- •Основы теории автоматического управления
- •2013 Г.
- •Предисловие
- •Преобразование Лапласа
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Структурные схемы систем автоматического управления
- •Задание для самостоятельного решения.
- •Временные функции сау.
- •Задание для самостоятельного решения.
- •Частотные функции и характеристики
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Построение логарифмических частотных характеристик.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Построение корневых годографов.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Алгебраические критерии устойчивости
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Частотный критерий устойчивости Найквиста-Михайлова
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Библиографический список
- •Оглавление
, (6)
и имеют углы наклона относительно положительного направления вещественной оси плоскостиS:
π ,i=0,1,2…|m-n|-1. (7)
4. Точки вещественной оси плоскости S справа от которых находится нечетное число нулей и полюсов функции обязательно принадлежат корневым годографам, а точки этой оси справа от которых находится четное число нулей и полюсов не могут принадлежать корневым годографам.
5. В некоторых точках вещественной оси плоскости S, принадлежащих корневым годографам, корневые годографы могут, встретившись, разойтись, один в верхнюю, а другой в нижнюю части плоскости S.
Сформулированные выше правила позволяют приближенно выполнить построение корневых годографов.
Рассмотрим некоторые примеры построения корневых годографов.
Построить корневые годографы для варьируемого параметра К для замкнутой системы, если передаточная функция разомкнутой системы:
Пример 1.
Решение: Характеристическое уравнение замкнутой системы . Представим его в виде. Отсюда видно, что количество нулей равно 0, а количество полюсов равно 4. Их значения можно получить, найдя корни знаменателя. Получаем
Наносим полюса на комплексную плоскость. В соответствии с правилом 2 все корневые годографы должны уйти в бесконечность. Число асимптот равно 4-0=4. Определим точку, расположенную на вещественной оси, в которой пересекаются асимптоты–7,5
Определим углы, которые асимптоты составляют с положительным направлением вещественной оси (правило 3).
Наносим асимптоты на комплексную плоскость, как показано на рис.2. На этом же рисунке показаны корневые годографы, которые выходят из полюсов и уходят в бесконечность, неограниченно приближаясь к нарисованным асимптотам.
Рис.2
Пример 2.
Решение: Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид
Отсюда .
Приравнивая к нулю числитель и знаменатель, получим нули и полюса корневых годографов
Наносим полюса и нулина комплексную плоскость, как показано на рис.2. В соответствии с правилом 1, два корневых годографа должны закончиться в бесконечности, кроме того в соответствии с правилом 4 ни одна из точек вещественной плоскости не принадлежит корневым годографам.
В соответствии с правилом 3, корневые годографы имеют 2 асимптоты, пересекающиеся с вещественной осью в точке
Углы между асимптотами и положительным направлением вещественной оси будут равны (правило 3)
С учетом сказанного корневые годографы будут иметь вид, показанный на рис.3. Корневые годографы выйдя из полюсов P1 и P2 закончатся в нулях N1 и N2. Корневые годографы выйдя из полюсов P3 и P4 уйдут в бесконечность неограниченно приближаясь к асимптотам, пересекающим вещественную ось в точке –55.
Рис.3
Пример 3.
Решение: Характеристическое уравнение замкнутой системы
Представим его в виде
Нули корневых годографов будут:
Полюса корневых годографов будут:
Наносим нули и полюса на комплексную плоскость, как показано на рис. 4. В соответствии с правилом 4, часть вещественной оси, лежащая левее нуля N3 будет принадлежать корневым годографам, при этом этот отрезок оси является асимптотой для годографа, уходящего в бесконечность.
Корневые годографы, построенные в соответствии с изложенными выше правилами, изображены на том же рисунке. Два корневых годографа, выйдя из полюсов P1 и P2 придут в нули N1 и N2. Корневые годографы, выйдя из полюсов P3 и P4 сойдутся в одной точке на вещественной оси, равной примерно 84 и, затем один закончится нуле N3, а другой уйдет в бесконечность.
Рис.4
Задания для самостоятельного решения.
Построить примерный вид корневых годографов для варьируемого параметра - коэффициента передачи систем К.