
Для того уравнение имело решение, необходимо, чтобы определить матрицы был равен нулю,т.е.
Раскрыть определить, получаем полиномиальное уравнения следующим вида:
(1)
Где –коэффициенты характеристического полинома.
Полученное уравнение и называется характеристическим уравнением матрицыА. Корни характеристического полинома (1)называется собственными значениями (собственными числами)матрицы А.
Прямой определение собственных векторов
Пусть имеем линейное однородное уравнение
Заданы начальные условия Х(0) =Х0 ≠ 0.
Решение имеет вид
(1.1.17 или в векторной форме
Х (t) = V exp(𝜆t) = exp(t) + ... +Vn exp(t),
где vij – собственные векторы (i, j =), Vi – вектор столбец .
Это так называемое каноническое преобразование, в кото- ром матрицей линейного преобразования является матрица собственных векторов V. Возвращаясь к дифференциальному уравнению (),можем записать
=АV exp(t)=А[V1 exp(1t) + ... + Vn exp(nt)] .. (1.1.18) Дифференцирование уравнения (1.1.17) по t дает
= 1 V1 exp(1t) + … + n Vn exp(nt)
Так как левые части уравнений (1.1.16) и (1.1.18) равны, то и правые должны быть равны. Отсюда находим, что собственные векторы Vi удовлетворяют (для случая, когда все i различны) следующему соотношению: iVi exp(it) = АVi exp(it).
Поделив обе части уравнения на exp(it) ≠ 0,получим iVi = АVi или (A - iI)Vi=0 (.) (1.1.19)
Следовательно, собственные векторы Vi (соответствующие собственным значениям 𝜆i) можно определить из уравнения (1.1.19). Если матрица А имеет "n" различных собственных значений, то собственные векторы Vi являются линейно независимыми. Так как матрица А I) системы (1.1.13) имеет ранг, который не превосходит величины (n-1), то каждый из собственных векторов Vi определяется с точностью до произвольного множителя