Дегтяренко Введение в физику неупорядоченных конденсированных 2011

Пусть= mEuF= –= вероятность принадлежности произвольного= узла бесконечному кластеруI= т.еK= это вероятность прохождения от= одного узла к произвольно выбранному другому= неразрушенному путиK=Вероятность разрушения пути:=

n (u ) =N - m (u )K=

Причин невозможности уйти к бесконечному кластеру = из некоторого узла двеK=

NKПроизвольно взятый узел принадлежит к категории темных= узловI=здесь вероятность попасть на темный узел:==

t f E u F =N - u I=

где=Х=–=концентрация светлых=EнеповрежденныхF=узловK=

=

=

РисK=TKTK=Решётка Бёте с координационным числом=q=Z=PK= Светлые кружки=–=категория СI=темные=–=категория Т=

=

OK=Выбранный узел=–=светлыйI=но из него нельзя выйтиI= поскольку далее все каналы прерываются=

t ¢ = ut I=

где= t = én (x )ùq –= вероятность перекрытия всех каналовK=ТогдаI=

ë û

полная вероятность== nE u F = EN - u F + u ×nq E u F I=или=

NRN=

=

[N - mE u F q u] + mE u F - u = M K======================ETKNF=

ОтметимI=что это уравнение всегда имеет одно тривиальное=

корниK=Рассмотрим область вблизи порогаI=т.кK=при этом=m малоI=то= справедливо разложение:=

EN - mFq »N- qm + qEq -NF mO K= O

Подставляя==это разложение в уравнение=ETKNFI=получим=

qEq -NF umO » qmu - m I============ m » E u -NqF × O K=

Можно сделать вывод:=чем больше веточек=Eвеличина=qFI=тем= меньше порогI= т.еK= тем меньше нужно светлых неповрежденных= узловI=чтобы образовался бесконечный кластерK=

=

NRO=

=

PExF

1

РисK=TK8K==Качественный вид вероятности образования== бесконечного кластера для решетки Бете=

=

T.4. Регулярные решетки:= плоские и пространственные=

=

Двухмерное пространство можно заполнить квадратнойI= шестиугольной и треугольной решеткой= EрисK= TK9FK= Может быть= поставлена задача узловK=

=

РисK=TK9K=Плоские решеткиW=а=–=квадратнаяI=б=–= треугольнаяI=в=–=шестиугольная=

=

Можно также поставить задачу связейI= где рассматривается= разрушение связей по однойK=

NRP=

=

=

=

=

=

=

=

=

РисK=TKNMK=Фрагмент квадратной решетки с разорванными связями=

На рисK= TKNM= изображены три кластера из двух связанных= узлов=ENI=OI=PFI=один кластер из четырех узлов=E4FI=один кластер из= шести узлов=ERF=и один кластер из десяти узлов=ESFK=

Пусть= v= –= отношение количества правильных узлов= к полному числу узлов= kI=а== u= –= отношение количества правильных= связей к полному числу связей= jK =Тогда можно показать I =что=

m yз (v )£ mсв (u )K = =В задаче связей существует также иерархия = соотношений:=

ХсвТ £ Хсвh £ uсвØ K=

Смысл этих соотношений нетрудно понятьI= имея в виду= различное число связей у одного узла в квадратнойI=шестиугольной= или треугольной решеткахK= Значения порогов протекания для= плоских решеток приведены в таблK=TKNK==

=

Таблица=TKN=Пороги протекания для плоских решеток=

=

=

=

=

=

=

=

=

РисK=TKNNK=Порог протекания в задаче связей всегда меньше= порога протекания задачи узлов=

=

=

=

=

=

=

=

=

РисK=TKNOK=Функция= mk (x) для задачи связей на двухмерной=

квадратной решеткеW=N=–=k=Z=SSTI=O=–=k=Z=NMMMI===P=–=k=Z=OMMMI== Q=–=k=Z=SMMMI=R=–=k=Z=∞=

=

Для квадратной и шестигранной решеток они получены= приближенными методамиK=Все остальные представляют собой реJ зультаты точных решенийK=Порог протекания в задаче связей всегда= меньше порога протекания задачи узлов= EсмK= рисKTKNNFK= Функция= распределения для решеток различного типа для решеток различJ ного типа представлены на рисK=TKNOJTKNPK=

NRR=

=

=

РисKTKNPK=Функция распределения в задаче о протекании по===узлам= для решеток различного типа=

=

T.R.=Пороги протекания для объемных решеток=

Задачи связей и узлов ставятся для объемных решеток точно= так жеI =как для плоскихK =По-прежнему предполагаетсяI =что связи= имеются только между узламиI= являющимися ближайшими сосеJ дямиK==

В таблK =TKO =дана сводка порогов протекания задач узлов и = связей для описанных выше объемных решетокK= Как уже говориJ лосьI=в трехмерном случае не существует ни одного точного решеJ нияK=Все результатыI=приведенные в таблK=TKO=получены различныJ ми приближенными методамиI=как правилоI=использующими ЭВМK==

=

Таблица==TKO=Пороги протекания для объемных решеток=

NRS=

=

Задача состоит в томI=чтобы используя данные таблKTKN=и=TKO= понятьI=почему для одних решеток пороги протекания сравнительJ но большиеI=а для других=–=маленькиеK=Начнем с задачи связейK==

Если все связи= – =целыеI =то каждый узел связан с= z другими= узламиI=где число ближайших соседей=z сильно меняется от решетJ ки к решеткеK =При заданной доле целых связей = x каждый узел в = среднем связан с= zx другими узламиK= Попробуем проверить следуJ ющую гипотезу:= может ли величина= zxI= представляющая среднее= число узловI=с которыми связан каждый узелI=содержать информаJ циюI=достаточную для определения наличия в решетке протеканияK= ВозможноI= что никакой другой информации о свойствах решеткиI= кроме числа= zI =и не надоI =и протекание возникает у всех решеток= при одном и том же значении величины=zx?=ЯсноI=что эта гипотеза= не может быть точнойK= Но может бытьI= она справедлива приблиJ женно?==

Проверить это очень простоK =Нужно для всех решеток с изJ вестными порогами протекания задачи связей вычислить произвеJ дение=zxсвK=Если оно окажется универсальнымI=т.еK=одинаковым для= всех решеток или хотя бы приближенно одинаковымI= значитI= выJ сказанная гипотеза верна или верна приближенноK==

Соответствующие данные собраны в таблK =TKPK =ВидноI =что с= погрешностью меньше чем=NMBI=для плоских решеток справедлива= формула:=

zxсв = O I=======================================================ETKOF=

а для объемных решеток=–=

zxсв =NIR K===================================================ETKPF=

=

Таким образомI=гипотеза об универсальности среднего числа= связей на узелI=требуемого для возникновения протеканияI=не являJ ется точнойI= но приближенно выполняетсяK= Если принять во вниJ маниеI=что как в группе плоских решетокI=так и в группе объемных= решеток каждая из величин=z и=xсв меняется по крайней мере в два= разаI=то точностьI=с которой в каждой группе величина= zxсв постоJ яннаI=следует признать высокойK==

=

NRT=

=

ИтакI= чтобы приближенно оценить порог протекания задачи= связейI= достаточно знать число ближайших соседей и воспользоJ ваться формулой=ETKOF=в случае плоских решеток и формулой=ETKPF=в= случае объемных решетокK=Порог протекания задачи связей наибоJ лее чувствителен к числу ближайших соседей и значительно менее= чувствителен ко всем прочим свойствам решеток=EнапримерI=к чисJ лу вторых соседейI= т.еK= соседейI= следующих по удаленности от= данного узлаFK==

Таким образомI= получен очень простой и относительно точJ ный способ оценки порогов протекания задачи связейI= пригодный= для любой решеткиK==

=

T.S.=Оценка порога протекания задачи узлов=

Разберем теперь схему такого же типа для задачи узлов K = Естественно сначала испробовать предыдущий вариантI= .еK= поJ смотретьI= как меняется от решетки к решетке величина= zxу Легко= убедитьсяI=что она меняется почти так жеI=как каждая из величин=z= и=xу по отдельностиK=Этому не следует удивляться:=в случае задачи= связей произведение=zxсв имеет четкий физический смысл=–=среднее= число целых связейI= приходящееся на один узелK= В случае задачи= узлов связь работаетI=если она соединяет два белых узла и не рабоJ

NR8=

=

тает во всех прочих случаяхK= Поэтому произведение= zxу никакого= особого смысла не имеетK==

Был предложен иной метод оценки порога протекания задачи= узловK= Идея состоит в томI= чтобы сопоставить каждому узлу опреJ деленную долю пространстваK= После этого утверждаетсяI= что проJ текание по белым узлам возникаетI=когда доля пространстваI=заняJ

круг соседних узловI= касаются друг друга=EрисK= TKN4FK= Белому узлу= припишем белый шарI= а черному узлу= –= черныйK= Если два белых= узла связаны друг с другомI =то между ними есть путь по касаюJ щимся друг друга белым шарам= EрисK= TKN4FK= Поэтому возникновеJ ние протекания означает появление путей бесконечной длины по= касающимся друг друга белым шарамK==

=

РисK=TKN4K=Построение касающихся друг друга окружностей в= случае шестиугольной решеткиK=Окружности имеют радиусI=равный= половине расстояния до ближайшего соседаK=Белым узлам= соответствует белаяI=а черным=–=черная окружностиK=Пути протекания= по белым окружностям показаны жирными линиями=

=

NR9=

=

Предположим теперьI= что протекание возникаетI= когда доля= полного объема=EплощадиFI=занимаемая белыми шарами=Eв плоском= случае кругамиFI=превысит некоторое критическое значениеI=не заJ висящее от типа решеткиK= Чтобы проверить это предположениеI= нужно вычислить доли объемаI= занимаемые белыми шарами при= = = =

x=Z=xуI=для различных решеток с известным значением=xу и сравнить= их друг с другомK=Сначала необходимо сосчитать долю объемаI=заJ нимаемого белыми шарами при=x=Z=NI=т.еK=в случаеI=когда все шары= –=белыеK=Эту величину обозначают буквой=f и называют=коэффициJ ентом заполненияK= Коэффициент заполнения равен доле объемаI= занятой шарамиI= построенными вокруг каждого узла решетки = и имеющими радиусI= равный половине расстояния до ближайшего= соседаK==

Коэффициент заполнения существенно зависит от типа Jре шеткиI=и для каждой решетки его нужно считать отдельноK=Чтобы= узнать долю объемаI=заполненного белыми шарами при=x=Y=NI=нужJ но умножить коэффициент заполнения на долю белых шаровI= т.еK= на= xK= Таким образомI= доля объемаI= заполненного белыми шарамиI= равна=fxK=На пороге протекания она равна=fxyK=Если предположение= об универсальности доли объемаI= при которой возникает протекаJ ниеI= правильноI= то величина= fxy должна быть одинаковой для всех = решетокK==

Коэффициенты заполнения для различных решеток даны во= втором столбце таблK= TKPK= Чтобы представитьI= как они полученыI=

Аналогично вычисляются коэффициенты заполнения и для= других решетокI =причемI =как видно из таблK =TK4I =они меняются в=

типа решеткиI= не выполняется точноK= Однако и в группе плоских=

NSM=

=