Запас устойчивости по амплитуде – это величина, показывающая, во сколько раз можно увеличить или уменьшить передаточный коэффициент системы при неизменных значениях всех остальных параметров, чтобы устойчивая прежде система оказалась на границе устойчивости:

H= –H_дб (ω_π). (7)

Если замкнутая система устойчивая, то она имеет запасы устойчивости и по амплитуде и по фазе.

На рис.1-4 показаны различные варианты применения критерия Найквиста-Михайлова.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Рассмотрим примеры определения устойчивости системы по критерию Найквиста-Михайлова.

Пример 1. Определить устойчивость замкнутой системы, если передаточная функция разомкнутой системы

Решение: Для определения устойчивости замкнутой системы по критерию Найквиста-Михайлова необходимо построить годограф Найквиста-Михайлова, т.е. амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы, описываемую выражением: Для построения АФХ воспользуемся возможностями программыMatLab. Ниже приведена программа, осуществляющая построение АФХ для 200 значений частоты в диапазонеа также таблица значений частоты, вещественной -и мнимой -частотных характеристик, по которым можно вручную построить график АФХ.

>>w=logspace(-2,2,200); %Создаем 200 значений частоты , равностоящих друг от друга в логарифмическом масштабе.

>>WW=10./((0.6*j*w+1).*(0.4*j*w+1).*(0.1*j*w+1)); %Записываем выражение для функции, которая будет вычислять значения АФХ.

>>plot(real(ww),imag(ww),real(ww),-imag(ww)); %Создаем график зависимости мнимой частотной характеристики от вещественной как для положительных так для отрицательных частот рис.5.

>>grid on %Наносим сетку.

Выведем таблицу зависимости вещественной и мнимой частотных характеристик от частоты , содержащую каждое 20-е значение от данных, хранящихся в рабочем пространстве.

>>i=1:10;

>> P(i)=real(ww(i*20)); %Выведем каждое 20-е значение от вещественной, мнимой характеристик и частоты .

>> Q(i)=imag(ww(i*20));

>> wp(i)=w(i*20);

>> [wp;P;Q] %Объединяем эти данные в таблицу из 3-х строк и 10-ти столбцов и выводим в командное окно.

ans =

Columns 1 through 7

0.0241 0.0608 0.1534 0.3872 0.9771 2.4658 6.2226

9.9950 9.9679 9.7974 8.7802 4.3189 -1.5992 -0.8158

-0.2649 -0.6675 -1.6661 -3.9277 -6.7302 -3.5252 -0.0712

Columns 8 through 10

15.7029 39.6269 100.0000

-0.0658 -0.0022 -0.0001

0.0601 0.0061 0.0004

Из графика на рис.5 видно, что АФХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами -1,j0 (нет пересечений АФХ с отрезком вещественной оси). Следовательно система в замкнутом состоянии будетустойчивой.

Рис.5

Пример 2. Определить устойчивость замкнутой системы, если передаточная функция разомкнутой системы

Решение: Так же как и в предыдущем примере строим АФХ разомкнутой системы для диапазона частотой от 0,01 до 10^2,5=316,22 1/сек. График построенной АФХ приведен на рис.6. Поскольку передаточная функция содержит одно интегрирующее звено в точкеАФХ будет претерпевать разрыв, причем приращение фазы прибудет равно. Это изменение фазы условно показано в виде кривой, с нанесенными на нее стрелками. На рис.6б показан график АФХ в увеличенном масштабе. На графике видно, что АФХ разомкнутой системы дважды пересекает сверху вниз отрезок вещественной оси точке -1,25. Следовательно система в замкнутом состоянии будетнеустойчивой.

>>w=logspace(-2,2.5,200);

>>WW=2./((j*w).*(1.5*j*w+1).*(0.8*j*w+1).*(0.1*j*w+1));

>> plot(real(WW),imag(WW),real(WW),-imag(WW))

>> grid on

а) б)

Рис.6.

Пример 3. Определить устойчивость замкнутой системы, если передаточная функция разомкнутой системы

Решение: Так же как и в примере 1 строим АФХ разомкнутой системы для диапазона частот от 10^-2=0,01 до 10^2,5=316,22 1/сек. Программа, реализующая построение АФХ приведена ниже.

>>w=logspace(-2,2.5,200);

>>WW=5./((j*w).^2.*(1.5*j*w+1).*(0.8*j*w+1).*(0.1*j*w+1));

>> plot(real(WW),imag(WW),real(WW),-imag(WW))

>> grid on

Рис.7.

График АФХ приведен на рис.7. Поскольку передаточная функция разомкнутой системы имеет 2 интегрирующих звена, при амплитудно-фазовая характеристика получает приращение фазыНа рис.7 это условно показано с помощью кривых меньшей толщины, чем кривые, соответствующие АФХ. Как видно из рис.7 АФХ пересекает вещественную ось дважды снизу вверх на участке. Следовательно система в замкнутом состояниинеустойчива.

Пример 4. Определить устойчивость замкнутой системы, если передаточная функция разомкнутой системы

.

Решение: Строим АФХ разомкнутой системы для диапазона частот ω от 10^-2 = 0,01 до 10^2,5 = 316,22 1/сек.

Программа реализующая построение АФХ для 200 значений частоты, приведена ниже.

>>w=logspace(-2,2.5,200)

>>WW=5./((1.5*j*w+1).*(0.8*j*w-1));

>>plot(real(WW),imag(WW),real(WW),-imag(WW))

>> grid on

Рис. 8

График АФХ приведен на рис. 8. Передаточная функция разомкнутой системы имеет один правый корень, а АФХ разомкнутой системы пересекает отрезок вещественной оси в точке -5 в положительном направлении. Следовательно, система в замкнутом состоянии устойчива.

Задачи для самостоятельного решения.

Определить устойчивость замкнутой системы по критерию Найквиста-Михайлова по заданной передаточной функции разомкнутой W(s) при следующих значениях параметров к = 5; Т₁ = 1,5; Т₂ = 0,4; Т₃ = 0,1; Т₄ = 0,01; λ = 0,8.

Библиографический список

Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования, издание третье, исправленное. Москва, издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1995 г..

Есаков В. А., Дудко В. Г. Теория автоматического управления: учебно-метадическое пособие к выполнению расчётно-графических работ. Изд. ГОУ МГУЛ, 2005 г..

Есаков В. А., Дудко В. Г. Анализ линейных непрерывных систем: учебно-методическое пособие к выполнению самостоятельной работы. Изд. ГОУ МГУЛ, 2007 г..

Есаков В. А., Дудко В. Г. Анализ линейных непрерывных систем автоматического управления, 4.1: учебно-методическое пособие по лабораторным работам. Изд. ГОУ МГУЛ, 2008 г..

Есаков В. А., Дудко В. Г. Анализ линейных непрерывных систем автоматического управления, 4.2: учебно-методическое пособие по лабораторным работам. Изд. ГОУ МГУЛ, 2009 г..

Есаков В. А., Дудко В. Г. Матричные операции MATLAB в задачах теории автоматического управления: учебное пособие к выполнению расчётно-графических работ. Изд. ГОУ МГУЛ, 2010 г..

Основы теории проектирования систем автоматического управления. Изд. ГОУ МГУЛ, 2011 г..

Зайцев Г. Ф. Теория автоматического управления и регулирования. – 2-е изд., перераб. и доп. Киев, Издательство Выща школа Главное издательство, 2004 г..

Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003 г.. – 288 с. – ISBN 5-9221-0379-2.

Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления/ Под редакцией В. А. Бесекерского. – М. : Наука, 2003 г..

Оглавление

Предисловие………………………………………………………………….....3

Преобразование Лапласа……………………………………………...4

Структурные схемы систем автоматического управления…...…8

Временные функции САУ………………………………………..….18

Частотные функции и характеристики………………………........25

Построение логарифмических частотных характе­ристик…..….31

Построение корневых годографов…………………………..…….. 39

Алгебраические критерии устойчивости……………………..…...46

Частотный критерий устойчивости Найквиста-Михайлова…...53

Библиографический список…………………………………..….….61