Интервальные оценки для генеральной доли

Рассмотрим случай, когда объём выборки достаточно большёй (n > 30), а генеральная случайная величина распределена по биномиальному закону. Требуется оценить вероятность p наступления некоторого события А в каждом испытании по результатам n наблюдений.

При большом числе испытаний частость (выборочная доля) события А имеет приближённо нормальное распределение с параметрами, которые будем заменять выборочными значениямиидля противоположного события. Тогда имеем:

(10)

Здесь - средняя квадратическая ошибка при оценке генеральной доли. Вычисляется в зависимости от способа образования выборки.

Выборка	Повторная	Бесповторная
Цель выборки
Для доли

Для определения необходимого объёма выборки при фиксированной предельной ошибке , нетрудно получить формулы:

Выборка	Повторная	Бесповторная
Цель выборки
Для доли

Задача 2. По данным примера 1. (лекция 1.) найти:

1) Доверительные границы, в которых с вероятностью находится во всём массиве доля сосен с диаметром ствола не меньше 46 см.

2) Каким должен быть объём выборки, чтобы с вероятностью 0,9544 гарантировать доверительные границы с предельной ошибкой ?

Решение:

1) Находим выборочную долю:

Подсчитаем среднюю квадратическую ошибку выборочной доли:

Значение t = 2 было найдено в задаче 1., тогда

Доверительные границы равны:

2) Необходимый объём выборки найдём по формуле:

(сосны)

Интервальные оценки для генеральной дисперсии и среднего квадратического отклонения

Пусть из генеральной совокупности Х, распределённой по нормальному закону , взята случайная выборка объёмомn и вычислена выборочная дисперсия . Требуется определить с надёжностьюинтервальную оценку генеральной дисперсии.

Построение доверительного интервала основано на том, что случайная величина имеет распределение Пирсонасстепенями свободы.

Для уровня значимости можно записать доверительную вероятность

Границы доверительного интервала иобычно выбирают так, чтобы

Тогда имеем

(10)

Так как таблица - распределения содержит лишь критические значения для правосторонних критических областей, т.е, то для вычисления левой границызапишем тождество:

(11)

Правую границу доверительного интервала найдём из равенства

(12)

С учётом формулы (11) равенство (10) примет вид

(13)

Формула (13) используется при решении обратной задачи- нахождении доверительной вероятности по заданному доверительному интервалу.

Из неравенства

получаем интервал для генеральной дисперсии

. (14)

Доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклонения приравен

(15)

При достаточно больших объёмах выборки доверительный интервал определяется неравенством:

, (16)

где определяется из уравнения.

Пример 2. По результатам контроля деталей вычислено выборочное среднее квадратическое отклонение. В предположении, что ошибка изготовления деталей распределена по нормальному закону, определить с надёжностьюдоверительный интервал для параметра.

Решение: Так как , используется- распределение. Согласно формулам (11) и (12), имеем:

,

.

По таблице - распределения для числа степеней свободыи найденных вероятностей 0,975 и 0,025 находим,.

Вычисляем и. Доверительный интервал по формуле (15) равен

.