Дегтяренко Введение в физику неупорядоченных конденсированных 2011

Можно показатьI=что области=PKP=и=PK4==описываются теорией= перколяцииK=

4K=Рентгеновская дифракцияK=

Из данных рентгеновского спектра может быть получена так= называемая радиальная функция распределения=EрисKNKSF:=

c(R)

РисKNKSK= Качественные изменения радиальной функции расJ пределения при введении беспорядка=Eсплошная линияF=

Радиальная функция распределения содержит интегральную= информацию о потенциале взаимодействия атомовK= ТакI= атомы не=

ON=

=

заполняют интервал расстояний меньших=oNI=характерного расстоJ яния для первой координационной сферыK= Для неидеального тверJ

дого тела информация о второй и следующих координационных= сферах частично потерянаI=та какK=максимумы==cEoF=размазаныK==

Общие особенности неупорядоченных системK=

Все перечисленные неупорядоченные системы обладают обJ щими свойствами силового поляI=а именно:=

Отсутствием пространственной периодичности поJ тенциальной энергии носителей заряда и наличием в ней слуJ чайного слагаемогоK=

Для описания последнего необходимо задать вероятность= =Á[s ] реализации того или иного значения потенциальной энергии=

r r

носителей заряда= s ErF как функцию координаты= r K= Функционал=

=Á[s ] =– новая характеристика системы в сравнении с теорией идеJ

ального кристаллаK=

=

N.P.=Эргодическая==теорема.== Физически достоверный объем=

В макроскопическом опыте имеем дело с полным объемом= образца или с его большой макроскопической частьюK=Таким обраJ зомI= все наблюдаемые в эксперименте величины получались в Jре зультате усреднения по объему образцаK= Макроскопически больJ шой образец можно представить как совокупность большого числа= макроскопических подобластейK=Физически ясноI=что значения поJ тенциальной энергии электронов в случайном полеI=в окрестностях== точекI= значительно удаленных друг от другаI= не будут связаны= между собой= Eмежду ними не будет корреляционной связиFK= ДейJ ствительноI= при значительном удалении в каждом подобразце буJ дет наблюдаться своя случайная реализация случайного поляI= т.еK= свое расположение примесейK=

Усреднение по объему сведется к усреднению по различным= реализациям случайного поляI= т.еK= по всем возможным конфигураJ

OO=

=

циям атомов примесейK=Такая процедура усреднения не имеет анаJ логов в обычной=EзоннойF=теории идеального кристаллаK=

Усреднение по объему образца==эквивалентно==усреднению по= функционалу вероятности= =Á[s ] K=

Поскольку потенциальная энергия=–=случайная величинаI=то= задача об энергетическом спектре частицы в случайном = поле должна иметь вероятностный характерK= Нет смысла спрашивать= дозволено или нет то или иное значение энергииI=принадлежит оно= дискретному или непрерывному спектруK= Ответ должен носить= вероятностный характерK= Можно говорить об энергетическом= спектре только с точки зрения теории вероятностейK=Обязательным= является предельный переход=

ln k = ` Y ¥ I=

W

W ® ¥ I= k ® ¥ = –= объем и число частиц в этом объемеI= константа=С не является функцией объемаK=

=

=

РисKNKTK= Качественная картина к определению физически=

достоверного объема образца=

=

OP=

=

ПредположимI= что прошлись по малому :=образцу встретились только три конфигурации дефектов=Eслучайного поляF=

(рисKNKTFK=

Если рассмотреть больший образецI=то там может встретитьJ ся больше конфигурацийK==

Физически достоверный объем= –= объемI= в котором вероятJ ность встретить все возможные конфигурации соответствует= представительности конфигураций в бесконечном объемеK=

=

Краткие выводы:=

В силу отсутствия==дальнего порядкаI=квазиимпульсI=характеJ

приближенно:==

- закон дисперсии= eEk F теряет смыслX=

- энергия Ферми=ec не определяетсяK= В ФТТ все измеряемые веJ личины определяются их значением на уровне ФермиX=

- эффективная масса носителей= m*-N = дO Е теряет смыслX=

дкO

-понятие зоны Бриллюэна отсутствуетX=

-в основе физики идеального твердого тела лежит одноэлекJ тронное приближениеK= Задача сводится к квазичастицамI= диJ намической характеристикой которых становится эффективная= масса= = EэлектронаI= дыркиFK= В идеальном кристалле инкремент= затухания одноэлектронного представления стремится к нулю= вблизи поверхности ФермиI= что обусловлено совместным выJ

полнением принципа ПаулиI= законами сохранения энергии и= квазиипмульсаK=

Когда поле непериодичноI=то инкремент затухания одноэлекJ тронного представления оказывается ненулевымK=Таким образомI=в= непериодических системахI= по сравнению с идеальным кристалJ ломI=возрастает роль многочастичных эффектовK=

O4=

=

В неидеальном кристалле= EнепериодическомF= –= необходимо= решать многочастичную задачуK=

УтверждениеW для любой системыI =как угодно взаимодейJ ствующих частицI= можно ввести понятие плотности числа состояJ нийI=и дать рецепт ее вычисленияK=Если плотность числа состояний= известнаI= то все термодинамические величины могут быть вычисJ лены и в общем случаеK=

Как известноI= для электронов= EфермионовF= вероятность засеJ ления состояний с энергией=b определяется распределением Ферми:=

Функция плотности числа состояний дает информацию= о томI=существует ли такое состояние в системеI=т.еK=представлено ли= это состояниеK= НапомнимI= вывод формулы для плотности элекJ тронного газа=

здесь сумма по=s есть суммирование по спиновым состояниямK=ПеJ реход от интегрирования по импульсному пространству к интегриJ рованию по энергии:==

OR=

=

ws (EIqI j =)EOm*FP L O E - EM sin q I=

а для плотности числа состояний=

где= bM = –= дно зоны проводимостиI= от которого проводится отсчет= энергии=bK=

Вся конкретная информацияI= необходимая для вычисления= термодинамических величинI=содержится в=rEbFK=

Этот результат может быть обобщен на случай наличия в сиJ стеме локальных уровнейK=Пусть= kt =–=общее число примесей в соJ стоянии с энергией= bt I= kN = –= число заселенных состоянийI= kM = –= число пустых состоянийK=Тогда=

Обобщая на случай кратности вырождения заполненных и пустых= состояний==gNI=gMI=получим=

плотность числа состояний на локализованные== rt EbF = kt × dEb - bt F K=

Тогда плотность числа электронов=

n = åòdb × fc (b )rS (b )I== rS (b ) = r(b )+ rt (b ) ======ENKNOF=

s

OS=

=

учитывает наличие не только непрерывного спектраI= но дискретJ ных уровнейK=

Полная энергия электронов равна=

åòb × fc EbF ×rS EbF × db K================ENKNPF= s

Это термодинамические величиныK= Как известноI= система= также характеризуется кинетическими величинамиI= определяющиJ ми отклик системы на внешнее воздействиеI=напримерI=проводимоJ стьюK=

В теории идеального твердого тела существует три теоремы о= связи плотности числа состояний=rEЕF=и отклика системы на внешJ нее воздействиеK=

Напомним основные моментыI= определяющие проводимость= системы для твердого телаK= Если имеется электрическое полеI= то= расселение электронов по энергии меняетсяK= Меняется и функция=

распределения:= из равновесной= fMc (b ) она становится неравноJ весной=gEbF:=

Используя этот подход для кристаллического твердого телаI=можно= показать=

s ~ òrEbFtEbFs O EbF dfMc EbF × db K=====================ENKN4F= db

Из этого следуетI= что кинетический коэффициент=s также опредеJ ляется плотностью числа состояния= rEbF K=

Пусть= rEbF ¹ M в области непрерывного спектраI= имеет осоJ

бенности в точках дискретного спектра и обращается в нуль в точJ ках запрещенных значений энергииK=

Отметим следующее:=

OT=

=

NK Если электроны и дырки в равновесных условиях занимаJ ют дискретные уровни в запрещенной зонеI= то они могут участвоJ вать в переносе заряда только путем перескока по уровням или за = счет заброса с уровня примеси в зону проводимости или валентную= (для дырокFX=

OK Вероятность таких перескоков падаетI=при=Т=®=MK=

PK Если=Т=®=M=и проводимость остается= s ¹ M I=то в зоне проJ водимости остается конечное число носителейK=

Существуют доказательства трех теорем о корреляциях для= кристаллического твердого тела:=

Теорема=NK=

Проводимость не равна нулю при=Т=Z=MI=если уровень Ферми= принадлежит областиI=где= r ¹ M и непрерывнаK=

Теорема=OK=

Если уровень Ферми попадает в областьI=где=r===MI=то при доJ статочно низких температурах проводимость=

s~ exp ìí- c - bM üý I=

îq þ

где= bM = – =ближайшая к уровню Ферми= c граница области спектраI= для которой= r ¹ M и непрерывнаK=

Теорема=PK=Eо поглощении электромагнитного излученияF= Коэффициент поглощения κ электромагнитного излучения с=

частотой= w не равен нулюI =если частота электромагнитного излуJ чения соответствует условию:==

Shw = bO - bN I=

где= bN I= bO = –= значения энергийI= для которых= r(bN ) ¹ M I= r(bO ) ¹ M =

(непрерывность=r необязательнаFK=

Можно сделать следующее обобщение на случай некристалJ лического твердого телаK==

В любой системе как угодно взаимодействующих частиц= можно ввести понятие плотности числа состояний и датьJ ре цепт ее вычисленияK= При этом связь системы с термодинамичеJ

O8=

=

скими величинами сохранитсяK= Теоремы= NI= OI= P= о корреляциях= остаются применимымиK=

Подводя итогI=можно сказать следующееK=

Запрещенной зоной называется область энергийI= где= r = M = или= r ¹ M в отдельных точкахI=где она имеет= d -образные особенJ ностиK= Этим точкам отвечают дискретные уровни=тE .еK= локалиJ зованные состояния электронаFK=Термин="запрещенная зона"=меняJ ется на более общее понятие=="щель для подвижности"K= Для опиJ сания беспорядка в системе вводят различные модели беспорядкаK= Модели вводятся с некоторыми предположения о вероятности= тех или иных событийK=

=

=

O9=

=

РАЗДЕЛ=O= МОДЕЛИ И МЕТРИКА=

ЯЧЕИСТОГО БЕСПОРЯДКА=

=

O.N.=Беспорядок замещения=

Простейший тип беспорядка реализуется в сплаве замещеJ нияK= В идеальном кристалле часто оказывается возможным замеJ нить атом элемента=А=EнапримерI= серебраF= атомом другого элеменJ та=В=EнапримерI=золотаF=почти без всякого искажения кристалличеJ ской решеткиK=Если узлыI=в которых происходит замещение атомов= А атомами= ВI =сами по себе не образуют регулярную решеткуI =то= имеем пример беспорядка замещенияK=

Это явлениеI=которое наблюдается для различных элементов= в металлахI= полупроводниках и ионных кристаллахI=играет очень= важную роль в металлургии и в других областях материаловеденияK= Иными словамиI=не выясняяI=откуда это известноI=примемI=что при= замене атома= А атомом= В в данном узле решетки изменяются знаJ чения характерных для данного атома параметров= – =массыI =конJ стант упругой связи с соседямиI=волновых функций и энергий свяJ занных электроновI=поперечного сечения рассеяния и тK=дK=Все эфJ фектыI=связанные с локальным искажением решетки или с экраниJ рованием электронамиI=считаются уже учтенными в самом опредеJ лении понятия=«замещения»K=

Эта модель снимает вопросI=будут ли упомянутые параметры= зависеть от типа атомовI =находящихся в соседних узлах: =атом= АI= окруженный атомами того же типаK=Это отнюдь не то же самоеI=что= атом= А в окружении атомов= ВK= НапримерI= хорошо известноI= что= эффективная энергия межатомной связи типа= А= –= АI= как правилоI= отличается от таковой для связей типа=А=–=В или=В=–=ВK=Для сплава= большой концентрацииI= когда нельзя пренебрегать вероятностью= найти много пар атомов примесиI= соседствующих друг с другомI= предположение об аддитивности атомных величин не выполняетсяK= ВидимоI= лучше говорить о ячеистом беспорядкеI= подчеркивая тем= самым изменение топологических свойств упорядоченной решетки= при переходе от ячейки к ячейкеX= при этом обходится вопрос об=

PM=

=