Действительный анализ

1.4Дальнейшие свойства функций ограниченной вариации

Теорема 10. Пусть f – непрерывная функция ограниченной

x

W

вариации на отрезке [a; b]: Тогда функция g1(x) = (f) то-

a

же непрерывна на [a; b].

J Зафиксируем произвольную точку x0 2 [a; b]: Так как функция f непрерывна в этой точке, имеем (см. лемму 1)

lim f(x) = lim f(x) = f(x0):

x!x0+0 x!x0 0

Это и будет означать, согласно лемме 1, непрерывность функции g1 в точке x0:

Пусть x0 < b: Докажем, что существует lim g1(x) и

x!x0+0

его значение равно g1(x0):

Функция f равномерно непрерывна на отрезке [a; b]. Поэтому для произвольного " > 0 можем найти = (") > 0; для которого

_ _ _ _

g1(x0) g1(x0) = (f) = (f) + (f) = g1(x0) + (f);

a a x0 x0

(1.18)

здесь во втором равенстве использована теорема 6.

31

x0

W

Оценим (f): Пусть

x0

x0 < x1 < < xn < b =: xn+1

– разбиение отрезка [x0; b]; для которого сумма

n+1

X

V = jf(xj) f(xj 1)j

j=1

b

W

удовлетворяет неравенству V > (f) ": Если к разбиению

x0

fxjg добавить точку x0; сумма V 0; составленная по новому разбиению будет не меньше, чем V . Для случая, когда x0 x1; учитывая (1.17), имеем

b

_

(f) " < V 0 = jf(x0) f(x0)j+

x0

n+1

X

jf(x1) f(x0)j + jf(xj) f(xj 1)j <

j=2

n+1

X

< " + jf(x1) f(x0)j + jf(xj) f(xj 1)j: (1.19)

j=2

Для случая, когда x0 > x1; аналогично получим неравенства

b

_

(f) " < V 0 = jf(x1) f(x0)j + jf(x0) f(x1)j+

x0

n+1

X

jf(x2) f(x0)j + jf(xj) f(xj 1)j <

j=3

n+1

X

2" + jf(x2) f(x0)j + jf(xj) f(xj 1)j: (1.20)

j=3

32

Используя (1.19), (1.20), теорему 6 и определение полной вариации функции f на отрезке [x0; b]; можем написать

g1(x0) g1(x0) < 3"; x0 > x0; x0 x0 < :

Значит, возрастающая функция g1 непрерывна справа в каж-

Следствие 7. Непрерывная функция ограниченной вариации f на отрезке [a; b] может быть представлена в виде разности непрерывных возрастающих функций на [a; b]:

J

Согласно теореме 7 имеет место представление f = g1 g2;

33

по теореме 10, значит, непрерывна и функция g2:

I

Пусть f : [a; b] ! R – непрерывная функция. Рассмотрим произвольное разбиение отрезка [a; b] :

x0 = a < x1 < : : : < xn+1 = b:

Для j = 0; : : : ; n обозначим

!j = Mj mj – колебание функции f на отрезке [xj; xj+1]:

Положим

XX

Обозначим через параметр разбиения fxjg; равный максимуму длин отрезков [xj; xj+1]; j = 0; : : : n; и рассмотрим V = V ( ); = ( ) как многозначные функции переменной

> 0:

Теорема 11. Если функция f непрерывна на отрезке [a; b], то существуют и равны между собой lim V ( ) и lim ( ):

Прежде чем приступить к доказательству теоремы 11, рассмотрим пример, показывающий, что требование непрерывности функции f на отрезке [a; b] является существенным для справедливости соотношений (1.21).

34

Пример. Пусть a = 1; b = 1; функция f : [ 1; 1] ! R определена формулой

любого разбиения fxjg (с как угодно малым значением ), не содержащего точки 0 (xj 6= 0, j = 1; : : : ; n) будет V = 0;

= 1:

J Доказательство теоремы 11.

Пусть fxjgnj=1 – какое-нибудь разбиение отрезка [a; b] :

a =: x0 < x1 < < xn < b =: xn+1;

n+1

V = P jf(xj) f(xj 1)j – сумма, соответствующая этому

j=1

разбиению. Пусть, далее,

x0 2 [a; b]; a < x1 < < xk < x0 < xk+1 < < b;

Нетрудно проверить, что верны неравенства

V V 0 V + 2!k;

где, как и выше, !k – колебание функции f на k-м отрезке

[xk; xk+1]:

Так как сумма V , составленная для функции f по любо-

b

W

му конечному разбиению отрезка [a; b]; не превосходит (f);

a

35

соотношение

эквивалентно следующему утверждению: для любого числа

b

W

A < (f) найдется положительное число = (A) такое,

a

что V ( ) > A; если только параметр разбиения ; по которому составлена эта сумма, меньше, чем :

i=1

удовлетворяет неравенству V > A:

Функция f равномерно непрерывна на отрезке [a; b], по-

этому для " = V A > 0 найдется число > 0; такое, что

4(m +1)

jf(x0) f(x00)j < " ; если x0; x00 2 [a; b] и jx0 x00j < :

Покажем, что в качестве (A) можно взять : Пусть fxjgnj=1 – произвольное разбиение отрезка [a; b]; удовлетворющее условию

= max (xj+1 xj) < :

0 j n

В силу условий выбора для этого разбиения будет выполняться неравенство

~

Для суммы V , составленной по объединению разбиений

fxi gmi=1 [fxjgnj=1;

36

учитывая замечание в начале доказательства и неравенство (1.23), имеем

так как V > A:

Докажем вторую часть соотношения (1.21), касающуюся значений ( ): Пусть fxjgnj=1 – какое-нибудь разбиение отрезка [a; b] с параметром ;

n+1

X

V ( ) = jf(xj) f(xj 1)j ;

j=1

XX

Ясно, что V ( ) ( ):

С другой стороны, в силу непрерывности f на отрезках [xj 1; xj]; j = 1; : : : ; n + 1; найдутся точки j; j такие, что

Устремляя к нулю и учитывая доказанную выше часть соотношения (1.21) для V ( ), из двойного неравенства

b

_

V ( ) ( ) (f)

a

37

получим

Теорема доказана.

I

38

2Интеграл Стилтьеса

2.1Определение и основные свойства интеграла Стилтьеса

Пусть f, g – вещественнозначные функции, заданные на отрезке [a; b];

x0 = a < x1 < x2 < < xn < xn+1 = b

биения fxjg. Составим сумму

n

X

S = f( j) (g(xj+1) g(xj)) :

j=0

Определение 12. Число I 2 R называется интегралом Стилтьеса от функции f по функции g, если для любого числа " > 0 найдется число = (") > 0; такое, что jI Sj < " для суммы S; составленной по любому разбиению fxjg с параметром < ) с произвольным выбором точекj 2 [xj; xj+1]; j = 0; : : : ; n: Иными словами,

b

Z

lim S = I =: f(x)dg(x):

!0

a

В частном случае, когда g(x) x на [a; b]; интеграл Стилтьеса совпадает с интегралом Римана.

Расмотрим основные свойства интеграла Стилтьеса. Пусть f1; f2; f; g1; g2, g – функции заданные на отрезке [a; b] со значениями в ( 1; +1): В каждом из следующих

трех соотношений существование интегралов в правой части влечет существование интеграла в левой части и соответствующее равенство.

39

Свойства 1 3 доказываются с использованием определения интеграла Стилтьеса и известных свойств операции предельного перехода. Докажем, например, свойство

2 :

J

Выбрав произвольное разбиение a = x0 < x1 < : : : <

0; получим нужное равенство.

I

40