Контрольные вопросы к теме 1

1. Пусть a  А. Следует ли отсюда, что {a} А?

2. В каком случае ААВ?

3. Назовите множество, которое является подмножеством любого множества.

4. Может ли быть множество эквивалентно своему подмножеству?

5. Мощность какого множества больше: множества натуральных чисел или множества точек отрезка [0, 1]?

Тема 2. Отношения. Функции

2.1. Отношения. Основные понятия и определения

Определение 2.1. Упорядоченной парой x, y называется совокупность двух элементов x и y, расположенных в определенном порядке.

Две упорядоченные пары x, y и u, v равны межу собой тогда и только тогда, когда x = u и y = v.

Пример 2.1.

a, b, 1, 2, x, 4 – упорядоченные пары.

Аналогично можно рассматривать тройки, четверки, n-ки элементов x₁, x₂, … x_n.

Определение 2.2. Прямым (или декартовым) произведением двух множеств A и B называется множество упорядоченных пар, таких, что первый элемент каждой пары принадлежит множеству A, а второй – множеству B:

A  B = {a, b,  a А и b В}.

В общем случае прямым произведением n множеств А₁, А₂,… А_n называется множество А₁  А₂  … А_n, состоящее из упорядоченных наборов элементов a₁, a₂, …, a_n длины n, таких, что i- ый a_i принадлежит множеству А_i, a_i  А_i.

Пример 2.2.

Пусть А = {1, 2}, В = {2, 3}.

Тогда A  B = {1, 2, 1, 3,2, 2,2, 3}.

Пример 2.3.

Пусть А = {x 0  x  1} и B = {y 2  y  3}

Тогда A  B = { x, y , 0  x  1 и 2  y  3}.

Таким образом, множество A  B состоит из точек, лежащих внутри и на границе прямоугольника, образованного прямыми x = 0 (ось ординат), x = 1, y = 2 и y = 3.

Французский математик и философ Декарт впервые предложил координатное представление точек плоскости. Это исторически первый пример прямого произведения.

Определение 2.3. Бинарным (или двуместным) отношением  называется множество упорядоченных пар.

Если пара x, y принадлежит , то это записывается следующим образом: x, y   или, что то же самое, x y.

Пример2.4.

 = {1, 1, 1, 2, 2, 3}

Аналогично можно определить n-местное отношение как множество упорядоченных n-ок.

Так как бинарное отношение – множество, то способы задания бинарного отношения такие же, как и способы задания множества (см. разд. 1.1). Бинарное отношение может быть задано перечислением упорядоченных пар или указанием общего свойства упорядоченных пар.

Пример 2.5.

1.  = {1, 2, 2, 1, 2, 3} – отношение задано перечислением упорядоченных пар;

2.  = {x, y x+ y = 7, x, y – действительные числа} – отношение задано указанием свойства x+ y = 7.

Кроме того, бинарное отношение может быть задано матрицей бинарного отношения. Пусть А = {a₁, a₂, …, a_n} – конечное множество. Матрица бинарного отношения C есть квадратная матрица порядка n, элементы которой c_ij определяются следующим образом:

c_ij =

Пример 2.6.

А = {1, 2, 3, 4}. Зададим бинарное отношение  тремя перечисленными способами.

1.  = {1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 4, 3, 4} – отношение задано перечислением всех упорядоченных пар.

2.  = { a_i, a_j a_i < a_j; a_i, a_j  А} – отношение задано указанием свойства "меньше" на множестве А .

3. – отношение задано матрицей бинарного отношенияC.

Пример 2.7.

Рассмотрим некоторые бинарные отношения.

1. Отношения на множестве натуральных чисел.

а) отношение  выполняется для пар 1, 2, 5, 5, но не выполняется для пары 4, 3;

б) отношение "иметь общий делитель, отличный от единицы" выполняется для пар 3, 6, 7, 42, 21, 15, но не выполняется для пары 3, 28.

2. Отношения на множестве точек действительной плоскости.

а) отношение "находиться на одинаковом расстоянии от точки (0, 0)" выполняется для точек (3, 4) и (–2, 21), но не выполняется для точек (1, 2) и (5, 3);

б) отношение "быть симметричным относительно оси OY" выполняется для всех точек (x, y) и (–x, –y).

3. Отношения на множестве людей.

а) отношение "жить в одном городе";

б) отношение "учиться в одной группе";

в) отношение "быть старше".

Определение 2.4. Областью определения бинарного отношения  называется множество D_ = {x существует y, что x y}.

Определение 2.5. Областью значений бинарного отношения  называется множество R_ = {y существует x, что x y}.

Определение 2.6. Областью задания бинарного отношения  называется множество M_ = D_ R_.

Используя понятие прямого произведения, можно записать:

  D_  R_

Если D_ = R_ = A, то говорят, что бинарное отношение  задано на множестве A.

Пример 2.8.

Пусть  = {1, 3, 3, 3, 4, 2}.

Тогда D_ = {1, 3, 4}, R_ = {3, 2}, M_ = {1, 2, 3, 4}.