Действительный анализ

Теорема 14. Пусть f – непрерывная на отрезке [a; b] функция, а g – кусочно постоянная на этом отрезке функция.

+ f(b)(g(b) g(b 0)): (2.7)

J

Согласно определению кусочно постоянной функции (приведенному перед следствием 5 из теоремы 6) существуют точки c1; : : : ; cm 2 (a; b); такие, что g gi 2 R в интервале

(ci; ci+1), i = 0; : : : m (полагаем c0 = a; cm+1 = b). По следствию 5 из теоремы 6

b

_

(g) < +1;

a

b

R

значит, согласно теореме 12, интеграл fdg существует.

a

Докажем формулу (2.7). Используя свойство 4 , можем написать

ai=0 ci

Пусть x0 = ci < x1 < < xn < xn+1 = ci+1 – произвольное разбиение отрезка [ci; ci+1]; j 2 [xj; xj+1]; j = 0; : : : ; n; при этом

0 = x0 = ci; n = xn+1 = ci+1:

51

ci+1

R

Для интеграла fdg обозначим S[ci;ci+1] интегральную сум-

ci

му, составленную по этому разбиению. Для этой суммы имеем

n

X

S[ci;ci+1] = f( j)(g(xj+1) g(xj)) =

j=0

n 1

X

f(ci)[g(x1) g(ci)] + f( j) 0 + f(ci+1)[g(ci+1) g(xn)] =

j=1

f(ci)[g(x1) g(ci)] + f(ci+1)[g(ci+1) g(xn)]:

Нетрудно видеть, что предел последнего выражения при =

max(xj+1 xj) ! 0 равен

j

f(ci)[g(ci + 0) g(ci)] + f(ci+1)[g(ci+1) g(ci+1 + 0)]:

Следовательно,

ci+1

Z

fdg = f(ci)[g(ci + 0) g(ci)] + f(ci+1)[g(ci+1) g(ci+1 + 0)];

ci

i = 0; : : : ; m:

Из этих соотношний и равенства (2.8) следует формула (2.7).

I

2.2Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса

_

fdg M (g):

a a

52

в силу теоремы 12. Оценим интегральную сумму S для этого интеграла, составленную по произвольному разбиению

n

X

jf( j)j jg(xj+1) g(xj)j

j=0

I

Теорема 16. Пусть ffng – последовательность непрерыв-

ных на отрезке [a; b] функций, и lim fn =: f – функция,

n!1

непрерывная на [a; b]; g – функция ограниченной вариации на этом отрезке. Тогда

ZZ

53

J

Все интегралы, входящие в соотношение (2.9), существуют по теореме 12. Функции (fn f) непрерывны на отрезке [a; b], сходимость последовательности функций fn к f (или, что то же самое, последовательности (fn f) к 0) равномерная на отрезке [a; b]: Поэтому для любого положительного числа " найдется номер n0("); такой, что выполнено неравенство

Используя этот факт, теорему 15 и свойства 1 и 3 интеграла Стилтьеса, можем написать

b b

_ _

Mn (g) < " (g); n n0(");

a a

что и означает справедливость предельного соотношения

bb

ZZ

lim fndg = fdg:

n!1

aa

I

Теорема 17. (Хелли) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a; b]; а функции gn, n = 1; 2; : : : ; определены на этом отрезке и для некоторого положительного числа K

b

_

(gn) K; n = 1; 2; : : :

a

Если для каждого x 2 [a; b] существует конечный предел

g(x) = lim gn(x);

n!1

54

b

R

то существует интеграл fdg и имеет место соотноше-

J

b

W

Докажем, что (g) < +1: Тогда существование инте-

a

b

R

грала fdg будет следовать из теоремы 12.

a

Для произвольного разбиения x0 = a < x1 < : : : < xn <

g(xk) = lim gn(xk) для каждого k = 0; : : : ; n + 1; можем написать n!1

n

X

V = lim jgn(xk+1) gn(xk)j K:

n!1

k=0

Поэтому

b

_

(g) = sup V K < +1:

a

При доказательстве формулы (2.10) нам понадобится следующий факт, который легко выводится из определения интеграла Стилтьеса. Пусть 2 R; g – произвольная функция, заданная на отрезке [c; d] R: Тогда интеграл Стил-

d

R

тьеса dg существует и равен (g(d) g(c)):

c

Рассмотрим опять произвольное разбиение отрезка

[a; b] :

x0 = a < x1 < x2 < : : : < xn < xn+1 = b:

55

Согласно свойству 4 будет

=: 1 + 2: (2.11) Аналогично (2.11) для каждого k 2 Nнапишем представление

aj=0

n Z xj+1

X

(f(x) f(xj))dgk(x) =: 1;k + 2;k: (2.12)

j=0 xj

Для выбранного фиксированного разбиения fxjg, учитывая, что

Пусть " > 0 – произвольное число. По определению предела найдется номер k" такой, что

j 1 1;kj < "=3; k k":

В силу равномерной непрерывности функции f на отрезке [a; b] найдется положительное число "; для которого верно

56

утверждение: jf(x0) f(x00)j < "=3K для всех x0; x00 2 [a; b] удовлетворяющих условию jx0 x00j < ".

Выбирая разбиение fxjg с параметром = max(xj+1

j

fdgk 1;k = j 2j + j 1 1;kj+

57

Следовательно, имеет место предельное соотношение (2.10).

I

Пусть функция f непрерывна на отрезке [a; b]; а функция g имеет на этом отрезке ограниченную вариацию. Согласно следствию из теоремы 8 множество точек разрыва функции g не более, чем счетно. Обозначим это множество fx1; x2; : : : g: В силу следствия 2 и теоремы 7 функция g может быть представлена в виде

g = gc + s;

где gc – непрерывная функция ограниченной вариации на отрезке [a; b], а s – функция скачков функции g; определяемая по формуле

В силу свойства 2 интеграла Стилтьеса имеем

Z b Z b Z b

fdg = fdgc + fdsg:

a a a

Используя теорему 17, вычислим интеграл Rab fdsg: Положим

8

>0; x = a;

>

>

P

>

>

>g(a + 0) g(a) + [g(xk + 0) g(xk 0)]+

<

58

Ясно, что для каждого фиксированного x 2 [a; b] верно пре-

дельное сооотношение lim sn(x) = s(x):

n!1

Покажем, что для некоторого числа K 2 (0; +1) выполнены неравенства

b

_

(sn) K n = 1; 2; : : :

a

Функции sn кусочно постоянные, по следствию 5

b

_

(sn) = jg(a 0) g(a)j +

a

X

jg(xk + 0) g(xk)j + jg(xk 0) g(xk)j

k n

1

X

jg(a 0) g(a)j + jg(xk + 0) g(xk)j +

k=1

jg(xk 0) g(xk)j =: K:

Убедимся в том, что K < +1: Согласно теореме 8 функция g представляется в виде g = g1 g2; где g1; g2 – возрастающие на отрезке [a; b] функции. Поэтому

jg(xk + 0) g(xk)j =

jg1(xk + 0) g1(xk) + g2(xk) g2(xk + 0)j

(g1(xk + 0) g1(xk)) + (g2(xk + 0) g2(xk)); jg(xk 0) g(xk)j (g1(xk) g1(xk 0))+(g2(xk) g2(xk 0)):

Следовательно, для каждого k 2 N; значение выражения

(jg(xk + 0) g(xk)j + jg(xk 0) g(xk)j)

не превосходит суммы скачка функции g1 в точке xk и скачка функции g2 в этой же точке. Сумма всех скачков возрастающей функции gi, i = 1; 2; в свою очередь, не превосходит

59

(gi(b) gi(a)) ( лемма 3). Поэтому

K = jg(a 0) g(a)j +

1

X

(jg(xk + 0) g(xk)j + jg(xk 0) g(xk)j)

k=1

(g1(b) g1(a)) + (g2(b) g2(a)) < +1:

ZZ

60