Действительный анализ

Покажем, что если f удовлетворяет условию Липшица, то f – функция ограниченной вариации.

Действительно, пусть

a = x0 < x1 < < xn < xn+1 = b

– произвольное конечное разбиение отрезка [a; b]: Тогда

некоторого положительного числа K выполняется неравен-

ство

jf0(x)j K; x 2 [a; b]:

Отсюда, используя теорему о конечных приращениях, выводим, что

jf(x0) f(x00)j jf0(x )jjx0 x00j Kjx0 x00j;

x 2 [x0; x00]; x0; x00 2 [a; b];

т.е. функция f удовлетворяет условию Липшица. Следова-

b

W

тельно, (f) < +1:

a

Функция, удовлетворяющая условию Липшица, непрерывна. Монотонная функция (тоже имеющая ограниченную вариацию согласно теореме 3)не обязательно непрерывна.

Приведем пример непрерывной функции, полная вариация которой бесконечна.

11

На отрезке [0; 1] определим функцию

Функция f непрерывна на отрезке [0; 1]. Для точки x 2 (0; 1] это ясно из определения f. Непрерывность в точке x = 0 следует из соотношения

рассмотрим разбиение fx(jn)g2j=0n+1; определенное следующим образом:

Запишем сумму Vn; составленную по разбиению fx(jn)g2j=1n :

Vn = jf(x(1n)) f(0)j + jf(x(2n)) f(x(1n))jj + + j

f(x(2nn)) f(x(2nn) 1)j + jf(1) f(x(2nn))j =

j(1=2 + 2n) 1 1 0j+ j(1=2 + 2n 1) 1 ( 1) (1=2 + 2n) 1 1j+

++j(1=2+1) 1 ( 1) (1=2+2) 1 1j+j0 (1=2+1) 1 ( 1)j

2 (1=(2n + 1) + 1=(2n) + + 1=3) :

Величина 2 (1=(2n + 1) + 1=(2n) + + 1=3) неограниченно возрастает при увеличении n (с точностью до постоянного слагаемого она ведет себя как частичная 2n-я сумма расходящегося гармонического ряда). Значит, sup Vn = +1: Сле-

b

ка [0; 1]:

12

Теорема 4. Пусть f – функция ограниченной вариации на отрезке [a; b]: Тогда f – ограниченная функция на этом отрезке: найдется положительное число M; для которого

jf(x)j M; x 2 [a; b]:

J

Легко видеть, что

jf(x)j = jf(x) f(a)j jf(a)j + jf(x) f(a)j +

b

_

jf(b) f(x)j jf(a)j + (f);

a

так как выражение jf(x) f(a)j+ jf(b) f(x)j представляет собой сумму V для разбиения x0 = a < x1 = x < x2 = b отрезка [a; b]: Таким образом, функция f ограничена на [a; b]

b

W

постоянной M = jf(a)j + (f):

a

I

Теорема 5. Пусть f; g – функции ограниченной вариации на отрезке [a; b]: Тогда функции

1)(f g),

2)(f g) ;

3)f=g (при условии, что jg(x)j > 0, 8x 2 [a; b])

4)f ( – вещественное число)

имеют ограниченную вариацию на отрезке [a; b]:

J

13

1) Рассмотрим произвольное разбиение отрезка [a; b] : x0 = a < x1 < < xn < b = xn+1:

Составим по этому разбиению сумму для функции (f g) и оценим ее.

n+1

X

V = j(f(xj) g(xj)) (f(xj 1) g(xj 1))j

j=1

n+1

X

(jf(xj) f(xj 1)j + jg(xj) g(xj 1)j) =

_ _

(f) + (g):

a a

Правая часть этой цепочки соотношений конечна и не зависит от разбиения fxjg, поэтому

2)Функции f и g ограничены на отрезке [a; b] по теореме 4. Поэтому существуют положительные постоянные A и B; такие, что:

Пусть x0 = a < x1 < < xn < b = xn+1 – произвольное разбиение отрезка [a; b]: Составим по этому разбие-

14

нию сумму для функции fg и оценим ее, учитывая (1.6):

n+1

X

V = jf(xj)g(xj) f(xj 1)g(xj 1)j =

j=1

n+1

X

=jf(xj)g(xj) f(xj 1)g(xj 1) f(xj 1)g(xj)j

_ _

B (f) + A (g):

a a

Значение последнего выражения конечно и не зависит от разбиения fxjg; следовательно

3)Так как f=g = f g1, достаточно доказать, что g1 – функция ограниченной вариации на отрезке [a; b] (при условии, что

для некоторого положительного числа всюду на этом отрезке имеет место неравенство jg(x)j ).

Для произвольного разбиения x0 = a < x1 < < xn < b = xn+1 оценим сумму

15

4) Пусть x0 = a < x1 < < xn < b = xn+1 – произвольное

~

разбиение отрезка [a; b]: Обозначим V и V суммы, составленные по этому разбиению для функций f и f; соответ-

Теорема 6. Пусть f(x) – функция, заданная на отрезке

[a; b]; c 2 (a; b): Тогда

J

Рассмотрим произвольные разбиения fykgnk=1 ; fzjgmj=1 отрезков [a; c] и [c; b], соответственно, при этом полагаем y0 = a; yn+1 = z0 = c; zm+1 = b: Составим по этим разбиениям суммы

16

Тогда V = V1 + V2 – сумма по разбиению fykgnk=1 Sfzjgmj=1

b

W

отрезка [a; b]: Следовательно, V1 + V2 = V (f), и значит,

a

Для завершения доказательства осталось показать, что

Пусть fxigsi=1 – произвольное разбиение отрезка [a; b]: Если c = xi0; то соответствующая этому разбиению сумма

s+1

X

V = jf(xi) f(xi 1)j

i=1

представляется в виде

V = V1 + V2;

где

i0

X

V1 = jf(xi) f(xi 1)j

i=1

– сумма, составленная по разбиению fxigii0=11 отрезка [a; c];

s+1

X

V2 = jf(xi) f(xi 1)j

i=i0+1

17

– суммы для отрезков [a; c] и [c; b], соответственно. Значит, и

18

в случае, когда xi 6= c; i = 1; : : : ; s; будет

Следствие 3. Функция f имеет ограниченную вариацию на отрезке [a; b] тогда и только тогда, когда для любого c 2 (a; b) она является функцией ограниченной вариации на каждом из отрезков [a; c] и [c; b]; и при этом справедлива формула (1.7).

Из теорем 3 и 6 нетрудно вывести следующее утвержде-

ние.

Следствие 4. Пусть функция f определена на отрезке [a; b] и для некоторых точек c1; : : : ; cn 2 (a; b) на каждом отрезке

[a; c1]; [cj; cj+1]; j = 1; : : : ; n 1; [cn; b] – монотонна. Тогда f

– функция ограниченной вариации на [a; b] и

(f) = jf(c1) f(a)j + jf(ci+1) f(ci)j + jf(b) f(cn)j :

Определение 10. Конечная функция f, заданная на отрезке [a; b], называется кусочно постоянной, если существуют точки c1; : : : ; cm 2 (a; b); такие, что

f(x) fi 2 R; x 2 (ci; ci+1); i = 0; : : : m; c0 = a; cm+1 = b:

Следствие 5. Полная вариация кусочно постоянной на от-

19

резке [a; b] функции f конечна и вычисляется по формуле

b

_

(f) = jf(a + 0) f(a)j+

a

m

X

(jf(ci) f(ci 0)j + jf(ci + 0) f(ci)j) +

i=1

jf(b) f(b 0)j = jf0 f(a)j+

m

X

(jf(ci) fi 1j + jfi f(ci)j) + jf(b) fmj: (1.10)

i=1

J

По теореме 6

bm ci+1

_X _

x0 = ci < x1 < < xn < xn+1 = ci+1

– произвольное разбиение отрезка [ci; ci+1]: Соответствующая этому разбиению сумма V для функции f равна

n

X

jf(xj+1) f(xj)j = jf(x1) f(ci)j + jf(ci+1) f(xn)j =

j=0

20