9. Как можно сформулировать устойчивость системы на физическом уровне без использования критериев устойчивости?

Физическое понятие устойчивости. Устойчивость является одним из необходимых условий, обеспечивающих нормальное функционирование динамической системы управления. Линейная система устойчива, если ее реакция на любое ограниченное воздействие также ограничена, и неустойчива, если ее реакция на ограниченное воздействие неограниченна.

10. Дать определение устойчивости невозмущенного движение динамической системы.

Определение. Заданное невозмущенное движение будет устойчивым, если в результате приложения внешних сил, которые затем снимаются, возмущенное движение по истечении некоторого времени войдет в заданную область:

│(t)│≤ >0,=const; (i=).

Рассмотрим вопрос устойчивости более подробно. Впервые строгое определение устойчивости было задано русским ученным А.М. Ляпуновым в 1892г. Пусть динамическая система описывается нелинейными дифференциальными уравнениями в форме Коши:

=(i=); x= (i=).(1)

=F(x); = F(x)=- Нелинейный вектор – функции векторного аргумента.

Если при t = заданы начальные значения , то решение может быть представлено в виде,i= .

Пусть установившийся процесс (рабочий режим) в системе характеризуется координатами , (i= ). Введем отклонения координат-(i= ), характеризующие отклонения процесса от установившегося.

Систему уравнений (1) перепишем для отклонений:=(i= ) (2)

Где – некоторые нелинейные функции. Уравнения (2) называютсяуравнениями возмущенного движения. Начальные значения отклонений , (i= ) носят названиевозмущений. Решение возмущенного движение системы (2) для некоторых начальных отклонений

представляет собой возмущенное движение.

А.М. Ляпунов дал следующие определения устойчивости.

Определение1. Невозмущенное движение называется устойчивым по Ляпунову по отношению к переменным , если при всяком заданном положительном числе ξ > 0, как бы мало оно ни было, возможно выбрать другое положительное число0 такое, что для всех возмущений, удовлетворяющих условию

< (3)

Возмущенное движение (2) будет для времени t > удовлетворять неравенству

< (4) Здесь под нормой будем понимать =

Определение2. Невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым, по Ляпунова , если в дополнение к первому определению выполняется условие. (i= ). (5)

Определение3. Невозмущенное движение называется не устойчивым, по Ляпунову, если существует какой-либо момент времени t = > при котором нарушается условие (4) т.е.≥(i= ).

Геометрическая интерпретация

Р1. Движение системы Устойчиво Рис2. ДС асимптотически ус-во Р3. Движение неустойчивой системы

11. Привести опрделения А.М.Ляпунова об устойчивости движения системы по первому приближению. Привести геометрическую интерпретацию

Определение. Невозмущенное движение называется устойчивым по Ляпунову по отношению к переменным , если при всяком заданном положительном числе ξ > 0, как бы мало оно ни было, возможно выбрать другое положительное число0 такое, что для всех возмущений, удовлетворяющих условию

< (3)

Возмущенное движение (2) будет для времени t > удовлетворять неравенству < (4)

Здесь под нормой будем понимать = (2)

Движение системы Устойчиво

Для исследования устойчивости принципиально важны следующие две теоремы Ляпунова А.М.

ТЕОРЕМА 1. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближения отрицательны, то невозмущенное движение Δасимптотически устойчиво, т.е. еслиRe λ (A) < 0 , то lim .

ТЕОРЕМА 2. Если среди корней λ_i характеристического уравнения первого приближения имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то невоз­мущенное движение неустойчиво, т. е. если Re λ_k (A) > 0, k ≠ i, хотя Re λ_k (A) < 0 и ,х.