Пособие 14 W2003
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ
Г.П. Раевский
Введение в техническую электродинамику
Учебное пособие
Москва 2014
УДК 621.396.6 ББК 22.33
Рекомендовано к изданию в качестве учебного пособия редакционно-издательским советом МГУПИ
Рецензент:
д.ф-м.н. профессор Беланов А.С.
Раевский Г.П.
Введение в техническую электродинамику: Учебное пособие.
– М.: МГУПИ, 2014. -62 с.
Учебное пособие охватывает основные разделы программы дисциплины «Техническая электродинамика» - теоретической основы последующего курса «Техника сверхвысоких частот», который, в свою очередь, является важной составной частью проектно-конструкторской подготовки специалистов.
Каждый раздел включает краткий теоретический экскурс, методологию и примеры решение типовых задач.
Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям «Конструирование и технология электронных средств» (образовательная программа «Конструирование и технология радиоэлектронных средств») и «Информатика и вычислительная техника» (образовательная программа «Системы автоматизированного проектирования»).
Табл. 4. Ил. 14. Библиограф.: 6 назв.
УДК 621.396.6
ББК 22.33
©МГУПИ, 2014 ©Раевский Г.П., 2014
2
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
1. |
Элементы векторного анализа |
4 |
2. |
Основные законы электромагнетизма |
7 |
3. Уравнения Максвелла для гармонических колебаний. Энергия |
|
|
электромагнитного поля |
11 |
|
4. |
Плоские электромагнитные волны |
15 |
5. |
Явления на границе двух сред |
19 |
6. |
Полый металлический волновод |
25 |
7. |
Круглый металлический волновод |
34 |
8. |
Линии передачи с волнами ТЕМ |
39 |
9. |
Объемные резонаторы |
45 |
10. Элементарные излучатели |
52 |
|
Список литературы |
62 |
3
1. Элементы векторного анализа
Электромагнитное поле характеризуется силами, действующими на электрические заряды. Поскольку сила – векторная величина, для математического описания ЭМ полей используется аппарат векторного анализа. С его помощью проводится математическое моделирование ЭМ полей, как скалярных, так и векторных.
Графически векторное поле может быть представлено в виде набора их силовых линий. В каждой точке силовой линии вектор поля касателен к ней.
Уравнение линии вектора А записывается в виде векторного произведения:
A l 0; |
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
или |
|
|
(1.1) |
|||||
|
|
Ax |
|
A y |
|
|||
|
|
|
|
|
Az |
Основные операции векторного анализа для прямоугольной (декартовой) системы координат.
Градиент – векторная характеристика скалярной функции U.
gradU |
U |
1x |
|
U |
1y |
|
U |
1z |
(1.2) |
|
x |
|
|
y |
|
|
z |
|
|
Здесь: U - скалярная функция, заданная в системе координат x, y, z;
Вектор gradU направлен в сторону наискорейшего возрастания скалярной функции (по нормали к линии (или поверхности) уровня U(x,y,z)=const) и равный по величине ее производной в этом направлении.
Векторное поле A = A 1 |
+ A 1 + A 1 |
задается тремя его проекциями |
|
x x |
y y |
z z |
Ax , Ay , Az |
на единичные векторы (орты) 1x , 1y , 1z декартовой |
координат.
Дивергенция – скалярная характеристика векторной функции А.
divA Ax Ay Az ,x y z
системы
(1.3)
Дивергенция характеризует изменение полного потока вектора A через замкнутую поверхность, ограничивающую заданный объем V. Положительный знак дивергенции указывает на наличие источника в объеме V, отрицательный –
4
стока. При неизменности потока (отсутствии в заданном объеме V источников/стоков) divA 0 .
Ротор (вихрь) - векторная характеристика векторной функции A .
|
A |
|
Ay |
|
A |
|
A |
|
|
Ay |
|
A |
|
|
|
|
rotA |
|
z |
|
|
1x |
|
x |
|
z |
1y |
|
|
|
x |
1z. |
(1.4) |
|
z |
z |
|
x |
|
|||||||||||
|
y |
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ротор векторного поля A – векторная характеристика “вращательной составляющей“ поля A . Если рассматривать A как поле скоростей потока жидкости, то ротор поля A равен скорости вращения конца лопасти крыльчатки, установленной в этом потоке жидкости, ось вращения которой совпадает с направлением движения потока.
Дифференциальные операция со скалярными и векторными полями удобно записывать с помощью символического векторного оператора Гамильтона . Символическое умножение на него скалярной или векторной функции означает дифференцирование по координатным составляющим. В декартовой системе координат оператор Гамильтона записывается как
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 , |
(1.5) |
x |
y |
|
z |
|||||||
|
x |
|
|
y |
|
z |
|
С его помощью основные операции векторного анализа записываются как: gradU U - умножение вектора на скалярную величину,
divA A - скалярное произведение двух векторов,
rotA A - векторное произведение двух векторов.
Дифференциальные векторные операции второго порядка записываются с помощью оператора 2 - так называемого Набла квадрат. В декартовой системе координат этот символический оператор второго порядка записывается как
2 |
2 |
1 |
|
|
2 |
1 |
|
|
2 |
1 , |
(1.6) |
|
x |
|
y |
|
|||||||
|
x2 |
|
|
y2 |
|
|
z2 |
z |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры решения задач
1.1. Найти уравнение линии вектора A 1x1x 1y 1y .
5
Решение. |
Поле вектора |
A имеет только две составляющие, поэтому при |
||||||
любом z= const картины линий будут одинаковы. |
||||||||
В соответствии с (1.1), |
A 1 , |
A 1 и |
xdx ydy . |
|||||
|
|
|
x |
x |
y |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Интегрируя, получим |
x2 |
|
y2 |
const. |
|
|
||
2 |
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||
Положим |
const R2 |
, |
тогда |
уравнение |
линии вектора A примет вид: |
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 R2 . Это семейство окружностей радиуса R с центрами, лежащими на оси z.
Найти ротор и дивергенцию векторных полей:
A 2cos ax1 |
3sin2 bz1 |
|
и |
x |
|
y |
B= 6z21x +5z1y +10y21z
Решение. Для этого воспользуемся (1.3) и (1.4):
divA= -2a sin ax; rotA= -3b sin 2bz1x ; divB= 0; rotB= (20y-5z)1x +12z1y.
Исследовать характер поля вектораC :
C=cos(z/ )1z
Если поле имеет скалярный потенциал U, то определить его при условии U=0 при х=0.
Решение. Для определения характера поля необходимо найти его ротор и дивергенцию.
Согласно (1.3) и (1.4)
; rotC 0
Последнее означает, что поле имеет скалярный потенциал, что следует из векторного тождества:
rot grad U 0
При этом скалярный потенциал определяется выражением (1.2):
C gradU
или, с учетом того, что поле имеет только одну проекцию Сz,
cos(z/ )1Z = +dU/dz 1Z
Определим значение U, интегрируя полученный результат
U cos(z/ )dz const sin(z/ ) const
Так как по условию U=0 при x=0, то, получаем:
6
const=π и, окончательно,
U (1 sin z ).
2. Основные законы электромагнетизма
Классическая теория электромагнитного поля базируется на уравнениях Максвелла, сформированных им на основе имевшихся к тому времени данных многочисленных экспериментальных исследований электрических и магнитных явлений.
Система уравнений Максвелла в интегральной форме:
|
|
D |
|
1. Hdl |
t |
E Jст.э dS; |
|
L |
S |
|
2. Edl |
|
BdS; |
|
|
t |
(2.1) |
|||
L |
S |
|||
|
3. DdS dV ;
S V
4.BdS 0
S
В дифференциальной форме:
1. rotH |
D E Jст.э; |
|
t |
2. rotE |
B |
; |
(2.2) |
|
t |
||||
|
|
|
3.divD ;
4.divB 0
Косновным уравнениям электромагнитного поля относится также уравнение непрерывности тока:
в интегральной форме:
|
|
|
t dV JпрdS , |
2.3) |
|
V |
S |
|
в дифференциальной форме:
|
divJст 0 |
(2.4) |
|
t |
|||
|
|
Принятые обозначения:
E - вектор напряженности электрического поля, В/м;
7
H - вектор напряженности магнитного поля, А/м;
D - вектор электрического смещения (электрической индукции), Кл/м2;
B- вектор магнитной индукции, Тл;
- удельная проводимость вещества, См/м;
- объемная плотность электрического заряда, Кл/м3;
Jст.э - вектор плотности стороннего электрического тока, А/м2.
Правая часть первого уравнения Максвелла есть сумма токов различной природы. Выражение
D |
|
( |
E P) |
E |
P J |
|
J |
|
, |
(2.5) |
|
t |
cм |
nол |
|||||||||
t |
0 |
|
0 t |
t |
|
|
|
определяет сумму плотности тока смещения Jсм и поляризационного тока Jпол . Плотность тока проводимости определяется как
Jпр E .
Материальные уравнения для электрического и магнитного полей:
D aE |
(2.6) |
|
B aH |
||
|
- определяют соотношения между векторами индукции и напряженности поля через абсолютные диэлектрическую a и магнитную a проницаемости сред.
На практике обычно используются значения относительной (безразмерной величины) проницаемости среды: диэлектрической - a 0 , и магнитной - a 0 , где
|
=10-9 /36 Ф/м, |
=4 10-7 |
, Гн/м |
0 |
|
0 |
|
- соответствующие проницаемости вакуума.
Проницаемости сред могут быть функциями координат (неоднородные среды), зависеть от частоты колебания поля (дисперсионная зависимость) и от величины поля (нелинейные среды). Если параметры среды не зависят от поляризации поля, то среда является изотропной, если зависят –
анизотропной.
Граничные условия. Для определения значений поля (например, E ) на границе двух сред его представляют в виде суммы двух составляющих: En -
8
нормальной (перпендикулярной) границе раздела и E - тангенциальной (касательной) ей.
Для нормальных составляющих справедливы соотношения:
B n =B n ; |
|
|||
1 |
2 |
|
(2.7) |
|
D n =D |
n , |
|||
|
||||
1 |
2 |
|
|
в отсутствие поверхностных электрических зарядов.
Если по границе раздела сред равномерно распределен электрический
поверхностный заряд с удельной плотностью пов , то |
|
D1n - D2n = пов |
(2.8) |
Для тангенциальных составляющих электрического поля справедливо
E1 = E2 , |
(2.9) |
Если вторая среда – идеальный проводник (с бесконечной проводимостью), то поле в нем не существует. При этом E1τ=0 и на границе существует только нормальная составляющая электрического поля.
Для магнитных составляющих в общем случае справедливо:
|
|
|
, |
(2.10) |
|
|
|
|
Для границы с идеальным проводником вводится понятие поверхностного электрического тока Jпов.э ,протекающего в бесконечно тонком поверхностном слое проводника, и измеряемого в А/м:
J |
пов.э |
1 |
H , |
(2.11) |
|
n |
|
|
|
где правая часть (2.11) – векторное произведение векторов нормали 1n к |
||||
поверхности и H . |
|
|
|
|
Вектор Jпов.э численно равен составляющей поля H |
на границе и |
|||
ориентирован, согласно (2.11), перпендикулярно ей. |
|
Примеры решения задач
2.1. В среде с параметрами ε = 4, μ = 1, σ = 0,5 См/м создано синусоидальное электрическое поле с частотой 108 Гц. Амплитуда плотности электрического тока проводимости в каждой точке среды равна 5·10-3 А/м2.
9
Определить амплитудное значение суммарного вектора плотности токов смещения и поляризации.
Решение. Амплитуда плотности тока проводимости Jпр E .
Отсюда
E Jпр =10-2 В/м
Искомое значение суммарного вектора определяется как
J |
сумм |
|
a |
E |
, |
|
|
t |
|
где а 0 Амплитудное значение суммарного вектора с учетом гармонического
закона изменения поля: Jсумм a Em Окончательно получаем
Jсумм |
2 *108 *4*10 9 *10 2 |
2.2*10 2 А/м2 |
|
36 |
|||
|
|
2.2. Электрический заряд равномерно распределен в объеме шара диаметром 2a=4 см, находящегося в воздухе. Определить объемную плотность заряд ρ шара, если напряженность электрического поля вокруг него равна Е=10 кВ/м2.
Решение. Согласно закону Гаусса, полный электрический заряд шара равен суммарному потоку векторного поля D через замкнутую поверхность шара площадью S. Поскольку заряд равномерно распределен по объему шара, интегрирование заменяется умножением на V =4/3πa3. Тогда
|
|
0 |
4 a2E 4 3 a3 |
и |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3*104 |
|
1.33*10 7 |
Кл/м3. |
||
36 *109 |
*2 |
||||||
|
|
|
2.3. По бесконечному цилиндрическому проводнику диаметром 2a=10см протекает постоянный ток I0=2А. Плотность тока неизменна по сечению проводника. Определить напряженность магнитного поля Н проводника при r1=10 и r2=3 см.
10