Действительный анализ

bm

_X

(f) = (jfi f(ci)j + jf(ci+1) fij) =

ai=0

m

X

jf0 f(a)j + (jf(ci) fi 1j + jfi f(ci)j) + jf(b) fmj:

i=1

I

Теорема 7. Функция f; определенная на отрезке [a; b]: имеет на нем ограниченную вариацию тогда и только тогда, когда на этом отрезке

где g1; g2 – возрастающие на [a; b] функции.

J

Достаточность условия (1.11) очевидна: в силу теоремы 3 g1; g2 – функции ограниченной вариации на отрезке [a; b], следовательно (теорема 5), f = g1 g2 – функция ограниченной вариации на этом отрезке.

Докажем необходимость. Пусть f – функция ограниченной вариации на отрезке [a; b]: Определим функцию

Эта функция возрастает на [a; b]: Действительно, для y > x > a, с учетом теоремы 6, имеем

21

Для x > a :

x

_

g1(x) = (f) 0 = g1(a):

a

Покажем, что функция g2(x) = g1(x) f(x) тоже возрастает на [a; b]: Пусть x < y, x; y 2 [a; b]: Тогда

_

(g1(x) f(x)) + (f) (f(y) f(x)) =

x

y

_

g2(x) + (f) (f(y) f(x)) g2(x);

x

y

W

так как, очевидно, (f) f(y) f(x):

x

Следовательно, f = g1 g2; где g1; g2 – возрастающие функции на отрезке [a; b]:

I

Следствие 6. Множество точек разрыва функции ограниченной вариации f на отрезке [a; b] не более, чем счётно.

J

Согласно теореме 7 множество точек разрыва функции f содержится в объединении множеств точек разрыва двух возрастающих функций, g1 и g2: Каждое из этих множеств не более, чем счётно (теорема 1).

I

Для функции f, имеющей ограниченную вариацию на отрезке [a; b], обозначим fxkg, k = 1; 2; : : : ; совокупность точек разрыва функций g1 и g2 из представления (1.11) и опре-

22

делим функцию скачков sf :

>

>

:

Вообще говоря, из сказанного выше не следует, что в каждой точке xk функция f имеет разрыв. Однако, в действительности это так: множество точек разрыва функции f состоит в точности из точек fxkg (см. теорему 10 ниже).

Теорема 8. Если f – функция ограниченной вариации на отрезке [a; b], sf – ее функция скачков, то f~ = f sf – непрерывная функция ограниченной вариации на отрезке [a; b]: Иными словами, функция ограниченной вариации f представляется в виде суммы непрерывной функции ограниченной вариации и своей функции скачков sf :

J

Согласно теореме 3 для возрастающих функций g1 и g2 из формулы (1.11) имеют место представления

g1 = g~1 + sg1; g2 = g~2 + sg2;

где sgi – функция скачков для gi; g~i – непрерывная возрастающая функция на отрезке [a; b]; i = 1; 2.

Тогда для функции f; учитывая (1.11), можем написать

В силу теоремы 7 слагаемое (g~1 g~2) представляет собой непрерывную функцию ограниченной вариации. Для второго

23

слагаемого в правой части (1.12) имеем при x 2 (a; b]

X

sg1(x) sg2(x) = (g1(a+0) g1(a))+ (g1(xk+0) g1(xk 0))+

(g1(a + 0) g2(a + 0)) (g1(a) g2(a)) +

X

(g1(xk + 0) g2(xk + 0)) ((g1(xk 0) g2(xk 0))) +

xk<x

((g1(x) g2(x)) (g1(x 0) g2(x 0))) = (f(a+0) f(a))+

X

(f(xk + 0) f(xk 0)) + (f(x) f(x 0)) = sf (x):

xk<x

В точке x = a будет

sg1(a) = sg2(a) = sf (a) = 0;

поэтому sg1(a) sg2(a) = sf (a):

Обозначив f~ = g~1 g~2; из (1.12) получим f = f~ + sf :

I

1.3 Принцип выбора Хелли

Рассмотрим семейство функций H = ffg; определенных на отрезке [a; b] вещественной прямой.

Определение 11. Семейство H называется равномерно ограниченным, если существует положительное число

M, для которого jf(x)j M; x 2 [a; b]; f 2 H:

24

Лемма 4. Пусть H – равномерно ограниченное на отрезке [a; b] семейство функций. Тогда для любого счётного множества точек

E [a; b]

существует последовательность функций

fn 2 H; n = 1; 2; : : : ;

сходящаяся на множестве E.

J

Пусть E = fykg1k=1. Рассмотрим числовое множество

F1 = ff(y1)gf2H R:

В силу равномерной ограниченности семейства H будет

jf(y1)j M; f 2 H;

то есть F1 – ограниченное подмножество R: По теореме Больцано-Вейерштрасса существует сходящаяся числовая последовательность, содержащаяся в F1: Обозначим эту последовательность fn(1)(y1); а ее предел A1:

lim fn(1)(y1) = A1 2 R:

n!1

Далее, рассмотрим последовательность значений

Из равномерной ограниченности семейства H следует, что

n=1

no

последовательность fn(1)k (y2) и положим

A2 = lim f(1)(y2):

k!1 nk

25

Обозначим fk(2) := fn(1)k , k = 1; 2; : : :

Продолжая этот процесс неограниченно, для каждого натурального k найдем последовательность функций ffn(k)g H; для которой существует

lim fn(k)(yk) =: Ak:

n!1

Покажем, что диагональная последовательность fn(n); n = 1; 2; : : : ; является искомой. Действительно, обозначив f~n = fn(n), видим, что для любого фиксированного k 2 N

I

Лемма 5. Пусть H – равномерно ограниченное на отрезке [a; b] семейство возрастающих функций. Тогда существует последовательность функций ffng1n=1 H, сходящаяся в каждой точке отрезка [a; b] к возрастающей функции.

J Положим E = fag [ ([a; b] \ Q) : Так как E – счётное множество, перенумеровав его точки, можем написать

E = fxjg1j=1:

По лемме 4 найдется последовательность функций f~k 2 H; k = 1; 2; : : : ; сходящаяся на множестве E :

lim f~k(xj) = Aj; ; xj 2 E:

k!1

26

Докажем, что функция g~ возрастает на [a; b]. Пусть x0; x00 2 [a; b]; x0 < x00: Возможны следующие случаи.

1)x0; x00 2 E: Тогда требуемое неравенство g~(x0) g~(x00) получается из неравенства fk(x0) fk(x00) (функция fk 2 H – возрастающая) предельным переходом при k ! 1;

с учетом определения g~ на множестве E.

2)x0 2 E; x00 2= E: Так как x0 < x00; будет g~(x0) sup g~(x) =

x<x00 x2E

g~(x00):

3)x0 2= E; x00 2 E Для всякого xj 2 E, меньшего, чем x0; будет xj < x00 2 E. Так как на множестве E функция g~ возрастает (см. случай 1)), то для всех таких xj выполнено неравенство

g~(xj) g~(x00):

Тогда и требуемое неравенство выполняется: g~(x0) = sup g~(xj) g~(x00):

Функция g~ возрастает на отрезке [a; b]. Согласно теореме 1 множество S точек разрыва этой функции не более, чем счётно. Из определения (1.13) функции g~ следует, что для всех x 2 E выполнено

27

Докажем, что соотношение (1.14) имеет место также всюду на множестве [a; b] nS: Фиксируем произвольное число x0 2 [a; b] n S: В силу непрерывности функции g~ в точке x0 для любого " > 0 найдется положительное число = (") такое, что неравенство jg~(x) g~(x0)j < " выполнено для всех x 2 [a; b] n S; jx x0j < : Так как Q плотно в R, найдутся числа x0; x00 2 E, удовлетворяющие неравенствам:

x0 < x0 < x0 < x00 < x0 + :

В силу выбора числа имеем

По определению функции g~ соотношение (1.14) выполнено на множестве E, поэтому найдется номер n0 = n0("); начиная с которого будут верны неравенства

jfn(x0) g~(x0)j < "; jfn(x00) g~(x00)j < " для всех n n0:

(1.16) Для оценки величины jfn(x0) g~(x0)j используем (1.15)

и (1.16). Учитывая, что fn – возрастающая функция, получим при каждом n n0 цепочку неравенств

g~(x0) 2" < g~(x0) " < fn(x0) fn(x0) fn(x00) <

g~(x00) + " < g~(x0) + 2":

Отсюда выводим, что

jfn(x0) g~(x0)j < 2"; n n0:

Это означает, что в точке x0 2 [a; b] n S выполнено требуемое предельное соотношение:

lim fn(x0) = g~(x0):

n!1

28

Применив лемму 4 к множеству S и семейству ffng1n=1; найдем подпоследовательность ffnk g; сходящуюся в каждой точке множества S. Определим функцию

8

<g~(x); x 2 [a; b] n S;

: lim fnk (x); x 2 S:

k!1

В силу того, что на множестве [a; b] n S выполнено соотношение (1.14), учитывая выбор подпоследовательности ffnk g; видим, что на всем отрезке [a; b] будет выполняться соот-

ношение lim fn (x) = g(x): Следовательно, g – возрастаю-

k!1 k

щая функция (как предел последовательности возрастающих функций).

I

Теорема 9. (Хелли) Пусть H = ffg – равномерно ограниченное на отрезке [a; b] семейство функций ограниченной вариации, при этом для некоторого положительного числа K

Тогда из H можно выделить последовательность функций ffng1n=1, сходящуюся в каждой точке отрезка [a; b] к некоторой функции ограниченной вариации f0:

J

Для f 2 H рассмотрим функцию g1;f , определенную на отрезке [a; b] формулой:

8

<0; x = a;

g1;f (x) = Wx

: (f); x 2 (a; b]:

a

Функция g1;f неотрицательная и возрастающая (см. доказательство теоремы 7) на всем отрезке [a; b]: Кроме того, из

29

теоремы 6, неотрицательности полной вариации по любому отрезку и условия ограниченности полных вариаций функций f 2 H следует, что для всех x 2 [a; b] будет:

Значит, семейство возрастающих функций

H1 = fg1;f ; f 2 Hg

равномерно ограничено на [a; b]. Применив к этому семейству лемму 5, найдем в нем последовательность функций gn = g1;fn; n = 1; 2; : : : , сходящуюся во всех точках отрезка [a; b] к некоторой возрастающей функции g~.

Положим g2;fn = g1;fn fn: Функции семейства

H2 = fg2;fn; n = 1; 2; : : : g

возрастают (см. доказательство теоремы 7) и равномерно ограничены на [a; b] :

Используя лемму 5 для семейства H2, найдем подпоследовательность g2;fnk ; k = 1; 2; : : : ; которая сходится на отрезке [a; b] к возрастающей функции g^.

Ясно, что тогда последовательность

fnk = g1;fnk g2;fnk

сходится к функции g = g~ g^, которая имеет на [a; b] ограниченную вариацию, так как является разностью возрастающих функций (теорема 7).

I

30