4.9. Применение алгебры булевых функций к релейно-контактным схемам

Рассмотрим электрические релейно-контакные схемы, главный элемент которых – электромагнитное реле.

Пусть x₁, x₂, ... , x_n – набор контактов в схеме. Контакты могут быть размыкающими и замыкающими. Контакт называется замыкающим, если он замыкается при подаче напряжения. Контакт называется размыкающим, если он размыкается при подаче напряжения. Один и тот же контакт в схеме может быть как замыкающим, так и размыкающим.

Каждой последовательно- параллельной схеме сопоставим функцию проводимости:

f(x₁, x₂, ... , x_n) =

Функция проводимости схемы, состоящей из одного элемента x, для замыкающего контакта есть f(x) = x, а для размыкающего контакта f(x) = x.

Функция проводимости схемы, состоящей из двух последовательно соединенных контактов x и y (рис. 4. 1) есть f(x, y) = x&y.

Рис. 4. 1

Функция проводимости схемы, состоящей из двух параллельно соединенных контактов x и y (рис. 4. 2) есть f(x, y) = x V y.

Рис. 4. 2

Каждой последовательно-параллельной схеме можно поставить в соответствие формулу логики булевых функций, реализующую функцию проводимости этой схемы. Две схемы считаются эквивалентными, если они имеют одинаковую функцию проводимости. Применяя равносильные преобразования, можно упрощать релейно-контактные схемы, заменяя их эквивалентными, с меньшим числом контактов.

Пример 4.22.

Найдем функцию проводимости схемы, изображенной на рис. 4. 3.

Рис. 4.3

f(x, y, z) = (y&z) V (x&y&z) V (x&y&z)  (y&z) V (y&z)  z.

Эквивалентная схема изображена на рис. 4.4.

Рис 4.4

Контрольные вопросы к теме 4

1. Выберите правильный вариант ответа 1 – 4 для следующих вопросов:

а) Сколько существует различных булевых функций n переменных? б) Сколько существует различных наборов переменных для булевой функции n переменных?

Варианты ответа: 1) 2ⁿ; 2) 2²; 3) n²; 4) n!.

2. Какое из следующих утверждений верно:

а) Переменные булевой функции и сама булева функция принимают значения 0 или 1;

б) Переменные булевой функции принимают значения 0 или 1, а значения самой булевой функции совпадают с множеством действительных чисел;

в) Значения переменных булевой функции совпадают с множеством действительных чисел, а сама булева функция принимает значения 0 или 1;

г) Значения переменных булевой функции и значения самой функции совпадают с множеством действительных чисел;

3. Выберите правильный вариант ответа 1 – 4 для следующих вопросов:

а) Сколько может быть различных ДНФ у булевой функции?

б) Сколько может быть различных СДНФ у булевой функции?

в) Сколько может быть различных КНФ у булевой функции?

г) Сколько может быть различных СКНФ у булевой функции?

Варианты ответа:

1 – ноль или одна; 2 – ноль или бесконечно много; 3 – ноль или одна; 4 – одна; 5 – одна или бесконечно много.

4. В какой из нормальных форм (ДНФ, СДНФ, КНФ, СКНФ) находится данная формула булевой функции трех переменных f(x, y, z):

а) xVy&z; б) x&y&z; в) (xVy)&(xVz); г) xVyVz; д) x&y&z V y&z; е) xVy; ж) x&z.

5. Какая релейно-контактная схема соответствует функции проводимости f(x) = (xVy)&(xVz)?