Дегтяренко Введение в физику неупорядоченных конденсированных 2011
.pdf=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
РисK=PKNTK=Примесные центры в полупроводнике=
=
Если нет заметной химической тенденции к сегрегации приJ месей или к образованию кластеров при кристаллизации образцаI= то примеси будут случайно распределяться по узлам решеткиI=как в= любом сильно разбавленном сплавеK= Для электронов проводимоJ стиI=однакоI=роль=«размера»=примесного атома играет эффективный= боровский радиус= аeI= отвечающий низшему примесному уровнюK= Этот= = радиус может в= NM =или= NMM =раз превышать постоянную реJ
шетки исходного кристаллаK=Соответственно концентрацию примеJ сей в= NMJ4= –= NMJO= атK =B =следует считать очень= «большой»I =так как=
здесь оказывается несправедливым предположение о независимоJ сти электронных процессовI=протекающих на отдельных примесяхK=
=
=
=
=
=
=
=
9N=
=
РАЗДЕЛ=4= МОДЕЛИ И МЕТРИКА КОНТИНУАЛЬНОГО=
БЕСПОРЯДКА=
=
4.N.=Континуальные модели=
=
Атомная структура конденсированной среды часто приводит= к осложнениям в математической теории неупорядоченных системK= Такие важные физические характеристики системыI= как электронJ ная плотность и масса ядраI= сконцентрированы в очень малых обJ ластяхK=Поэтому их трудно описать при помощи линейных комбиJ наций гладкихI= делокализованных функцийK= В ряде случаев на= практике выясняетсяI= что= «глубокие»= внутренние свойства атомов= не так уж важныK= Эффекты упорядоченияI= беспорядка замещения= или топологического беспорядка возникают скорее благодаря маJ лым вариациям плотности заряда во всем объеме материалаI=нежеJ ли за счет больших и сильно локализованных ее изменений в преJ делах атомных остововK=
Таким образомI=при построении феноменологических теорий= часто бывает удобно воспользоваться континуальным представлеJ ниемI=игнорируя атомную структуру веществаK==
РазумеетсяI= именно так следует поступатьI= рассматривая исJ тинно макроскопические процессыI= например распространение= звука в океане или прохождение света звезд через атмосферу и раJ диоволн в ионосфереK= Материал рассматривается при этом как неJ прерывная средаI=состав которой определяет локальную плотностьI= упругостьI= коэффициент отраженияI= диэлектрическую проницаеJ мость и тK =дKI =тK =еK =параметрыI =фигурирующие в волновом уравнеJ нииK=Такой подход оправданI=так как здесь имеют место==возмущеJ
нияI=длина волны которых значительно превышает типичное расJ стояние между атомамиK==
Сдругой стороныI=в приложении к тепловым колебаниям или=
кдвижению электронов в неупорядоченной конденсированной= среде континуальная трактовка редко бывает оправданаK= Тем не=
менееI= математическое сходство этих задач с соответствующими=
9O=
=
задачами макроскопической физики наводит на мысль о томI= что= небесполезными могут оказаться и моделиI=в которых флуктуации= плотности или вариации локального кристаллического порядка= рассматриваются просто как физические причины изменений Jло кального потенциалаI=плотностиI=скорости фононов и тK=дK=
Тем не менееI=иногда удается в простой форме отразить влиJ яние довольно сложных структурных характеристик беспорядкаK= РассмотримI= напримерI= эффективную потенциальную энергию= электрона в жидком металлеK= Эта функция характеризует многоJ электронную системуI=иI=строго говоряI=соответствующий потенциJ ал нельзя представить в виде простой суперпозиции атомных Jпо тенциалов:= он может зависеть от многоатомных характеристик= структуры жидкостиI= например от средней локальной концентраJ ции атомовK=
Аналогичные соображения можно использовать и для опреJ деления эффективной потенциальной энергии носителей заряда= вблизи края зоны в аморфном полупроводнике или для вычисления= локальных упругих постоянных в стеклеK=
Вкратце остановимся на статистических характеристиках= случайной функции= xEoF в пространстве=o одноI=двух или трех изJ
мерений и покажемI= чем обусловлены некоторые |
геометрические= |
|
ее свойстваK= Пусть= o есть вектор координат на |
плоскостиK= Тогда= |
|
функция= xEoF определяет высоту случайной поверхностиK= |
||
= |
4.O.=Однородные случайные поля== |
|
|
||
|
= |
|
Случайное поле= xEoF можно определитьI= только задавая его= |
||
статистические |
характеристикиK= Введем различные функции расJ |
|
пределения для |
величин= xEoF K= ТакI= функция= m (xI o) определяет= |
плотность вероятности найти случайную величину= x в интервале= x ® x + dx точке= oK= В силу предполагаемой однородности расJ
сматриваемого поля эта функция не должна зависеть от=oK== Предположим для простотыI= что любая постоянная компоJ
нента поляI= например среднее значение потенциалаI= исключена из=
9P=
=
рассмотренияI= тK= еK= среднее значение= x равно нулюK= Это среднее=
значение можно представить:=
NF в виде интеграла по большомуI=но конечному объему=sI=в= котором определен вектор=oX=
OF в виде интеграла по статистическому ансамблю очень= большого числа одинаковых объемовX=в таком ансамбле величина= x в любой точке пространства принимает все возможные свои знаJ
ченияK==
Утверждение о равенстве двух указанных интегралов осноJ вывается на существовании эргодической гипотезы:=
x = N |
r r |
E4KNF= |
× òxEoF × do = òx× mExF × dx K= |
||
s |
|
|
На первый взглядI= функцией= m (x) может быть любая полоJ
жительная функцияI=удовлетворяющая условию нормировки=EинтеJ грал от нее по всему объему должен быть равен единицеFK==
Однако этого еще недостаточно для адекватной характериJ стики случайного поляK= Говоря математическим языкомI= статистиJ ческие характеристики случайного поля можно полностью опредеJ
r
литьI= только задавая функционалm (xI o)I= представляющий собой=
предельный случай=s-точечной функции распределения при= s ® ¥ K== Надо ввести двухточечныеI= трехточечные и K=т дK= функции= распределения:=в общем случае=sJточечная функция распределения=
r r r
ms (xNI oNX xO I oO XKxs I os ) определяет вероятность тогоI=что= x приJ
нимает значение= xN в точке= oN I= xO =J=в точке= oO и тK=дK=Только в неJ физическом случае патологически разрывного поля можно предпоJ ложитьI= что величины= x в= «соседних»=точках распределены незаJ
висимоK==
Функции распределения должны удовлетворять ряду соотJ ношений:==
94=
=
-интегрируя величину= ms по любой пространственной переJ менной=EнапримерI= oN F=или усредняя ее по всему ансамблю полеJ вой переменной= xN I==должны получить функцию= ms-N X==
-значения случайного поля= xN и= xO в двух точках= oN и= oO =
при= o = oN - oO ® ¥ должны быть статистически независимыX=
-если поле не только однородноI=но и изотропноI=то двухтоJ
чечная функция распределения заметно упрощается:=она непреJ
rr
менно должна иметь вид:= mO ExNI oNXxO I oO F º mO ExNIxOX oF X=
- неявно принятое предположение о кусочной непрерывности=
функции= x(o) приводит к томуI=что величины= xN и= xO |
стремятся к= |
|
одному и тому же значениюI=когда= oN стремится к= oO K= |
||
Таким образомI=имеем:= |
|
|
ur |
ìdExN - xO F × mExF====при===o ® MI |
|
mO ExNI xOX oF ® í |
====E4KOF= |
|
|
îmExO F × mExNF====при===o ® ¥K |
С учетом этих ограничений функция= mO I= описывая распредеJ ление двух величин= xN и= xO I=зависит от трех переменных и ее трудJ но выразить в простом видеK =Здесь опять теория беспорядка замеJ щения в решетке указывает нам подходящий способ описания Jос новных характеристик функции= mO K= Введем автокорреляционную= функцию поля следующим образом:=
|
ur |
= òòxNG ×xO × mO ExNIxOX oFdxN × dxO K====E4KPF= |
||
GEoF = |
xGEMF ×xEoF |
|||
|
xO |
ò |
x O |
× m ExF × dx |
|
|
|
N |
В выражениях такого типа удобно рассматривать=x как комJ плексную переменнуюI= вещественность которой в дальнейшем= легко будет обеспечить с помощью тривиальных дополнительных=
условийK=Как видноI=функция= G(o) будет монотонно уменьшаться= при увеличении=oI=изменяясь в следующих пределах:=
9R=
=
|
|
ìN====при===o ® MI |
===============================E4K4F= |
|
GEoF ® í |
||
|
|
îM===при===o ® ¥K |
|
Здесь ясно видна аналогия с параметром порядка и с полной= |
|||
корреляционной функциейK= Длина= i будет |
определять типичный= |
||
пространственный |
размер |
любой= топологической черты поля = |
|
x(o) I=будь то=«пик»=или=«долина»K= |
|
||
Однородность |
поля= |
x(o) можно |
интерпретировать как= |
трансляционную инвариантность в статистическом смыслеK= Для= описания такого поля естественно воспользоваться плоскими волJ
rur
нами= eiqo I= для которых волновые векторы=q выбираются такI=чтоJ бы удовлетворить соответствующим граничным условиям в больJ шом объеме= sK= Для любого компонента данного= ансамбля случайJ ных полей=Eлюбой реализацииF=можно ввести представление Фурье:=
ur |
rur |
|
|
xEoF = åXEqF ×eiq o K= |
|
|
|
r |
|
|
|
q |
|
|
|
Комплексная амплитуда= XEqF |
явно определяется |
обратным= |
|
|
ur |
rur |
ur |
интегральным преобразованием:===== XEqF =s -NòxEoF ×e-iqod o K=
Вычислим теперь автокорреляционную функциюK= Пользуясь= эргодической гипотезойI= можем выполнить следующие стандартJ ные преобразования:=
|
r |
r r r |
|
GEoF = |
xG (M )× x(o ) |
= òxG × x(o + o¢ do¢) |
= |
|
xO |
s xO |
|
|
|
G |
r |
r |
r r |
r r r |
)r |
r |
O |
|
r |
r |
ò å X |
i×(-qo¢+q¢(o +o¢ ) |
×e |
i×q×o |
|||||||||
|
(q )×X |
q(¢ |
×e) |
|
do¢ |
å X (q |
¢ ) |
|
|
|||
r r |
¢ |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
q Iq |
|
|
|
|
|
= |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xO |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
s |
|
|
xO |
|
|
|
=E4KRF=
K
Этот результат совершенно аналогичен ранее полученному и= справедлив для любого члена ансамбляK= Определим спектральную= плотность поля=Eили спектр мощностиF=равенством:=
9S=
=
r |
r O |
E4KSF= |
|
b (q )= |
X(q¢ ) |
K= |
Основную роль для дальнейшего играет теорема Винера = – =
Хинчина:= для любого случайного поля спектральная плотность= есть фуръе-образ автокорреляционной функцииK=
Зная общие свойства функции= G(o)I= можем сделать опредеJ
ленные выводы и о соответствующих свойствах= b (q) K= Последняя=
функция должна быть положительно определеннойX= для изотропJ ного поля она может зависеть только от волнового числа=qI=а не от=
направления |
в обратном пространствеK= Исходя из условий= E4KSF= и= |
|
пользуясь |
стандартными приемами |
исследования интегралов= |
ФурьеI= можно показатьI= что= b (q) стремится к нулюI =когда число=
qOp становится больше обратной длины корреляции= i-N =EрисK4KNF= ОчевидноI= спектральная плотность составляет необходимый элеJ мент описания любого случайного поляK= В какой мере она достаJ точна для этой цели?=Перепишем равенство=E4KSF=в виде:=
r
X(q )=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
r |
ij(q) |
K= |
E4KTF= |
b q |
( ×e) |
а=======================================================б=
РисK=4KNK=Автокорреляционная функция=EаFI=спектральная= плотность=EбF=
=
Видно теперьI=что это равенство определяет амплитуду кажJ дой= EкомплекснойF= фурье-компонента поляK= Если бы были известJ
9T=
=
ны еще и все фазы = j(q) I =то= = поле= x(o) определялось бы одноJ
значноK= Можно думатьI= что случайный характер поля проявляется= как раз в статистических свойствах фаз различных компонент= ФурьеI=фигурирующих в формуле=E4KTFK=
=
4.P.=Гауссовы случайные поля==
=
Простейшее предположениеI=которое можно сделать относиJ тельно фазовых переменных= f(q) I= состоит в их статистической=
независимости для различных величин= qI= изменяющихся в интерJ вале= -p до= p K= Это предположение точно совпадает с концепцией= спектрального беспорядка в решеткеI= использованной ранее для= описания спиновых волн и фононовK=Однако там речь шла о динаJ мических модахI= можно было предположитьI= что взаимодействие= между ними невеликоK= В данном случае непрерывное случайное= поле представляет собой=статическую характеристику беспорядкаI= «замерзшего»=в системе в процессе ее образованияX= представление= о спектральном беспорядке здесь уже не обязательноK= Более тогоI= заметимI=что фазовый угол= f(q) в действительности может выстуJ
пать в роли измеряемой на опыте локальной характеристики поляK= ДействительноI=эта величина зависит от объема образца и от некоJ торых незаданных граничных условийI=определяющих квантование= q в данном объемеK= Искусственность упомянутого требования осоJ бенно подчеркивается тем обстоятельствомI= что фазовая переменJ ная= f(-q) должна быть равна= f(q) для каждого значения= qI=коль=
скоро требуемI=чтобы функция= x(o) была вещественнойK=
Преимущество этого метода реализуются в построении каноJ нической формы случайного поляI= статистические свойства котоJ рого определены для всех порядков функций распределенияK=
ДействительноI=распределение= x само по себе очень простоеK= Из выражений==
98=
=
r |
r r |
r |
iqo |
||
x(o) = åX(q )×e |
|
I==== X(q )= |
r |
|
|
q |
|
|
r |
ij(q) |
=== |
b q |
( ×e) |
в=EпроизвольнойF= точке= o=Z=M=получаем для вещественной величиJ
ны= x :=
x = |
å |
|
ë |
û |
E4K8F= |
q |
O ×cos éf(q )ù ×X(q )I= |
||||
|
|
|
|
|
|
где фазы= f(q) |
распределены случайно в интервале от= -p |
до= p K= |
Поскольку число членов этой суммы стремится к бесконечностиI= выражение=E4K8F=удовлетворяет условиям применимости=центральJ
ной предельной теоремы теории вероятностиK=
Указанное здесь условие необходимоI= но еще недостаточно= для тогоI= чтобы была справедлива центральная предельная теореJ маK=Нужно ещеI=чтобы дисперсия каждого слагаемого была ограниJ ченнойI= а сумма этих дисперсий неограниченно возрастала при= стремлении числа членов суммы к бесконечностиK=
В теории вероятностей показываетсяI =что в этом случае пеJ ременная= x подчиняется стандартному нормальному или гауссову=
распределению:= |
N |
|
( |
|
) |
|
|
|
m (x )= |
×exp |
-xO L Op O |
I= |
E4K9F= |
||||
p × Op |
||||||||
N |
|
|
|
|
||||
где= p O есть дисперсия случайного поляI=тK=еK p O º xO |
= åb (q )K= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
Таким образомI= рассматриваемое |
случайное |
поле определяJ |
ется величиной= p и видом автокорреляционной функции= G(o)I= в=
данном случае не приходится обращаться к спектральному предJ ставлениюK=
Многоточечные распределения и более высокие моменты= случайного поля также можно явно вычислить с помощью станJ дартных методов теории вероятностейK==
ТакI=напримерI=двухточечное распределение должно бытьI=по= сути делаI= не чем инымI= как совместным распределением Гаусса=
для переменных с корреляционной функцией= G(o)I=тK=eK=
99=
=
|
|
N |
|
æ |
|
x O + x |
O |
O - Ox x |
GEoF |
ö |
|
|
|
|
|
ç |
|
N |
N O |
|
÷ |
||
mO ExNXxO X oF = |
|
|
×exp |
ç |
- |
|
|
|
|
÷ KE4KNMF= |
|
(Op )p O éN- GO EoFùN O |
(Op )pO éN- GO EoFù |
||||||||||
|
|
ç |
|
÷ |
|||||||
ë |
û |
|
è |
|
|
|
ë |
û |
ø |
Из выражения=E4KNMF=видноI=что функция= mO удовлетворяет условию=
ur |
ìdExN - xO F × mExF====при===o ® M |
K= |
mO ExNI xOX oF ® í |
||
|
îmExO F × mExNF====при===o ® ¥ |
|
Поскольку многие физические свойства системI= обусловленJ ные случайными полямиI= зависят от этой функцииI= то формула= E4KNMF=оказывается очень полезнойK=
Однако условие спектрального беспорядка для гауссовой= статистики очень=искусственноK=Возникает вопросI=при каких друJ гих общих условиях будут справедливы соотношения=E4K9F=и=E4KNMFK= В соответствии с центральной предельной теоремой это возJ
можно в случаеI=когда функцию= x(o) удается представить в виде=
суммы большого числа независимых случайных переменных=EприJ мер смK=на рисK4KOFK=
В качестве примера применения этого правила к стационарJ ной случайной функции времени можно привести теорему КэмпJ беллаK=Дробовой шум тока в электрической цепи можно записать в= виде суммы функций отклика= c (t ):=
¥
f EtF = å c Et - t à F I===========================E4KNNF=
à =-¥
где времена прихода электронов=tà случайны и независимыK=ТеореJ ма Кэмпбелла гласитI= что распределение= fEtF= переходит в гауссово=
распределениеI= если |
скорость |
прихода электронов неограниченно= |
||||
возрастаетK== |
|
|
|
|
|
|
АналогичноI= в |
трехмерном случае поле должно быть предJ |
|||||
ставлено в |
виде суперпозиции= «потенциалов»I= центрированных |
в= |
||||
случайных |
точках= |
o à |
с |
объемной |
плотностью= kI= тK= |
еK= |
r |
r r |
|
|
|
|
|
xEoF = åvEo - o à F K=
à
NMM=
=