Числовые характеристики биноминального распределения

Теорема 13.3. Математическое ожидание биноминальной величиныравно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании

.

Доказательство. Случайная величина , распределенная по биноминальному закону, определяется числом появлении событияприn испытаниях. Вероятность появления такого события в одном испытании равна p, непоявления –

Пусть – число появлений событияпри-ом испытании. Ясно, чтоможет принять только два значения: 1 с вероятностьюp (т.е. событие произошло) и 0 с вероятностью q (т.е.не произошло) и, следовательно,

.

Однако , т.е. число появлений событияв одной серии испытанийn можно рассматривать как сумму случайных величин.

Поэтому – числа появлений событияв каждом испытании.

Теорема 13.4. Дисперсия биноминальной величины равна числу испытаний, умноженному на произведение вероятностей появления и непоявления события в каждом испытании

^.

Случайная величина , распределенная по биноминальному закону, представляет число появлений событияприn независимых испытаниях, когда вероятность появления события равнаp, а непоявления – .

Пусть - число появлений событияприi-ом испытании, причем может принять только два значения: 1 с вероятностьюp, (т.е. произошло) и 0 с вероятностью q (т.е.не произошло). Тогда.

Находим Так какесть сумма независимых случайных величин, то

^.

Пример 13.9. Вероятность выигрыша в каждой шахматной партии для некоторого игрока постоянна и равна 0,8. Составить ряд распределения вероятностей числа выигрышей игроком в пяти партиях, построить многоугольник распределения, найти числовые характеристики.

Случайная величина– число побед в пяти партиях является биноминальной величиной. По условиюn= 5; p= 0,8; q= 0,2; X=0, 1, 2, 3, 4, 5. Рассчитаем вероятности по формуле Бернулли:

;

1. Составим ряд распределения:

	0	1	2	3	4	5
	0,0003	0,0064	0,0512	0,2048	0,4096	0,3277

2. Построим полигон распределения (рис. 13.5):

Рис. 13.5

3. Находим числовые характеристики

.

.

В среднем можно выиграть 4 партии. Вычисления иможно проверить по определению. Например:

= 0,0064 + 0,1024 + 0,6144 + 1,6389 + 1,6385 = 4,001.

Пример 13.10. Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равна 0,2. Найти – числа отказавших деталей, если испытанию на надёжность подлежат 10 деталей.

Биномиальная величина – число отказавших деталей. По условиюn = 10; p = 0,2; q = 0,8. , значит в среднем за время испытаний из 10 деталей отказывают 2;.

Эту задачу можно было решить путем составления ряда распределения числа отказавших деталей и затем вычисления

§ 14. Непрерывная случайная величина

Числовые характеристики непрерывной случайной величины (н.с.в.). Дискретная случайная величина может принимать значения некоторой числовой последовательности – конечной или бесконечной. Дискретность случайной величины, принимающей эти значения, будет состоять в том, что между любыми значениями ибудет только конечное число членов этой последовательности, и в случае необходимости можно все эти промежуточные значения записать.

Поэтому закон распределения дискретной случайной величины можно задать в виде таблицы, в которой по порядку перечислены все или сколько угодно много возможных значений этой случайной величины.

Определение 14.1. Случайная величина, которая может принимать любое действительное значение на некотором промежутке или на всей числовой оси, называется непрерывной случайной величиной.

Исходя из определения н.с.в., которая принимает все конкретные значения некоторого числового промежутка реальных чисел, причем между любыми двумя такими значениямииимеется бесконечно много чисел, и все эти числа записать невозможно, как не пытаться. Например, эти числа нельзя пронумеровать, между любыми из них опять существует бесконечно много чисел.

Таким образом процесс нумерования окажется бесконечным, а это и обуславливает отсутствие возможности закон распределения непрерывной случайной величины представить в виде таблицы, которая применяется в случае дискретной случайной величины.

Пример 14.1. При вытачивании на станке детали цилиндрической формы ее диаметр принимает значения от 1,45 см до 1,55 см, то есть. Значит,может принять любое значение на отрезкеи является непрерывной случайной величиной.

Функция распределения случайной величины. Закон распределения непрерывной случайной величины нельзя задать таблицей. В этом случае рассматривают событие, где– заданное действительное число. Поскольку каждому значениюсоответствует один и только один промежуток, а каждому такому промежутку – одно и только одно событиевероятность которого, то есть вероятность того, что значение величиныбудет меньше числа, то выходит, что каждому значениюсоответствует одно и только одно значение. Значит, междуисуществует функциональная зависимость, которую обозначим, т.е..

Определение 14.2. Функцией распределения или интегральной функцией распределения непрерывной случайной величины называется вероятность того, чтопримет значение меньше, то есть.

Определение 14.3. Интегральной функцией распределения или функцией распределения случайной величины называется вероятностьсобытия {}, состоящего в том, что случайная величинапримет значение, меньшее, т.е.

^.

Геометрически это равенство определяет вероятность попаданияслучайной величинылевее точки, т.е. в интервал.

В дальнейшем под непрерывной случайной величиной будем понимать такую случайную величину , для которой интегральная функция распределениянепрерывна и дифференцируема на всей числовой оси.

Свойства функции распределения 1. – неубывающая функция.

В самом деле, пусть. Тогда событиепредставляет собой объединение двух событий:и. Так как эти события несовместны, то

.

Поскольку , тот.е.и Значит, функция– неубывающая.

2. .

Это свойство вытекает из определения, так как .

3.

Событие достоверное, поэтому.

4. .

Событие невозможное, поэтому.

Замечание 1. Когда известно, что случайная величина может принимать только значения промежутка , то достоверным событием является событие «», а невозможным – «». В таком случае:

5. Если известна функция распределения,то вероятность попадания случайной величины на заданный интервал равна приращению функции распределения на этом интервале:

^.

Рассмотрим события «» и «».Эти события несовместны, тогда

, т.е.

.

Пример 14.2. Функция распределения случайной величиныимеет вид

Найти вероятность того, что в результате испытанияпримет значение, заключенное в промежутке.

График функции F( x ) имеет вид (рис. 14.1):

Рис. 14.1

^.

Ответ:

Замечание. Так как , то

,

то есть вероятности попадания значения величины в замкнутый или открытый интервал одинаковы.

Замечание. Интегральную функцию распределения можно составить и для дискретной случайной величины

,

но эта функция является разрывной.

Пусть задана функция

Изобразим график этой функции (рис. 14.2).

Рис. 14.2

Дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины или плотность распределения. Рассмотрим интегральную функцию распределения . Вероятность

Из курса элементарной математики известно, что

^.

Действительно, – это доля вероятности , соответствующая единице измерения длины отрезка, то есть плотность этой вероятности на. Тогда плотность этой вероятности в точке будет равна

^.

Для произвольной точки имеем

Определение 14.4. Функцией плотности вероятностей или дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величиныназывается производная интегральной функции распределения, т.е.

Значит, функция распределения представляет собой первообразную от функции плотности вероятностей .

Свойства дифференциальной функции 1. Это следует из определения как производной от неубывающей функции.

^{2. .}

По формуле Ньютона – Лейбница имеем

^.

Геометрически (рис. 14.3) вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервалпредставляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции плотности вероятностей, осью и двумя прямыми и

Рис. 14.3

3.

Если все возможные значенияпринадлежат промежутку, то событие «» – есть достоверное событие, и поэтому.

4. ,

то есть площадь, ограниченная кривой плотностии осьюпри всех значениях, которые может принимать случайная величина, равна единице.

5. , т.к. .

6. .

Очевидно, и.

Замечание. В большинстве задач теории вероятностей закон распределения непрерывной случайной величины задается дифференциальной функцией распределения (функцией плотности) .

Пример 14.3. Плотность распределения случайной величиныимеет вид

Найти вероятность того, что .

График функцииимеет вид (рис. 14.4).

Рис. 14.4

Ответ:

Числовые характеристики непрывной случайной величины. Пусть непрерывная случайная величина распределена на промежуткес плотностью распределения:вне промежутка .

Определение 14.5. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется число, равное определенному интегралу

,

если он существует:

^.

Если область распределения случайной величины не указана, то

^,

если эти пределы существуют.

Определение 14.6. Дисперсией непрерывной случайной величиныназывается число, равное

^,

или

^,

если эти интегралы существуют.

Если область возможных значений случайной величины не указана, то

или

^,

если эти интегралы существуют.

Определение 14.7. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется число

Пример 14.4. Случайная величинараспределена на промежуткес плотностью распределения. Найти .

Ответ. .

Пример 14.5. Дифференциальная функция распределения случайной величины имеет вид

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины .

^.

Ответ.

Мода и медиана случайной величины. Кроме математического ожидания и дисперсии в теории вероятностей применяются еще и другие числовые характеристики случайной величины, которые отражают те или иные особенности распределения этой случайной величины.

Определение 14.8. Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, т.е. значение, для которого вероятностьили плотность распределениядостигает максимума и обозначается.

Определение 14.9. Медианой случайной величины называется такое ее значение, для которого выполняется равенство:

Геометрически прямая , перпендикулярная оси, делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части:

Определение 14.10. Начальным моментом к-го порядка случайной величины называется математическое ожидание к-й степени этой величины и обозначается через, то есть

для дискретной случайной величины

а для непрерывной случайной величины

Определение 14.11. Центральным моментом к -го порядка случайной величиныназывается математическое ожидание к-ой степени отклонения случайной величиныот ее математического ожидания и обозначается

или

, где .

Тогда для дискретной случайной величины имеем

а для непрерывной случайной величины получим

В том числе, при к =1 первый начальный момент случайной величины есть ее математическое ожидание, т.е.

;

при к = 2 второй центральный момент

есть дисперсия случайной величины .

Математическое ожидание или первый начальный момент характеризует среднее значение случайной величины или положение распределения случайной величины. Дисперсияили второй центральный моментхарактеризует степень рассеяния распределенияотносительно ееили меру разброса значений случайной величиныотносительно ее среднего значения.

Определение 14.12. Коэффициентом асимметрии случайной величины называется отношение третьего центрального моментак кубу среднего квадратического отклонения и обозначается.

Третий центральный момент характеризует асимметрию или скошенность распределения случайной величины. Если, то распределение симметрично относительно.

Рис. 14.5

На рисунке 14.5 показаны две кривые распределения I и II. Кривая I имеет положительную (правостороннюю) асимметриюа криваяII – отрицательную (левостороннюю)

Определение 14.13. Эксцессом случайной величины называется число равное отношению четвертого центрального моментак четвертой степени среднего квадратического отклонения минус 3, и обозначается

.

Четвертый центральный момент характеризует крутость распределения, т.е островершинность или плосковершинность кривой. Для нормальной кривой , т.е.(рис. 14.6, кривая II).

Рис. 14.6

Более островершинная кривая имеет (рис. 14.6, кривая I), более плосковершинная кривая имеет (рис. 14.6, кривая III).