Пособие 14 W2003

Потери в диэлектрике за счет токов проводимости принято характеризовать величиной δ угла наклона a к действительной оси на комплексной плоскости или значением tgδ=σ/ωεa. В диапазоне СВЧ хорошим считается диэлектрик с tgδ <10-3.

Энергетические соотношения в электромагнитном поле определяются теоремой Пойнтинга. Энергия поля, заключенного внутри некоторого объема V, изменяется во времени вследствие:

-превращения части энергии в другие виды энергии, в частности, в тепловую, связанную с протеканием токов проводимости;

-работу сторонних источников, способных как увеличить, так и уменьшить ее запас в заданном объеме V;

-обмена энергией между V и окружающим пространством за счет излучения.

Интенсивность излучения через поверхность S объема V характеризуется величиной, называемой вектором Пойнтинга. Он равен плотности потока энергии излучения и определяется как векторное произведение мгновенных значений полей Е(t) и H(t) в данной точке пространства:

Теорема Пойнтинга определяет баланс энергии области поля внутри области объема V:

электрического и магнитного полей в объеме V.

В случае гармонических колебаний теорема Пойнтинга в комплексных амплитудах отражает закон сохранения для мощностей, усредненных за период колебания Т.

12

Действительное (среднее) значение вектора Пойнтинга определяется как:

Примеры решения задач

3.1. В некоторой точке пространства заданы мгновенные значения векторов электрического и магнитного поля:

E(t) 5cos( t 60o )1z В/м;

H (t) 2cos( t 30o )1x А/м.

Определить комплексные амплитуды векторов поля, а также комплексный вектор Пойнтинга и его среднее значение.

Решение: комплексные значения векторов (в показательной форме)

3.2. В некоторой точке пространства заданы комплексные амплитуды вектора напряженности магнитного поля H 10e j 41z А/м и вектора Пойнтинга П 10e j 81x Вт/м2. Определить комплексную амплитуду вектора напряженности электрического поля при условии, что E перпендикулярен H.

Решение. Вектор напряженности электрического поля представим в виде

E Exe j x 1x Eye j y 1y . Тогда

Оставляем в уравнении Ey составляющую:

П E2y e j y 1y 10e j 41z 10e j 81x ,

откуда Ey 2e j 8

13

3.3. В области с параметрами среды ε=72 и tgδ=1 существует электрическое поле с частотой f=109 Гц. Определить комплексную амплитуду вектора напряженности электрического поля, если вектор плотности полного

Представляя комплексное выражение в скобках в показательной форме, с учетом параметров среды получим:

1 jtg 2e j 4

Отсюда:

3.4. В области с параметрами среды ε=4 и σ=0.5 существует электрическое поле с частотой f=9 109 Гц и амплитудой напряженности электрического поля Em=20 В/м.

Определить величины плотности токов проводимости и суммарной плотности токов смещения и поляризации.

Решение. Вектор плотности тока проводимости

Jпр E 0.5 20 10 А/м,

а плотность суммарного тока смещения и поляризации равна

Jсм Jпол j aE j2 9 109 4 10 9 20 j40 40e j 2 А/м

36

Токи сдвинуты по фазе друг относительно друга на 900.

4. Плоские электромагнитные волны

Процесс переноса энергии поля в пространстве и во времени имеет волновой характер. При гармоническом изменении поля A (например, Е или Н) - волновой процесс описывается уравнением Гельмгольца:

14

Частное решение (4.1) для ЭМ поля, гармонически изменяющегося во времени в неограниченном пространстве:

- комплексная постоянная распространения, β - фазовая постоянная, α - постоянная затухания.

Первое слагаемое в (4.2) соответствует волне, распространяющейся в положительном (прямом) направлении оси z (знак «минус» в показателе экспоненты), второе - в отрицательном направлении (обратная волна).

Плоская волна. Мгновенное значение поля прямой плоской электромагнитной волны в среде с затуханием ( 0) определяется как

(4.4)

Аргумент косинуса t z - фаза волны, является функцией времени t и

волновым фронтом. Для плоской волны - это бесконечная плоскость, перпендикулярная направлению распространения вдоль z и перемещающаяся в пространстве со скоростью Vф dzdt , называемой фазовой

скоростью.

В плоскости фазового фронта, отношение векторов напряженности электрического и магнитного полей есть величина постоянная, называемая

- зависит только от параметров среды.

В вакууме a 0 , a 0 , tg 0 . Согласно (4.3),

15

- фазовая скорость ЭМ волны в вакууме равна скорости света С. λ0=С/f, м – длина волны в свободном пространстве.

Характеристическое сопротивление вакуума Z0 0 0 120 377 Ом - чисто действительная величина. Это означает, что составляющие полей Е и Н колеблются в фазе.

В среде с произвольными параметрами

Zc a a Z0

Плоская волна переносит энергию в направлении распространения. Для гармонических полей процесс переноса энергии характеризуется вектором Пойнтинга

равным средней за период плотности мощности излучения. Иногда его удобно представлять через одну из составляющих поля

Ориентация вектора E зависит от соотношения амплитуд и фаз его координатных составляющих и указывает поляризацию волны. Если поле имеет обе координатные составляющие, конец вектора за период описывает

эллиптическую кривую. При Ex Ey и сдвиге фаз 900 - поляризация

круговая, при синфазном изменении – линейная.

Величина потерь в среде характеризуется постоянной затухания

16

На практике затухание принято выражать в децибелах на единицу длины

связанное с постоянной затухания α соотношением 8.69 Величина γ в (4.3), где

В случае tg a 10 3 постоянные фазы и затухания с достаточной степенью точности рассчитываются по приближенным соотношениям

Примеры решения задач

4.1. Однородная плоская ЭМ волна с частотой f=40 ГГц распространяется в немагнитной среде (μ = 1) с параметрами ε = 2.56, tgδ= 3 10– 4. Найти основные характеристики распространения: постоянные распространения β и затухания α, длину волны λ и погонное затухание .

Решение. Поскольку значение tgδ»1 значения постоянных рассчитываются по приближенным соотношениям (4.13)

2 41010 2.56 1340 1/м, 3108

1340 3 10 42 0.201 1/м,

пог 8.686 1.75 дБ/м,

17

2 6.281340 4.69 103 4.69 мм

4.2.Однородная плоская ЭМ волна с частотой f=50 МГц распространяется вдоль оси z в среде с параметрами ε = 9, μ =2, σ= 5 10– 5. Комплексная амплитуда при z =0 - Ex (0) 5 1x В/м.

Найти мгновенные значения напряженности полей при z =4м и t=10-7 c и среднее значение вектора Пойнтинга.

Решение. Для выбора расчетных соотношений оценим значение

Поскольку оно существенно меньше 1, воспользуемся приближениями

(4.13).

Мгновенные значения напряженности полей при z =4м и t=10-7 c

Ex (z,t) Ex (0)e z cos t z 1x

5e 4.94 10 4 4 cos 2 5 107 10 7 4.94 4 1x 1.96 В/м.

H y (z,t) Ex (0) e z cos t z 1y 0.011 А/м

Zc

4.3. Электрический пробой атмосферного воздуха при нормальных условиях имеет место при напряженности электрического поля в 30 МВ/м. Определить граничное среднее значение вектора Пойнтинга плоской ЭМ волны, распространяющейся в воздушной среде.

18

полученных с учетом граничных условий (2.9), (2.10).

В декартовой системе координат плоскость xoy (рис.5.1) совпадает плоскостью границы раздела сред. Направление падения луча плоской однородной ЭМ волны (направление вектора Пойнтинга) совпадает с плоскостью xoz – плоскостью падения. Углы наклона лучей падающей, отраженной и преломленной волн (φпад, φотр и φпр, соответственно) отсчитываются от оси z, перпендикулярной границе раздела сред 1 и 2.

Плоскости постоянных фаз с векторами полей E и H перпендикулярны лучам. Рассматриваются два случая ориентации (линейной поляризации) вектора относительно плоскости падения: параллельно (||) и перпендикулярно ( ) плоскости xoz.

Явления на границе раздела рассматриваются в предположении, что обе среды без потерь (tgδ=0), а граница раздела – плоская. Тогда соотношения углов падения, отражения и преломления определяются законами Снеллиуса:

Рис.5.1 Падение плоской волны на границу двух сред под произвольным углом

19