- •Основы теории автоматического управления
- •2013 Г.
- •Предисловие
- •Преобразование Лапласа
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Структурные схемы систем автоматического управления
- •Задание для самостоятельного решения.
- •Временные функции сау.
- •Задание для самостоятельного решения.
- •Частотные функции и характеристики
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Построение логарифмических частотных характеристик.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Построение корневых годографов.
- •Задания для самостоятельного решения.
- •Алгебраические критерии устойчивости
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Частотный критерий устойчивости Найквиста-Михайлова
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Библиографический список
- •Оглавление
Отсюда вещественная функция
мнимая функция
Для построения графиков амплитудно-фазовой характеристики, вещественной частотной характеристики и мнимой частотной характеристики используем возможности MatLab. Ниже приведена программа, вычисляющая значения вещественной и мнимой частотных характеристик в 100 точках(значения частоты ).
>>k=4;,T1=0.5;,T2=0.2;,T3=0.05; % вводим параметры передаточной функции.
>> w=logspace(-2,2,100); % задаем 100 значений частоты, от 0,01 до 100.
>>P=4*(1+(T1*T3-T1*T2+T2*T3)*w.^2)./((T1^2*w.^2+1).*(T2^2*w.^2+1)); % вычисляем значения вещественной частотной характеристики.
>>Q=4*(-(T1+T2-T3)*w-(T1*T2*T3)*w.^3)./((T1^2*w.^2+1).*(T2^2*w.^2+1));
% вычисляем значения мнимой частотной характеристики.
>> plot(P,Q) % строим график АФX, рис. 1.
Рис. 1.
>> grid on % рисуем сетку.
>>plot(w,P) % строим график вещественной частотной характеристики, рис. 2.
>> grid on % рисуем сетку.
Рис. 2
>>plot(w,Q) % строим график мнимой частотной характеристики.
>> grid on % рисуем сетку.
Рис. 3
Непосредственное вычисление вещественной и мнимой частей АФХ связано с громоздкими вычислениями. Иногда проще вычислить амплитудно-частотную характеристику и фазо-частотную характеристикуи по ним вычислить вещественную и мнимую части АФХ:и.
Ниже приведена программа вычисления АФХ и ФЧХ, с последующим переходом к вещественной и мнимойчастям АФХ.
Построенный таким образом график АФХ (рис. 4.) полностью совпадает с ранее построенным графиком (рис. 1.).
>> k=4;,T1=0.5;,T2=0.2;,T3=0.05; % вводим параметры передаточной функции.
>> w=logspace(-2,2,100); % задаем 100 значений частоты, от 0,01 до 100.
>>A=k*((T3^2*w.^2+1)./((T1^2*w.^2+1).*(T2^2*w.^2+1))).^0.5;
% вычисляем значения амплитудно-частотной характеристик.
>> f=-atan(w*T1)-atan(w*T2)+atan(w*T3); % вычисляем значения ФЧХ.
>> plot(A.*cos(f),A.*sin(f)) % строим график АФХ, рис. 4.
>> grid on % строим сетку.
Рис. 4
Задания для самостоятельного решения.
Построить графики амплитудно-фазовой, вещественной и мнимой частотных характеристик для передаточных функций при следующих значениях параметров:
К=5; Т1=0,7; Т2=0,2; Т3=0,05; Т4=0,01; λ=0,8.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Построение логарифмических частотных характеристик.
Для построения логарифмической амплитудной (ЛАЧХ) и фазовой (ЛФЧХ) частотной характеристик звена с произвольной дробно-рациональной передаточной функцией W(s) нужно ее числитель и знаменатель разложить на элементарные множители и представить W(s) в виде произведения передаточных функций элементарных звеньев:
(1)
или в виде
(2)
где представляет собой отношение произведений элементарных множителей 1-го и 2-го порядков с единичным передаточным коэффициентом, т.е. множителей видаTs ± 1 и as2 ± bs + 1 (b2 — 4а < 0).
Из (2) получаем
(3)
Из (3) следует, что для построения ЛАЧХ произвольного звена достаточно построить ЛАЧХ элементарных звеньев, на которые она разлагается, а затем их геометрически сложить. Однако для построения асимптотических ЛАЧХ можно использовать несколько иное, более простое правило. Проиллюстрируем это сначала на частном примере.
Пусть Логарифмическая амплитудная частотная функция имеет вид
Вычислим сопрягающие частоты и пронумеруем их в порядке возрастания:
ω1 = = 0,1,ω2 = 1, ω3 = = 10.
Здесь ω1, ω2 и ω3 — сопрягающие частоты апериодического, форсирующего и колебательного звеньев соответственно.
Напомним, что при построении асимптотических ЛАЧХ при частотах, меньших сопрягающей частоты, под корнем оставляют только единицу (остальными членами пренебрегают); при частотах, больших сопрягающей частоты, оставляют член с наивысшей степенью ω. Поэтому в рассматриваемом примере при ω < ω1
Это уравнение прямой, которая проходит через точку с координатами ω = 1 и L = 40 с наклоном —20 дБ/дек. Прямая имеет наклон —20дБ/дек (20дБ/дек); это означает, что при увеличении частоты на декаду (т.е. в 10 раз) L(ω) уменьшается (увеличивается) на 20 дБ (рис. 1a).
Первая асимптота заканчивается на первой сопрягающей частоте (рис. 1б).
При ω1 ≤ ω≤ ω2 аналогично имеем
Это уравнение второй асимптоты. Ее наклон по отношению к первой асимптоте изменяется на - 20 дБ/дек и обуславливается апериодическим звеном, т.е. множителем 1-го порядка в знаменателе рассматриваемой передаточной функции. Вторую асимптоту проводят от конца первой асимптоты до второй сопрягающей частоты согласно ее уравнению под наклоном - 40 дБ/дек.
а б
Рис. 1.
При ω2 <ω<ω3
Это уравнение третьей асимптоты. Ее наклон по отношению ко второй асимптоте изменяется на 20 дБ/дек и обуславливается форсирующим звеном, т. е. множителем 1-го порядка в числителе. Третью асимптоту проводят от конца второй асимптоты до третьей сопрягающей частоты под наклоном - 20 дБ/дек.
При ω>ω3
Это уравнение последней, четвертой асимптоты. Ее наклон изменяется по отношению к третьей асимптоте на - 40 дБ/дек и обуславливается колебательным звеном, т. е. множителем 2-го порядка в знаменателе.
Теперь нетрудно сформулировать правило построения асимптотических ЛАЧХ в общем случае.
Правило построения асимптотических ЛАЧХ.
1) Пользуясь представлением (рис. 1.), вычислить 20lg(k) и сопряженные частоты ωi = 1/Ti, которые следует пронумеровать в порядке возрастания: ω1 < ω2 <…
На оси абсцисс отметить сопрягающие частоты, а на координатной плоскости — точку (1, 20lg(k)). Построить первую асимптоту — прямую под наклоном - v20 дБ/дек, проходящую через отмеченную точку на координатной плоскости. Первая асимптота заканчивается на первой сопрягающей частоте ω1.
Построить вторую асимптоту, которая начинается с конца первой асимптоты и проводится до второй сопрягающей частоты ω2. Её наклон изменяется на ±20 дБ/дек или ±40 дБ/дек в зависимости от того, обуславливается ω1 элементарным множителем 1-го или 2-го порядка. Берется знак плюс, если указанный множитель находится в числителе, и знак минус, если этот множитель находится в знаменателе.
Построить остальные асимптоты, которые строятся аналогично второй асимптоте: i-я асимптота начинается с конца предыдущей, (i- 1)-й асимптоты и проводится до сопрягающей частоты ωi. Его наклон определяется сопрягающей частотой ωi -1.
Последняя асимптота представляет прямую, которая начинается с конца асимптоты, закачивающейся на последней сопрягающей частоте, и уходит в бесконечность.
Примечание. Асимптотическая ЛАЧХ наиболее сильно отличается от точной ЛАЧХ в точках излома (при сопрягающих частотах). Причем в точках излома, где наклон изменяется на ±20 дБ/дек, это отличие (при условии, что соседние точки излома располагаются не очень близко) примерно равно ЗдБ/дек. В точках излома, где наклон изменяется на ±40дБ/дек, т.е. при сопрягающих частотах, обуславливаемых форсирующим звеном 2-го порядка или колебательным звеном, отклонение зависит от коэффициента ζ и при малых ζ может быть значительным.
Пример 1. Построить асимптотическую ЛАЧХ звена с передаточной функцией
Решение. 1) v = 0. Вычислим 20lg(k) и сопрягающие частоты:
201gk = 201gl0 = 20;
Проводим через точку с координатами (1, 20) первую асимптоту под наклоном 0дБ/дек (т.е. параллельно оси абсцисс) до первой сопрягающей частоты ω1 = 0,1 (рис. 2а).
Так как первая сопрягающая частота ω1 обусловлена множителем 1-го порядка (10s+1), расположенного в знаменателе, наклон второй асимптоты изменяется на - 20 дБ/дек.
а) б)
Рис. 2
Поэтому вторую симптоту проводим от конца первой асимптоты до сопрягающей частоты ω2 = 1 под наклоном —20 дБ/дек.
Сопрягающая частота ω2 обусловлена элементарным множителем (s+1), расположенным в числителе. Поэтому наклон третьей асимптоты отличается от наклона второй на 20 дБ/дек и составляет 0 дБ/дек. Третью асимптоту проводим от конца второй асимптоты до сопрягающей частоты ω3 = 10.
Сопрягающая частота ω3 обусловлена элементарным множителем 0,01s2 + 0,1s + 1, расположенным в знаменателе. Поэтому наклон последней, четвертой асимптоты отличается от наклона третьей асимптоты на - 40 дБ /дек и составляет - 40 дБ/дек. Последнюю асимптоту проводим от конца третьей асимптоты до бесконечности.
2) v = -1. Значения 20lg(k); и сопрягающих частот те же, что и в предыдущем случае. Первую асимптоту проводим через точку с координатами (1, 20) под наклоном - v 20 дБ/дек = 20 дБ/дек до первой сопрягающей частоты (рис. 2 б). Все последующие асимптоты строятся так же, как и в предыдущем случае.
Пример 2. Построить ЛАХ и ФЧХ для передаточной функции
K=10; Т1=0,5; Т2=0,1; Т3=0,05; Т4=0,01; λ=0,8.
Решение:
Запишем выражение для амплитудно-фазовой характеристики
На основании полученного выражения, взяв модуль, получим амплитудно-частотную характеристику
и
логарифмическую амплитудную характеристику(ЛАХ).
На основании того же выражения запишем функцию, описывающую фазо-частотную характеристику
Для вычисления этих характеристик и для построения графиков воспользуемся средствами MatLab.
Ниже приведена программа MatLab и результаты ее выполнения с краткими комментариями.
>>k=10;, T1=0.5;, T2=0.1;, T3=0.05;, T4=0.01;, L=0.8; %Заносим значения параметров передаточной функции.
>> w=logspace(-2,3,100); % Задаём 100 значений частоты от 0,01 до 1000.
>> A=k*((T2^2*w.^2+1).*(T3^2*w.^2+1)).^0.5./...
>>(w.*((1-T^2.*w.^2).^2+2*L*T1*w.^2).^0.5.*(T4^2*w.^2+1).^0.5); %Вычисляем значения амплитудно-частотной характеристики в заданных точках.
>>plot(log10(w),20*log10(A)) %Строим график ЛАХ. (рис. 3.)
>> grid on %Наносим сетку
Рис. 3.
Рис. 4.