- •Минобрнауки россии
- •Содержание
- •Раздел I теория вероятностей 8
- •Раздел II математическая статистика 73
- •Введение
- •Раздел I теория вероятностей
- •Правило суммы
- •Правило произведения
- •Формулы комбинаторики
- •Размещения без повторения
- •Перестановки без повторений
- •Сочетания без повторений
- •Размещения с повторением
- •Сочетания с повторением
- •Перестановки с повторением
- •Лекция 2. Пространство элементарных событий. Классическое определение вероятности
- •Пространство элементарных событий
- •Свойства вероятности
- •Лекция 3. Различные определения вероятностей Статистическое определение вероятности
- •Геометрическая вероятность
- •Парадокс Бертрана
- •Аксиоматическое построение теории вероятностей
- •Лекция 4. Условная вероятность. Теорема умножения. Независимые события. Формула полной вероятности
- •Независимые события. Теорема умножения
- •Формула полной вероятности
- •Формула Бейеса
- •Лекция 5. Независимые испытания. Формула Бернулли.
- •Формула Бернулли
- •Наивероятнейшее число
- •Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа
- •Интегральная предельная теорема Лапласа
- •Лекция 6. Дискретная случайная величина и ее числовые характеристики Виды случайных величин. Способы описания дискретной случайной величины
- •Функция распределения
- •Свойства функции распределения
- •Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины
- •Свойства математического ожидания дискретной случайной величины
- •Математическое ожидание и дисперсия некоторых случайных величин
- •Лекция 7. Непрерывная случайная величина и её распределения
- •Нормальное (гауссовское) распределение
- •Равномерное распределение
- •Лекция 8. Математическое ожидание, дисперсия, моменты непрерывной случайной величины
- •Закон больших чисел. Теорема Чебышева. Центральная предельная теорема
- •Лекция 9. Некоторые модели законов распределений, наиболее распространенных в практике статистических исследований
- •1. Биномиальное распределение
- •2. Распределение Пуассона
- •3. Нормальное (гауссовское) распределение
- •4. Логарифмически-нормальное распределение
- •5. Экспоненциальное распределение
- •7. Распределение Стьюдента с степенями свободы
- •8. Распределение Фишера-Снедекора (f-распределение).
- •Раздел II математическая статистика Лекция 1. Генеральная совокупность. Выборка. Способы образования выборки. Статистическая оценка параметров распределения.
- •Задача статистической оценки параметров
- •Точечные оценки основных параметров распределений
- •Лекция 2. Законы распределения выборочных характеристик, используемые при оценке параметров. Интервальные оценки параметров распределения.
- •1. Распределение средней арифметической.
- •2. Распределение Пирсона (- хи квадрат).
- •3. Распределение Стьюдента (t-распределение).
- •Интервальная оценка параметра распределения. Понятие доверительного интервала.
- •Интервальные оценки для генеральной средней.
- •Интервальные оценки для генеральной доли
- •Интервальные оценки для генеральной дисперсии и среднего квадратического отклонения
- •Лекция 3. Проверка статистических гипотез о значении параметров распределения. Понятие статистической гипотезы и статистического критерия.
- •1. Проверка гипотезы о значении генеральной средней нормально распределённой совокупности
- •2. Проверка гипотезы о значении генеральной дисперсии нормально распределённой совокупности.
- •3. Вычисление мощности критерия
- •Мощность критерия при проверке гипотезы о значении генеральной средней
- •Мощность критерия при проверке гипотезы о значении генеральной дисперсии
- •Лекция 4 Гипотезы о виде закона распределения генеральной совокупности
- •Вычисление теоретического ряда частот
- •Понятие о критериях согласия
- •Критерий согласия Пирсона
- •Лекция 5. Элементы корреляционного анализа Задачи корреляционного анализа. Двумерная корреляционная модель
- •Примерные вопросы к экзамену
- •Задачи к экзамену
Лекция 9. Некоторые модели законов распределений, наиболее распространенных в практике статистических исследований
Говоря о распространении той или иной модели распределения, следует иметь в виду две возможные роли, которые эта модель может играть. Первая из них заключается в адекватном описании механизма исследуемого реального процесса, генерирующего исходные статистические данные, подлежащие статистическому анализу. Другая роль широко распространенных в статистических исследованиях моделей – использование их в качестве вспомогательного технического средства при реализации методов статистической обработки экспериментальных данных. К распределениям этого типа относятся в первую очередь распределения «хи-квадрат» Пирсона и t-распределение Стьюдента.
В форме справочного материала опишем некоторые распределения широко применяемые в практике.
1. Биномиальное распределение
Пусть имеется последовательность независимых испытаний удовлетворяющих схеме Бернулли: в результате каждого испытания некоторое интересующее событие А может произойти или нет. Причем при многократном (n-кратном) повторении эксперимента вероятность p осуществления события А остаётся одной и той же. Можно описать такую последовательность в терминах случайных величин, сопоставляя с i-м экспериментом данной последовательности случайную величину
Тогда , причем случайные величиныявляются независимыми. Биномиальный закон описывает распределение случайной величины
,
т.е. числа появлений интересующего нас события в последовательности из n независимых испытаний, когда вероятность появления этого события в одном испытании равна p.
Очевидно, что принимает только неотрицательные целые значения с вероятностями
Основные числовые характеристики биномиального закона:
среднее: ;
мода хмод: ;
дисперсия: ;
асимметрия:
эксцесс: .
2. Распределение Пуассона
Этот закон является предельным случаем биномиального распределения, когда вероятность p наступления интересующего нас события в единичном испытании очень мала, а число производимых испытаний в единицу времени достаточно велико, так что произведение np стремится к постоянной положительной величине . Поэтому закон Пуассона часто называютзаконом редких событий. Обозначим пуассоновскую случайную величину или просто, имея в виду предельный переход от биномиальной случайной величиныприи. При этом вероятности значений находят по формуле:
.
Основные числовые характеристики:
среднее: ;
дисперсия: ;
асимметрия: ;
эксцесс: .
3. Нормальное (гауссовское) распределение
Так называют распределение непрерывной случайной величины, значения которой формируются под воздействием очень большого числа независимых случайных факторов, причем сила воздействия каждого отдельного фактора мала и не может превалировать среди остальных, а характер воздействия – аддитивный, т.е. при воздействии случайного фактора F на величину получается величина, где случайная добавкамала и равновероятна по знаку. Функция плотности распределения имеет вид:
,
где а и - соответственно математическое ожидание и дисперсия.
Соответствующая функция распределения:
,
где Ф(t) – функция нормального нормированного распределения или интегральная функция Лапласа.
Основные числовые характеристики:
среднее, мода, медиана: ;
дисперсия: ;
асимметрия: ;
эксцесс: .