§ 17. Частные случаи нормального закона распределения. Стандартное нормальное распределение

Определение 17.1. Стандартное нормальное (или нормированное) распределение с параметрами имеет плотность распределения или дифференциальную функцию распределения случайной величины(рис. 17.1)

и функцию вероятностей или интегральную функцию распределения (рис. 17.2)

^.

Графики этих функций имеют вид, где для наглядности изображения используются различные масштабные единицы измерения по осям координат.

Рис. 17.1

Рис. 17.2

Распределение Пирсона

Определение 17.2. Распределением Пирсона или (хи-квадрат) – распределением с k степенями свободы называют суммы квадратов k независимых случайных величин, распределенных по стандартному нормальному закону, т.е.

,

где имеет нормальное распределение прии

Плотность вероятности или дифференциальная функция распределенияимеет вид:

где– гамма-функция Эйлера, которая для целых положительных значенийравна!-распределение случайной величиныасимметрично и облает положительной, т.е. правосторонней асимметрией. Графикпри различных значенияхимеет вид (рис. 17.3).

Рис. 17.3

При распределение случайной величиныблизко к нормальному закону. Распределениеопределяется одним параметром – числом степеней свободы. С увеличением числа степеней свободыраспределение медленно приближается к нормальному.

Распределение Стьюдента.

Определение 3. Распределением Стьюдента или t- распределением с k степенями свободы называется распределение случайной величины t, равной отношению нормированной нормальной случайной величины Z к корню квадратному из независимой случайной величины от Z, распределенной по закону сk степенями свободы, деленной на k, т.е.

С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному, уже при к>30. Плотность вероятности распределения Стьюдента имеет вид:

где – гамма-функция Эйлера. График функцииболее пологий по сравнению с нормальной кривой (рис. 17.4).

Рис. 17.4

Значит, .

Вопросы для самопроверки

1. Какие события называются случайными? Элементарными? Достоверными? Невозможными? Приведите примеры случайных событий.

2. Какие события называются совместными? Несовместными? Противоположными? Приведите примеры.

3. Какие события образуют полную группу несовместных событий?

4. Приведите примеры полных групп событий.

5. Какое событие называется суммой или объединением нескольких событий?

6. Что называется относительной частотой случайного события? Что называется статистической вероятностью события и каковы ее свойства?

7. Сформулируйте классическое определение вероятности события. Перечислите ее свойства. В каких пределах изменяется вероятность случайного события?

8. Какое событие называется произведением или пересечением нескольких событий?

9. Сформулируйте теорему сложения вероятностей для несовместных событий.

10. Чему равна сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу?

11. Какая вероятность называется условной вероятностью?

12. Какие события называются независимыми? Зависимыми?

13. Сформулируйте теоремы умножения вероятностей зависимых и независимых событий.

14. Как следует вычислять вероятность появления хотя бы одного из нескольких совместных событий (теорема сложения вероятностей совместных событий)?

15. Сформулируйте формулу полной вероятности.

16. Сформулируйте формулу вероятности гипотез, т.е. формулу Байеса.

17. При решении каких задач применяется формула полной вероятности и формула Байеса?

18. Сформулируйте схему Бернулли или схему повторных испытаний.

19. Сформулируйте формулу Бернулли. При решении каких задач применяется эта формула?

20. Сформулируйте общие правила комбинаторики: правило суммы и правило произведения.

21. Сформулируйте определения генеральной и выборочной совокупностей.

22. Какие выборки называются размещениями, перестановками и сочетаниями? По каким формулам вычисляют их число?

23. Дайте определение наивероятнейшего числа при повторных испытаниях и приведите правило его вычисления.

24. Сформулируйте локальную теорему Лапласа. Перечислите свойства локальной функции Лапласа и изобразите ее график. При решении каких задач применяется локальная формула Лапласа?

25. Сформулируйте интегральную теорему Лапласа. Перечислите свойства интегральной функции Лапласа и изобразите ее график. При решении каких задач применяется интегральная формула Лапласа?

26. Сформулируйте и запишите формулы Пуассона. При решении каких задач применяются формулы Пуассона?

27.Какая величина называется случайной величиной?

28.Дайте определение дискретной и непрерывной случайных величин. Приведите примеры дискретных и непрерывных случайных величин.

29.Что называется законом распределения случайной величины?

30.Что называется рядом распределения дискретной случайной величины?

31.Дайте определение функции распределения вероятности (интегральной функции распределения). Перечислите свойства функции распределения.

32.Как, зная функцию распределения, найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал?

33.В чем состоит различие графиков функций распределения дискретной и непрерывной случайных величин?

34.Дайте определение плотности распределения вероятностей (дифференциальной функции распределения). Перечислите свойства плотности распределения. Пригодно ли понятие плотности распределения вероятностей для дискретной случайной величины?

35.Как, зная плотность распределения, найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал?

36.Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины? Запишите формулу его вычисления.

37.Что называется математическим ожиданием непрерывной случайной величины? Запишите формулу его вычисления.

38.Как можно истолковать математическое ожидание случайной величины?

39.Что называется модой и медианой случайной величины?

40.Перечислите свойства математического ожидания случайной величины?

41.Дайте определение дисперсии дискретной случайной величины; непрерывной случайной величины. Запишите формулы их вычисления. Перечислите свойства дисперсии случайной величины.

42.Что называется средним квадратическим отклонением случайной величины?

43.Что характеризуют дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины?

44.Что называется начальным моментом k-го порядка случайной величины? Что представляет собой начальный момент первого порядка?

45.Что называется центральным моментом k-го порядка? Чему равен центральный момент первого порядка? Что представляет собой центральный момент второго порядка?

46.Что характеризует центральный момент третьего порядка? Что называется коэффициентом асимметрии (скошенности)? Что можно сказать о кривой распределения в зависимости от знака коэффициента асимметрии?

47.Что характеризует центральный момент четвертого порядка? Что называется эксцессом случайной величины? Что можно сказать о кривой распределения в зависимости от знака эксцесса случайной величины?

48.Что называется линейным абсолютным отклонением и для характеристики чего оно применяется?

49.Какой распределение вероятностей называется биномиальным? Чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей биномиальное распределение?

50.Какое распределение называется распределением Пуассона? Чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона?

51.Какое распределение случайной величины называется равномерным распределением?

52.Какое распределение случайной величины называется показательным распределением?

53.Какое распределение случайной величины называется нормальным распределением? Какими параметрами определяется дифференциальный закон нормального распределения?

54.Как называется график плотности вероятности нормального распределения и каковы его свойства? Чему равна площадь под нормальной кривой? Как влияют параметры плотности вероятности на форму нормальной кривой?

55.Как можно вычислить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал? В интервал симметричный относительно математического ожидания, распределенной по нормальному закону?

56.Что называется функцией Лапласа и каковы ее свойства?

57.Сформулируйте правило трех сигм.