7.7. Свойства вероятности. Полная группа событий

Свойства вероятности очень похожи на свойства частоты.

Свойство 1.

Для любого случайного события A .

Свойство 2.

Вероятность невозможного события равна нулю .

Свойство 3.

Вероятность достоверного события равна единице .

Свойство 4.

Если A и B несовместные события,

т.е. ,

то .

В этой последней записи между вероятностями стоит знак арифметического сложения, потому что вероятность это число. А внутри скобок – знак суммы событий. У этих знаков разные смыслы.

Несколько особняком стоит свойство 5.

Свойство 5.

Если A и B независимые события, т.е. такие, что вероятность любого из них не зависит от того, произошло другое событие или нет,

то вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

И 4-е и 5-е свойства можно распространить на случай нескольких событий.

Рассмотрим 4-е свойство:

Если события А_1, А₂, …, А_n попарно несовместны, т.е.

при ,

то вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A₁ + A₂ + … + A_i + … + A_n) = P(A₁) + P(A₂) + … + P(A_i) … + P(A_n).

Теперь подошло время познакомимся с одним математическим обозначением, которое оказывается удобным, когда в записи формулы возникает много слагаемых, похожих друг на друга.

Если посмотреть на формулу для вероятности суммы событий, то видно, что в ней складываются «А» с порядковыми номерами внизу:

A₁ + A₂ + … + A_i + … + A_n

Номер идут от 1 до n. Обобщённый промежуточный номер обозначен номером i.

Для более краткой записи такой длинной суммы рисуют большую греческую букву «сигма», означающую сумму, а после неё обобщённое промежуточное слагаемое с номером i. Сверху и снизу знака суммы пишут, в каких пределах изменяется этот номер i, т.е. от 1 до n.

A₁ + A₂ + … + A_i + … + A_n =

Очевидно, что запись суммы похожих слагаемых становится короче, хотя такая запись и непривычна. Но мы ею будем пользоваться в дальнейшем для краткости.

Рассмотрим, как с использованием этой записи будут выглядеть записанная нами прежде формула:

Понятие полной группы событий.

Если имеются события А_1, А₂, …, А_i …, А_N такие, что

1. они попарно не совместны, т.е.

при i  j

2. их сумма исчерпывает достоверное событие, т.е.

A₁ + A₂ + … + A_i + … + A_N =  ,

то совокупность таких событий называются полной группой событий.

Вероятность суммы полной группы событий равна единице:

P(A₁ + A₂ + … + A_N) = P() = 1

Пример полной группы событий – совокупность всех элементарных исходов опыта.

Для вероятности суммы полной группы событий сокращённая запись такова:

Если события A и B таковы, что они не обладают свойством несовместности, т.е.

,

то в этом случае вероятность их суммы вычисляется по более сложной формуле:

.

7.8. Геометрическое определение вероятностИ. Плотность вероятности

Возможен другой способ определения вероятности: геометрический.

Вспомним доску Гальтона.

Шарики падают из воронки и попадают на горизонтальную ось x.

При падении они сталкиваются с препятствиями, поэтому заранее предсказать точку падения на оси невозможно.

Вся ось отождествляется с достоверным событием . Т.е. вероятность попасть шарику на ось, куда бы то ни было, равна единице.

Каждая точка оси – это элементарный исход, т.е. возможное место падения шарика.

Событие – это попадание шарика в пределы отрезка на оси х.

Вероятность элементарного исхода – это вероятность попадания шарика в определённую точку на оси.

При данной постановке опыта очевидно, что шарики падают чаще в область непосредственно под воронкой, а вдали от неё – реже.

Каковы отличия от классического определения вероятности?

1. Количество элементарных исходов бесконечно.

2. Вероятности элементарных исходов различны.

Теперь рассмотрим следующий любопытный вопрос.

А какова вероятность попадания в точку?

Ответ: бесконечно малая величина, потому что точка имеет бесконечно малую толщину. Т.е. почти ноль. Но всё же не ноль.

Вместе с тем, как было указано, вероятность попадания шарика в точку оси прямо под воронкой выше, чем вдали от неё.

Как учесть эти два обстоятельства и предложить способ определения вероятности?

Сделаем следующее.

1. На горизонтальной оси выберем точку x₀ и отложим в её окрестности отрезок длиной x.

2. Рассмотрим событие А, состоящее в том, что шарик попадёт в пределы этого отрезка. Вероятность такого события P(A) уже не будет бесконечно малой величиной. Это вероятность попадания в ящичек в опыте Гальтона.

3. Начнём уменьшать длину этого отрезка, постепенно стягивая его в точку x₀

x  0.

При этом начинает уменьшаться и вероятность попадания шарика в пределы отрезка

P(A)  0.

4. Рассмотрим отношение этих величин.

Оказывается, что при одновременном уменьшении и числителя и знаменателя дробь будет стремиться к конечной величине

.

Эта величина носит специальное название: плотность вероятности.

Плотность вероятности зависит от выбора точки x₀ и характеризует вероятность попадания шарика в окрестность точки x₀ .

Для её обозначения используется латинская буква p, но не большая, как для вероятности, а маленькая.

7.9. случайнАЯ величинА. виды случайных величин

Случайное явление предстаёт перед исследователем в каждом опыте одним из своих исходов.

В большинстве случаев эти исходы имеют для человека различную значимость. Например, при стрельбе желательно попадание как можно ближе к точке прицеливания.

Кроме того, возможность различать эти исходы между собой основана, как правило, на различии одной из их количественных характеристик. Например, число точек на гранях игрального кубика.

Поэтому, удобно всему множеству исходов поставить в соответствие некоторую измеримую величину, причём так, чтобы каждому исходу соответствовало своё значение этой величины.

А так как исходы опыта заранее не предсказуемы, т.е. случайны, то эта величина должна называться также случайной.

Таким образом,

случайная величина – это величина, которая в результате опыта случайным образом принимает одно из своих возможных значений.

В качестве примера случайной величины можно привести число очков, выпадающих при бросании игрального кубика. Здесь количество исходов конечно, поэтому конечно количество возможных значений случайной величины.

Случайной величиной является число преступлений, совершённых за отчетный период. Такая случайная величина также может принимать только целочисленные значения. И она не ограничена сверху.

Подобные случайные величины называются дискретными. Такие величины принимают какое-либо значение из конечного или бесконечного набора отстоящих друг от друга числовых значений.

Примеры дискретных случайных величин:

• количество очков, выпадающих на верхней грани игрального кубика,

• старшинство наугад вытащенной из колоды игральной карты,

• суммарная стоимость горсти монет, взятых из кошелька,

• возраст задержанного, округлённый до целого количества лет.

Кроме дискретных существуют также непрерывные случайные величины. Эти случайные величины могут принимать любое значение из заданного непрерывного промежутка.

Примеры непрерывных случайных величин:

• время работы дежурного до следующего вызова,

• отклонение точки попадания пули от центра мишени,

• масса единицы товара из проверочной закупки

и другие.