Вычисление теоретического ряда частот

Пусть дискретная случайная величина Х, принимающая значения , с вероятностями, характеризует некоторый признак в генеральной совокупности достаточно большого объёма. Тогда событиясоставляют полную группу. Образуя из этой генеральной совокупности собственно-случайную выборку, мы придем к схеме независимых испытаний. Поэтому вероятность того, что при отборе каждого элемента выборки рассматриваемый признак примет значение, можно считать постоянной равной.

Теоретической частотой событиявn независимых испытаниях назовём математическое ожидание числа наступлений этого события. Тогда

(1)

Если случайная величина Х непрерывна и множеством её значений является прямая или её часть, то разбивая это множество на непересекающиеся интервалы , получим

(2)

Наиболее часто встречающийся закон распределения непрерывной случайной величины – это нормальный закон. Для нормального закона распределения формула (2) примет вид:

(3)

где и- выборочные оценки математического ожидания и дисперсии генеральной случайной величины.

Пример 1. Получено следующее распределение 100 рабочих цеха по выработке в отчётном году (в процентах к прошлому году):

Выработка в отчётном году	94-104	104-114	114-124	124-134	134-144	Всего
Количество рабочих	6	20	45	24	5	100

Предполагая, что распределение случайной величины Х – выработки рабочих – является нормальным, вычислить теоретический ряд частот. Построить гистограмму и соответствующую нормальную кривую теоретического распределения.

Решение: Параметры теоретического распределения неизвестны. Заменим их выборочными оценками и, которые вычислим так же, как это сделано в примере 1 лекции 1:,

. Для расчёта теоретических частот с помощью формулы (3), составим таблицу

Интервалы	Эмпири- ческие частоты					Вероят- ности	Теорети- ческие частоты
94-104	6	-1,62	-2,69	-0,4474	-0,4963	0,0489	4,89
104-114	20	-0,55	-1,62	-0,2088	-0,4474	0,2386	23,86
114-124	45	0,51	-0,55	0,1950	-0,2088	0,4038	40,38
124-134	24	1,58	0,51	0,4429	0,1950	0,2479	24,79
134-144	5	2,64	1,58	0,4959	0,4429	0,053	5,3
Итого:	100	-	-	-	-	0,9922	99,22

Построим гистограмму по данному интервальному вариационному ряду и в той же системе координат теоретическую кривую, принимая за варианты середины интервалов.

Х

94 104 114 124 134 144

Понятие о критериях согласия

Найденные в примере теоретические частоты несколько отличаются от эмпирических частот. Такое несовпадение возможно по двум причинам:

1. Они не существенны и являются следствием случайности единичных наблюдений. И предположение о распределении изучаемого признака в соответствии с выбранным теоретическим законом согласуется с данными выборки.

2. Они не случайны, опытное и теоретическое распределения не согласуются, они противоречат друг другу. Следовательно, гипотезу о распределении по выбранному закону следует признать ошибочной.

Возможность сделать первый или второй вывод позволяют сделать, так называемые критерии согласия.

Критерий состоит в том, что выбранная некоторая случайная величина Y является мерой расхождения (рассогласования) между вариационным рядом и предполагаемым законом распределения. При проверке нулевой гипотезы о виде теоретического закона распределения, заранее задаётся уровень значимости и т.д. Затем на основании закона распределения находят такое значениеY_кр, что

.

Критическое значение Y_кр обычно находят по таблице соответствующей функции распределения. Далее вычисляется на основании выборки наблюдаемое значение статистики критерия Y_н. Наконец, сравниваются значения Y_н и Y_кр. Если Y_н>Y_кр, то нулевая гипотеза отвергается. В противном случае гипотеза не отвергается, т.е. отклонения от предполагаемого закона считаются незначительными.

Можно осуществить проверку гипотезы и в другом порядке: по наблюдаемому значению статистики Y_н определяется из таблицы . Если, то гипотеза отвергается. Если, то гипотеза не отвергается.