Дегтяренко Введение в физику неупорядоченных конденсированных 2011

=

РисK=9KNK=Электронные зоны в зависимости от периода приJ месной подрешетки=bMK= Слева от точки А=–= диэлектрикI= справа=–= металл=

=

При конечном значении= bM= оба уровня расплываются в зону= шириной порядка= fEbMFK=В всех зонах может быть не более= k элекJ троновI=посколькуI=напримерI=в нижней зоне на одном узле не моJ жет быть двух электроновK= Таким образомI= при достаточно больJ ших расстояниях между примесями= bM нижняя зона должна быть= полностью заполненаI=а верхняя= –= пустаK= При некотором значении=

bMI которое определяется условием= fE bM* F= »= rMI= верхняя граница=

нижней зоны пересечет нижнюю границу верхней= EрисK9KNFK= КачеJ ственноI=до этой точки система будет изоляторомI=после нее= – =меJ талломK=

Существует переход в регулярной системе от локализованноJ го состояния в делокализованноеK=Это переход МоттаK==

Более последовательное изучение такого перехода может= быть проведено в модели ХаббарадаK=ДействительноI=в рамках этоJ го приближения два электрона со спином=sI=находящиеся на одном= узлеI=отталкиваютсяK=Система описывается уравнением:=

OMN=

=

где= n àIs = a+àIs × a àIs =–=оператор заполнения состояния на=à-м уровне=

со спином= sK= Последнее слагаемое описывает отталкивание элекJ троновI=имеющих разный спин и находящихся на одном узлеK==

Модель Хаббарда допускает аналитическое решение только в= одномерном случаеK= Результатом этого решения является щель= между верхней и нижней зонойI= которое сохраняется при любых= значениях отношения=fEbMFL=rMI=т.еK=в одномерном случае всегда сиJ стема является изоляторомK=В двухJ=и трехмерном случаях возможJ ны численные решенияI=из которых следует==качественный резульJ татI=полученный вышеK==

9.P.=Модель Андерсона=

=

Разрушение порядкаI= как известноI= может осуществляться= разными способами:=

-расположение узлов примесей= –= случайное положение атомов= {oà}X=

-при правильном расположении узлов примесной решеткиI= но=

энергетический уровень=eà для электрона на узлах=–=различный=

(рисK9KOFK==

=

=

РисK=9KOK=Потенциальные ямы в модели Андерсона=

Такие задачи следует рассматривать в узельном приближеJ нииK=Основной гамильтониан имеет вид:=

Энергии= eà считаются случайными величинамиI= между котоJ рыми нет корреляцийI=т.еK=значение=eà в=à-м узле не зависит от знаJ

OMO=

=

чений в соседних узлахK=Распределение случайной величины=eà буJ дем предполагать равномерным в некотором энергетическом Jин тервале=t:=

всю системуK=Важно понять следующее:=

- образуется ли когерентное состояниеI=являющееся суперпозиJ цией бесконечного числа узельных функций=jI=входящих с приJ мерно одинаковым весомI=которые простираются на макроJ скопическое расстояние=Eметаллическая проводимостьF=

или==

-узельные функции входят в суперпозицию с весомI=экспоненциJ ально убывающим по мере удаления от некоторого узлаK=Такое= состояние является локализованным вблизи этого узлаK=Если= все состояния локализованыI=то проводимость системы при=

температуре=q=Z=M равна нулю=EдиэлектрикFK=

Даже при всех представленных выше упрощениях модели= аналитического решения её нетK= Численный анализ дает следуюJ щую картинуK=

NK Вблизи каждого узла примеси волновая функция похожа= на узельную=jI=коль скоро интеграл перекрытия=f малK==

OK ДопустимI=в нулевой момент времени волновая функция= совпадает с узельной функцией=jiI=соответствующей узлу=iK=ПоJ скольку эта функция не является собственной функцией полного= гамильтониана системы=E9KNFI=то она будет меняться со временемK=

Приходится решать нестационарную задачу и искать= YEtF O на=iJм=

узле при больших временахK=

PK Если состояния не локализованыI=то начальный волновой= пакет расплывается по всей системеI=поэтому в бесконечной систеJ

OMP=

=

ме= lim YEtF O = M K=Если разброс уровней=e отсутствует=Eт.еK=t маJ t®¥

4K Если же состояния локализованыI=то расплывания начальJ ного волнового пакета не произойдет:=волновая функция приобреJ тает со временем некоторую конечную плотность на соседних узJ лах=E«хвосты»F=с экспоненциально малой амплитудой и будет соJ

средоточена в одном и том же объеме= lim YEtF O ¹ M K= t®¥

RK Определяющим фактором исхода таких численных экспеJ риментов является значение параметра=h=J=отношение:==

h º t Lsb =t L Oz × f EbM F K=

9.4.=Связь плотности числа состояний с критерием= локализации=

=

Важнейшей характеристикой примесной зоны является плотJ ность числа состоянийK=Эта величина определяется как число уровJ нейI= попадающих в малый энергетический интервалI= отнесенная к= этому интервалу и к объему системыK=

Следует иметь в видуI=что в макроскопической системе плотJ ность числа состояний является непрерывной функцией энергии =в некотором интервалеI=даже если речь идет о примесной зонеI=котоJ рая представляет собой набор дискретных уровнейK=Таким образомI= плотность числа состояний не содержит информациюI= позволяюJ щую отличить истинную зону от набора дискретных уровнейI= не= связанных друг с другом и случайно разбросанных в энергетичеJ ском пространствеK==

Модель Андерсона содержит безразмерный параметр= –= отJ ношение= h º t Lsb =t L Oz × f EbM F I= здесь= f EbM F = –= интеграл переJ крытияI=t=–=ширина зоныK=

Результат исследований=Eявляется ли данное состояние локаJ

лизованным или нетF=состоит в следующем=Eкритерий АндерсонаF:=

OM4=

=

тором в центре зоны впервые появляются нелокализованные= состоянияX=

-при дальнейшем уменьшении==h=YYhG область делокализации= разрастаетсяI=захватывая практически всю зонуX=

-все сказанное не относится к одномерным системам=–=локаJ лизация для них имеет место всегдаK=

bN - bO : O × f EiF =–=интеграл перекрытия двух функцийK=Как ни веJ лико конечное значение= iI= электрон в равной степени в обоих соJ стояниях=

принадлежит обеим ямам с одинаковой вероятностьюK= Характер= решения мало меняетсяI= если ямы исходно слабо различаютсяI= т.еK= если= eN - eO < Of EiF K=

В обратном случаеI= eN - eO [ Of EiF =Eпервоначальный энергеJ

тический сдвиг в ямахI= напримерI= обусловлен хаотическим потенJ циалом других примесейF=картина другая=EрисK9K4FK=

Волновые функции имеют вид:=

YN = `NjN + `OjO I=======YO = `OjN + `NjO =

В первой яме энергия== bf » eN X=волновая функция= yf » jN K= Во втоJ рой яме энергия== bff » eO X=волновая функция= yff » jO K=ОбобществJ

ление электронов здесь не происходитK=

=

OMR=

=

L==¥

=

РисK= 9KPK= Две квантовые потенциальные ямы при различном= взаимном расположении друг от друга=

L===const

=

РисK9K4K==Две различные квантовые потенциальные ямы=

Согласно изложенным выше результатам исследований моJ дели Андерсона при определенном значении параметра= h внутри= зоны шириной= t образуется энергетическая полоса шириной= D =

(рисK9KRFK=

Состояния принадлежащие= D называются= резонансно свяJ

заннымиI=а не принадлежащие= D –=резонансно=несвязаннымиK=

Резонансные узлы связаны друг с другомK=Это те узлыI=котоJ рые являются ближайшими соседями или соединяются друг с друJ

OMS=

=

гом через резонансных соседейI= которые по цепочке являются= ближайшими соседямиK=

Совокупность таких резонансных узлов образует кластер= с единой волновой функциейK= Квадрат волновой функции электрона= на узлах кластера:= одного порядка на всех узлах кластера и мал= –= вне этого кластераK=

Выбросим из рассмотрения нерезонансные узлыДоляK= = резонансных узлов оценим как=g=Z= D LtI=предполагая равномерную= плотность уровней внутри зоныK=

При малых значениях= g резонансных атомов малоI= они= располагаются малыми изолированными группамиK==

При больших значениях= g резонансные узлы образуют=

=

РисK=9KRK=Плотность состояний в модели АндерсонаK=ЛокалиJ зованные состояния заштрихованыK=Энергии Ес и=–ЕсI=отделяющие= области локализованных и делокализованных состоянийI=являются= порогами подвижности=

=

OMT=

=

Различие уровней энергии в модели Андерсона=EрисK9KSF=приJ водит к разделению узлов на несколько типовK= Если уровни энерJ гии электрона на узлах разных типов отличаются друг от друга боJ лееI=чем на величину γsI=то переход электрона между такими узлаJ ми невозможенK= Состояния локализованы или делокализованы =в зависимости от тогоI= возможно ли протекание по узлам данного= типаK=

=

=

=

=

=

=

=

РисK9KSK=Различие уровней энергии в модели Андерсона==

=

Если воспользоваться моделью де Жена для бесконечного= кластераI =то он состоит из скелета и мертвых концовK =Новая фаза= зарождается не как сплошностьI=а как одномерные ниточкиK=ИтакI=

D = n D » u c K= tc n

Это задача вложенных= сферI= а= Хc= –= доля резонансных узJ ловI==ЕN=–=ЕO=Z=OzfI=а резонансные узлы принадлежат ниточкам бесJ конечного кластераI= у которых число ближайших соседей= z= Z =OK = СледовательноI= D » O × z × f » 4 × f I=f=–=интеграл перекрытияK=

где=Хс=–=порог протекания по сетке данного типаK=

OM8=

=

Если= t= Y= tc= I= т.еK= имеем примесную зонуI= плотную по конJ центрации уровнейI= то возникает делокализация электронного соJ стоянияK=

Если наоборот= t=[=tc== (рыхлая зонаFI= то все состояния остаJ нутся локализованнымиK=

ПроверимI= используя результаты численных экспериментов= для различных решетокK= В таблK9KN= представлены:=== Хс= –= результат= расчетов порогового значения образования бесконечного кластераX=

tc f –= результат оценок порога образования делокализованного=

электронного состояния из решений численных задачK=

Можно видетьI= что численные значения двух последних= столбцов совпадают с точностью=NMJNRBK= Такой подход позволяет= утверждать следующееK=

=

Таблица=9KN=Результаты расчетов порога образования делокаJ лизованного электронного состояния=

=

Случайный потенциал приводит к разбросу уровней примесJ ных центровI=и в то же время примесные центры обладают опредеJ ленным перекрытием волновых= функцийK= Был рассмотрен случайI= когда эти две величины задаются независимо и заданыK=

Если разброс больше определенной величиныI=то состояния= остаются локализованыK=Если меньше=–=происходит делокализацияK=

OM9=

=

Плотная зона дает делокализациюI=в рыхлой=–=все состояния= локализованыK=Однако это модельI=где на самом деле и интеграл= перекрытия=f=и уширение=t связаныK=

ONM=

=