7.2. Первые статистические опыты и характеристики: вероятность, частота, нормальное распределение
Массовые случайные явления изучаются с помощью многократно повторяемых опытов.
О случайном явлении, которое наблюдается в опыте, можно сказать, что данное явление имеет большую или меньшую возможность осуществления.
Степень этой возможности удобно выразить числом, которое больше при большей возможности и меньше при меньшей.
Таким образом, вероятность это численная мера возможности данного случайного явления.
Обычно вероятность некоторого случайного явления А обозначается как Р(А).
P – от латинского cлова probability.
Теперь надо научиться каждому явлению ставить в соответствие число, показывающее возможность его появления в опыте.
Рассмотрим простейший опыт со случайным явлением: подбрасывание монеты «орёл – решка». Опыт с двумя исходами.
Будем считать появление «решки» интересующим случайным явлением А.
Пусть проведено n опытов.
Явление А имело место в m опытах.
Частота (или частость) случайного явления А в n опытах, равна
.
Эта греческая буква, , читается как «ню» или «ни». По сути, это «эн» маленькая.
Частота – это число, и оно показывает, насколько возможно данное случайное явление в условиях данного опыта.
Частота обладает свойством устойчивости, т.е. при увеличении числа опытов она стремится к некоторому значению, которое называется вероятностью, т.е.
В случае с монетой частота стремится к значению 1/2.
Способ определения вероятности через частоту носит название статистическогоопределения вероятности. В дальнейшем будут рассмотрены также и другие способы:классическоеигеометрическоеопределения вероятности.
Это пример того, как статистика питает теорию вероятности.
Рассмотрим ещё одно важное статистическое основание теории вероятности
Доска Гальтона (первый рисунок).
Английский учёный Френсис Гальтон – это статистик и антрополог, двоюродный брат Чарльза Дарвина.
Гальтон взял доску, вбил в неё стержни в несколько рядов и сверху через воронку сыпал шарики.
Шарики, падая,
сталкивались со стержнями и отскакивали
в различных направлениях. В
низу
Гальтон расположил ящик с узкими
отделениями одинаковой ширины и занялся
подсчётом числа шариков, попадающих в
различные отделения.
При большом числе шариков им было замечено следующее: заполнение отделений происходило так, что уровни в отделениях образовывали колоколообразную кривую (второй рисунок).
В
последствии
математиками было найденастрогая
формуладля этой кривой. Мы с её полной
записью познакомимся несколько позже.
Сейчас же укажем, что в её состав входит
такая функция переменнойx
,
где x
– горизонтальная координата.
Вблизи основания кривой можно указать интервал, куда возможность упасть шарику наибольшая, или, иными словами, куда падает основное количество шариков.
7.3. Свойства частоты
Итак, мы с вами уже познакомились с таким понятием как частота. Т.е если поставлено n опытов, в которых может наблюдаться случайное явление А., то частота этого явления будет равна
.
Свойство первое:
,
т.е. частота – величина неотрицательная и не превосходящая единицы.
Свойство второе:
,
т.е. частота равна нулю, если А в n опытах не происходит ни разу.
Свойство третье:
,
т.е. частота равна единице, если А происходит во всех n опытах.
Свойство четвёртое.
Если случайные явления А и В не встречаются одновременно, то можно рассмотреть явление С, состоящее в том, что в опыте появляется или А, или В.
С = «или А, или В»
Например, при бросании кубика А – выпадение 1 очка, В – выпадение 6 очков, С – выпадение одного из крайних значений.
Обозначим через
– число появленияА;
–число появлений
В;
–число появлений
С.
тогда
.