§ 10. Алгебра событий
Вероятность объединения или сложения несовместных событий. Пусть n – общее число равновозможных элементарных событий, образующих пространство Е всех элементарных событий; m – число равновозможных элементарных событий благоприятствующих событию А; k – число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию В.
Т
Е m А
А B
Д
Е
Р
n k m
;
Р(В)=
(рис. 10.1).
Рис. 10.1
По определению объединения (суммы) несовместных событий АUВ означает, что имеет место или А, или В. Но число благоприятствующих такому событию равно (m+k), поэтому (рис. 10.2):
m k +
n
Рис. 10.2
Эта теорема может быть распространена на любое конечное число событий.
Следствие 10.1. Если события А;В;С образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице.
(А+В+С)
– достоверное событие
Р(А+В+С)=1 Р(А)+Р(В)+Р(С)=1.
Следствие 10.2. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице (рис. 10.3).
(А+
)
– полная группа событий
Р(А+
)=Р(А)+Р(
)=1
Р(А)=1-Р(
);
А Е
)=1-Р(А).
Рис. 10.3
Пример 10.1. В лотерее выпущено 10000 билетов и установлено: 10 выигрышей по 200р.; 100 – 100р.; 500 – 25р. и 1000 – по 5 рублей, остальные без выигрыша. Гражданин купил один билет. Какова вероятность того, что он выиграет не меньше 25р.? Обозначим события:
Событие А – выигрыш не менее 25руб.
Событие В – выигрыш равен 25руб.
Событие С – выигрыш равен 100руб.
Событие D – выигрыш равен 200руб.
Так как куплен только один билет, то А=В U С U D, где В;С;D события попарно несовместимые, поэтому
Ответ. Вероятность события А в данном случае невелика – 6,1%.
Пример 10.2. Бросают две монеты. Чему равна вероятность появления хотя бы одного герба? Обозначим события:
Событие А – появление герба при подбрасывании первой монеты.
Событие В – появление герба при подбрасывании второй монеты.
Событие С – появление хотя бы одного герба.
С=АUВ,
но Р(С)
Р(А)+Р(В),
т.к. события А и В совместимы. Но, если
рассмотреть событие
– выпадение герба не состоялось, то
(
+С)
– достоверное событие и Р(
)=
,
так как при подбрасывании двух монет
могут произойти только события: ГГ
(герб; герб); ЦЦ (цифра; цифра); ЦГ (цифра;
герб); ГЦ (герб; цифра), поэтому Р(
)+Р(С)=1
Р(С)=1-Р(
)=1-
=
.
Вероятность суммы совместных событий. Пусть m – число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию А; k – число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию В. Пусть среди (m+k) элементарных событий содержится ℓ элементарных событий, благоприятствующих и событию А, и событию В, т.е. (А ∩ В).
Если n – общее число равновозможных элементарных событий, образующих пространство Е всех элементарных событий (рис. 10.4), то
В
Р
ℓ E А
;
Р(В)=
;
Р
k m
(А∩В) n
(А
∩ В)=
.
Рис. 10.4
Теорема 10.2. Вероятность объединения двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
Р(A U B)=Р(A)+Р(B)-Р(A ∩ B).
Доказательство: (АUВ) – событие, состоящее в появлении или события А, или события В, или того и другого вместе (рис. 10.5):
Р(А
U
В)=
=
=
P(А)+Р(В)-Р(А
∩ В)
+
k
-
,
n
Рис. 10.5
что и требовалось доказать.
Пример 10.3. Подбрасываем две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба?
Событие А – выпадение герба при подбрасывании первой монеты.
Событие В – появление герба при подбрасывании второй монеты.
Р(A
U B)=Р(A)+Р(B)-Р(A ∩ B)=
.
Определение 10.1. Вероятность события В при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается Р(В/А); РА(В).
Определение 10.2. События А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет, т.е.
Р(В/А)=Р(В); Р(А/В)=Р(А);
РА(В)=Р(В); РВ(А)=Р(А).
Определение
10.3.
События А и В называются зависимыми,
если выполняются неравенства РВ(А)
Р(А);
РА(В)
Р(В),
т.е. вероятность одного события зависит
от появления или не появления другого.
Теорема 10.3. (Умножение зависимых событий). Вероятность пересечения двух зависимых событий А и В, т.е. вероятность совместного наступления А и В, равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло
Р(А ∩ В)=Р(А)·Р(В/А)=Р(В)·Р(А/В).
Доказательство: Пусть Е – пространство n элементарных событий (рис. 10.6).
Событию А – благоприятствует m элементарных событий.
Событию В – благоприятствует k элементарных событий.
Событию (А∩В) – благоприятствует ℓ элементарных событий.
Р(А
∩
В)=
;
Р(А)=
;
Р(В/А)=
.
A
n
Рис. 10.6
Тогда
Р(A∩B)=Р(A)·Р(B/A).
Пример 10.4. В ящике 10 белых и 7 черных шаров. Последовательно вынимаем один за другим два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые?
Событие А – первый вынутый шар белый.
Событие В – второй вынутый шар белый.
(А∩В) – оба вынутых шара белые.
Р(А∩В)=Р(А)·Р(В/А)=
=
.
А и В – зависимые события.
Теорема 10.4 (Умножение независимых событий). Вероятность пересечения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
Р(А ∩ В)=Р(А)·Р(В).
Пример 10.5. Бросают две игральные кости. Какова вероятность того, что на первой кости появится нечетное число очков и на второй пять очков?
Событие А – появление нечетного числа очков на первой кости: (1;3;5).
Событие В – появление 5 очков при бросании второй кости.
А и В – совместные и независимые события.
Р(А
∩ В)=Р(А)·Р(В)=
=
.