§ 3. Виды событий

Рассмотрим пример. На трех карточках проставлены цифры 1; 2; 3. После перетасовки карточек по очереди выстраиваем их в один ряд. Получается трехзначное число ℒ. Пространство элементарных событий Е представляет собой событие ℓ_i, где i = 1; 2; …; 6.

E

ℓ1 ℒ=123

ℓ2 ℒ=213

ℓ3 ℒ=312

ℓ4 ℒ=231

ℓ5 ℒ=132

ℓ6 ℒ=321

На этом пространстве Е рассмотрим события: А – получилось число ℒ < 123;

В – получилось число ℒ 123.

Испытание S – после перетасовки карточки выстраиваем в один ряд.

Определение 3.1. Если среди элементарных событий пространства Е, определяемого испытанием S, нет ни одного элементарного события, благоприятствующего событию А, то оно называется невозможным по отношению к испытанию S.

Определение 3.2. Если все элементарные события пространства Е, определяемого испытанием S, благоприятствуют событию В, то событие В называется достоверным по отношению к испытанию S.

Иначе говоря: событие, которое в результате испытания является единственно возможным его исходом, называется достоверным. Если при испытании событие заведомо произойти не может, то оно называется невозможным.

Пример 3.1. Достоверные события: А – выплата рубля шестью монетами;

В – наугад выбранное трехзначное число не больше 1000.

Невозможные события: С – выплата 10 рублей четырьмя купюрами.

В нашем примере:

Событие А – получилось число ℒ<123 – это невозможное событие.

Событие В – получилось число ℒ≥ 123 – это достоверное событие.

§ 4. Операции над событиями

Между событиями соблюдаются отношения, аналогичные отношениям “больше”, “меньше” или “равно”, как и между числами.

Объединение (U)

A

ℓ1	ℓ2	ℓ3
E		ℓ4	ℓ6	ℓ7		ℓ9	ℓ С= АUВ 10
	ℓ5				ℓ8	ℓ11	ℓ12

B

Пусть событию А благоприятствуют элементарные события ℓ₁; ℓ₂;…; ℓ₇, а событию В – элементарные события ℓ₈; ℓ₉;…; ℓ₁₂. Пусть событию С = АUВ благоприятствуют элементарные события ℓ₁; ℓ₂;…; ℓ₁₁; ℓ₁₂.

Событие С называют объединением событий А и В, это означает, что произошло или А, или В.

A

ℓ1	ℓ2	ℓ3
ℓ E 4	ℓ5	ℓ6	ℓ7
			ℓ8	ℓ9	ℓ10
			B

Событию А→благоприятствуют элементарные события ℓ₁; ℓ₂;…; ℓ₆; ℓ₇.

Событию В→ℓ₆; ℓ₇; ℓ₈; ℓ₉;ℓ₁₀.

С= АUВ → элементарные события ℓ₁; ℓ₂; …ℓ₁₀.

События ℓ₆; ℓ₇ и А и В.

Значит событие С означает, что произошло или А; или В; или и то и другое вместе.

Определение 4.1. Объединением событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А и В.

Определение 4.2. Объединением событий А₁; А₂;…; А_n называется событие А, состоящие в появлении хотя бы одного из событий А₁; А₂;…; А_n, т.е. или А₁; или А₂; …; или А_n, или несколько из них, или всех.

Пример 4.1. Куплен лотерейный билет – испытание S.

Событие А – выигрыш 10руб.

Событие В – выигрыш 20руб.

Событие С – выигрыш 30руб.

Событие D – выигрыш 40руб.

Событие К = АUВUСUD – выигрыш не более 40руб.

Пересечение (∩)

Пусть событию А благоприятствуют элементарные события ℓ₁; ℓ₂; …;ℓ₇, а событию В- ℓ₆; ℓ₇;…; ℓ₁₀. Пусть событию С благоприятствуют элементарные события, заштрихованные дважды, т.е. ℓ₆; ℓ₇, значили произошло и событие А, и событие В.

A

С =А∩В

ℓ E 1	ℓ2	ℓ3	ℓ4	ℓ5	ℓ6	ℓ7
					ℓ B 8	ℓ9	ℓ10

Определение 4.3. Пересечением двух событий А и В называется событие С, состоящее в одновременном появлении и события А, и события В, и обозначается С=А∩В.

Определение 4.4. Пересечением событий А₁; А₂; А₃; …; А_n называется событие А, состоящее в одновременном появлении всех (и А₁; и А₂; …; и А_n) событий А₁; А₂; …; А_n.

А= А₁∩А₂∩…∩А_n.

Пример 4.2. Испытание – в подъезд входит человек.

Событие А – входящий в подъезд человек – мужчина.

Событие В – входящий в подъезд человек – светловолосый.

Событие С – входящий в подъезд человек – светловолосый мужчина.

Событие С происходит только при одновременном исполнении событий А и В, поэтому С =А∩В.

Пример 4.3. Испытание S – произвольно выбираем два двузначных числа.

Событие А – выбранные числа кратные 2.

Событие В – выбранные числа кратные 3.

Событие С – выбранные числа кратные 6.

С=А ∩ В. Событие С происходит, если одновременно происходят события А и В. Если одно из событий А или В не произойдет, то не произойдет и событие С.

Пусть событию А благоприятствуют элементарные события ℓ₁; ℓ₂; ℓ₃; ℓ₄, а событию В – ℓ₅; ℓ₆; ℓ₇ в результате испытания S.

E

ℓ1	ℓ2
ℓ3	ℓ4
A			ℓ5	ℓ6
		B		ℓ7

Е

Ясно видно, что совместное осуществление А и В невозможно: элементарных событий, благоприятствующих и тому, и другому событию, нет. А∩В= – невозможное событие.

Определение 4.5. Два события А и В, пересечение которых – невозможное событие, называются несовместными событиями.

Определение 4.6. Два события в результате одного испытания называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого.

Определение 4.7. Объединением двух несовместных событий А и В называется событие С, осуществляющееся в появлении либо события А₁, либо события В.

Определение 4.8. Два события А и В называются совместимыми, когда существует по крайней мере одно элементарное событие, благоприятствующее и событию А, и событию В.

Определение 4.9. Два события называются совместными, если в результате одного испытания появление одного события не исключает появление другого.

Рассмотрим пары событий:

А₁ – выпадение герба при подбрасывании монеты;

А₂ – не выпадение герба при подбрасывании монеты;

В₁ – выздоровление больного;

В₂ – не выздоровление больного;

С₁ – появление новой кометы в текущем году;

С₂ – не появление новой кометы в текущем году.

Естественно, события в каждой из пар считать противоположными.

Любая из пар событий удовлетворяет следующим двум свойствам:

1. Объединение каждой пары событий – есть достоверное событие: А₁ UА₂; В₁UВ₂; С₁ U С₂.

2. Пересечение событий каждой пары – есть невозможное событие: А₁ ∩ А₂; В₁∩ В₂; С₁ ∩ С₂.

Тогда введем определение.

Определение 4.10. Если объединение событий А и В – достоверное событие, а пересечение – невозможное событие, то события А и В называются противоположными, т.е. А=илиB=.

Значит, что события А и , т.е. противоположные события образуют полную группу событий.дополняет событие А в отношении всего пространства элементарных событий Е (рис. 5.1)

А

Е