Действительный анализ

3 Линейные непрерывные функционалы в пространстве непрерывных функций

3.1 Сведения из функционального анализа

Пусть X – линейное пространство над полем вещественных чисел R:

Определение 13. Функционалом на пространстве X

называется отображение T : X ! R:

Определение 14. Функционал p : X ! R называется нормой на X; если выполнены следующие условия (аксиомы нормы):

1. p(f) 0, f 2 X; при этом p(f) = 0 тогда и только тогда,

когда f = 0 ( 0 – нулевой элемент линейного пространства X);

2.p( f) = j jp(f); f 2 X; 2 R;

3.p(f + g) p(f) + p(g); f; g 2 X:

Линейное пространство вместе с определенной в нем нормой называется нормированным пространством.

В дальнейшем вместо обозначения p(f) для нормы элемента f 2 X будем использовать обозначение kfk:

Определение 15. Последовательность элементов ffng1n=1 нормированного пространства X сходится к элементу f0 2 X по норме ( в пространстве X), если kfn f0k ! 0; n ! 1:

Определение 16. Последовательность элементов ffng1n=1 нормированного пространства X называется фундаментальной (последовательностью Коши), если для любого " > 0 найдется натуральное число n0(") такое, что выполняется неравенство

kfn fmk < "; 8m; n n0("):

61

Пусть последовательность ffng X сходится по норме к элементу f0: Для произвольного " > 0 обозначим n0(") значение индекса, начиная с которого kfn f0k < "=2 (n n0(")) Тогда для всех n; m n0(") будет

kfn fmk kfn f0k + kfm f0k < ";

следовательно, ffng – последовательность Коши.

Обратное утверждение, вообще говоря, не верно, т.е. не всякая последовательность Коши в нормированном пространстве X сходится в этом пространстве к какому-либо элементу.

Определение 17. Нормированное пространство X, в котором любая последовательность Коши сходится, называется полным нормированным (банаховым) пространством.

Определение 18. Функционал T; определенный на линейном пространстве X, называется линейным, если

T ( f+ g) = T (f)+ T (g); для любых f; g 2 X; ; 2 R:

Легко видеть, что T (0) = 0; если T – линейный функционал. Действительно,

T (0) = T (f f) = T (f) T (f) = 0:

Пусть теперь T – функционал, определенный на нормированном пространстве X.

Определение 19. Функционал T называется ограниченным, если существует положительное число K, такое, что

jT (f)j Kkfk для всех f 2 X:

Определение 20. Функционал T называется непрерывным в точке f0 2 X, если для любой последовательности

62

элементов ffng этого пространства, сходящейся по норме к f0; выполнено соотношение

T (fn) ! T (f0):

Функционал T непрерывен, если он непрерывен в каждой точке f0 2 X:

Лемма 6. Пусть T – линейный функционал, определенный на нормированном пространстве X.

Следующие утверждения эквивалентны:

2

1) функционал T непрерывен в точке 0 X;

2)функционал T непрерывен (во всех точках пространства X);

3)функционал T ограничен.

J

Докажем импликацию 1) =) 2). Пусть f0 2 X; fn ! f0: Это означает выполнение соотношений

В силу непрерывности функционала T в точке 0 будет

T (fn f0) ! 0; n ! 1

что эквивалентно, в силу линейности этого функционала, соотношению

T (fn) ! T (f0); n ! 1;

которое как раз и означает непрерывность функционала T в точке f0:

Ясно, что 2) =) 1).

Докажем, что 1) =) 3). Предположим, что эта импли-

кация не верна, т.е. функционал T непрерывен в точке 0; но не ограничен. Тогда для каждого N 2 N найдется ненулевой элемент fN 2 X такой, что jT (fN )j > NkfN k: Положим

63

что противоречит непрерывности функционала T в точке 0. Осталось проверить, что 3) =) 1).

Пусть jT (f)j Kkfk; для всех f 2 X; ffng X –

произвольная сходящаяся к 0 в X последовательность. Тогда

jT (fn)j Kkfnk ! 0; n ! 1;

и значит, T (fn) ! 0, т.е. функционал T непрерывен в точке

0:

I

Обозначим C[a; b] совокупность всех непрерывных вещественнозначных функций f, определенных на отрезке [a; b]: Операции поточечного сложения функций и умножения функции на вещественое число определяют в C[a; b] структуру линейного пространства над полем R:

Для каждой f 2 C[a; b] положим

kfk = max jf(x)j:

x2[a;b]

Нетрудно проверить, что для такого определения выполнены все аксиомы нормы.

Сходимость fn ! f по норме эквивалентна тому, что

max jfn(x) f(x)j ! 0; n ! 1;

x2[a;b]

то есть равномерной сходимости последовательности ffng на отрезке [a; b]:

Аналогично, фундаментальность последовательности ffng по введенной норме означает, что для каждого положительного числа " найдется номер n0("); начиная с которого

64

выполняется неравенство

max jfn(x) fm(x)j < "; m; n n0("):

x2[a;b]

Последнее соотношение есть условие критерия Коши равномерной сходимости последовательности функций на отрезке

[a; b]: Значит, существует lim fn = f; причем f 2 C[a; b]; а

n!1

сходимость равномерная на отрезке [a; b]: В силу отмеченной выше эквивалентности равномерной сходимости на отрезке [a; b] и сходимости по норме имеем

kfn fk ! 0; n ! 1:

Таким образом, в нормированном пространстве C[a; b] всякая фундаментальная последовательность является сходящейся, и значит C[a; b] – банахово пространство.

3.2Общий вид линейного непрерывного функционала в пространстве C[a; b]

Пусть '(x) – функция ограниченной вариации на [a; b]. Определим функционал T' : C[a; b] ! R по формуле

a

В силу теоремы 13 это определение корректно, а в силу свойств 1 ; 3 интеграла Стилтьеса функционал T' линейный. Согласно теореме 15 имеем оценку

Следовательно, T' – ограниченный, а значит, по лемме 6, и непрерывный на C[a; b] функционал.

65

Наша цель – доказать, что функционалами вида (3.1) исчерпываются все линейные непрерывные функционалы на пространстве C[a; b]

Определение 21. Пусть f 2 C[0; 1]: Полиномом Бернштейна называется многочлен

Теорема 18. Последовательность полиномов Бернштейна Bn сходится к функции f по норме пространства C[0; 1] :

Докажем сначала две леммы.

Лемма 7. Для всех x 2 R выполнено соотношение

n

X

Cnkxk(1 x)n k = 1:

k=0

J

Применим формулу бинома Ньютона

n

X

( + )n = Cnk k n k k=0

с = x; = 1 x: Так как + = 1; получим

n

X

Cnkxk(1 x)n k = 1n = 1:

k=0

I

66

Лемма 8. Для любого x 2 R справедливо неравенство

k=0

J

Запишем формулу бинома Ньютона для = y; = 1 :

k=0

Продифференцировав (3.4) по y и затем умножив полученное тождество на y; будем иметь

n

X

Cnkk2yk = ny(1 + y)n 1 + ny(n 1)y(1 + y)n 2 () (3.5)

k=0

n

k=0

67

Умножим каждое из последних трех тождеств на (1 x)n; получим

k=0

Умножим теперь (3.8) на n2x2; (3.9) – на ( 2nx); (3.10) – на 1 и сложим полученные тождества:

n

X

Cnk(k nx)2xk(1 x)k = nx(1 x)

k=0

Нетрудно убедиться в том, что nx(1 x) n4 , x 2 R; n 2 N: Действительно, это неравенство равносильно следующему x x2 14; которое, в свою очередь эквивалентно неравенству (2x 1)2 0; справедливому при всех x 2 R: Поэтому

n

X

Cnk(k nx)2xk(1 x)k n=4:

k=0

Лемма доказана.

I

68

J

Доказательство теоремы 18.

Для произвольного числа " > 0 в силу равномерной непрерывности функции f найдется положительное число ; для которого верна импликация

jx0 x00j < ; x0; x00 2 [0; 1] =) jf(x0) f(x00)j < ":

Для каждого фиксированного x 2 [0; 1] разобьем множество f0; : : : ; ng значений индекса k, по которому производится суммирование в формуле

69

В силу выбора и определения множества Ax имеем

70