2.4 Анализ точности работы сэу с выделяемой нелинейной характеристикой

Анализ существующих методов исследования экстремальных систем может быть проведен лишь при условии точного определения требований, предъявляемых к данным системам, и круг задач, которые должны решаться этими методами.

Для начала рассмотрим метод оценивания точности функционирования СЭР со стационарной нелинейной характеристикой.

Пусть в алгоритме проведения экстремального эксперимента (законе управления) величина А₀ определяется соотношением:

(2.22)

Предполагается, что возмущение φ₀ и помеха ψ₀ в измерительном тракте равны нулю φ₀ = ψ₀ = 0, тогда

(2.23)

Если в начальный момент времени t=0 выполняются соответствующие установившемуся режиму при отсутствии помех начальные условия:

(2.24)

то через заведомо попадает и в дальнейшем при t> уже не выйдет из окрестности максимума нелинейной характеристики у* = f(x*) = Z_max, заданной неравенством:

≤А₁ (t≥),

где - момент второго (после начала работы системы) переключения управления V(t).

Здесь

А₁= 2А₀ + f₁V₁δ₁ +φ₀δ₂.

В нашем случае:

А₁ = 2A₀+f₁V₁δ₁, (2.25)

Используемые в соотношениях величины f₁, V₁ определены в формулах (2.6)

и (2.19). Параметры δ₁, , δ₂, выражается через характеристики корней характеристических уравнений, соответствующих дифференциальным уравнениям линейной части и измерительного устройства.

Обозначим через Р_j (j =) корни характеристического уравнения

N(p) = a_n+1pⁿ + ... + а₂р + а₁ =0 модели линейной части производственного процесса.

Тогда δ₁ определяется как:

 для объекта 1-го порядка:

(2.26)

 Для объекта 2-го порядка:

(2.27)

 Для объекта 3-го порядка:

(2.28)

Обозначим через ( j =)- корни характеристического уравнения для измерительного устройства, тогда определяется как:

(2.29)

Передаточная функция измерительного устройства имеет вид:

тогда

(2.30)

Характеристики большинства объектов не остаются с течением времени неизменными, а изменяются иногда со значительными скоростями. Кроме того, иногда характеристики объектов не определяются аналитически, а затраты на экспериментальное определение могут быть очень велики. В то же время любая характеристика аппроксимируется отрезками достаточно простых кривых - парабол не выше второго порядка, причем вид аппроксимирующей параболы (коэффициенты управления) зависит от значения входной координаты. Пределы измерения коэффициентов в большинстве случаев определяются без значительных затрат. Учитывая, что при поиске экстремума входная координата изменяется во времени по определенному или случайному закону, характеристику любого экстремального объекта можно представить квадратичной параболой, дрейфующей во времени.

Выделяют два основных случая изменения характеристик во времени: на объект воздействует помеха; происходит регулярный дрейф характеристики. Обоим случаям нетрудно найти аналоги в теории обычных систем автоматического регулирования.

В промышленных экстремальных объектах основными являются случайный или нерегулярный дрейф. Рассмотрим влияние горизонтального дрейфа характеристик на поиск экстремума.

Уравнение дрейфующей параболы имеет вид:

у = С₂ -(х- sin(w • t))² + С₁, (2.31)

где с₁= —1, с₂ = 2, ω = 0.01.

На рисунке 2.7 представлены характеристики объекта, соответствующие времени t₁ = 0, t₂ = 25,t₃ = 50.

Их экстремумы равны:

х₁* = 0 х₂^* =0.3 х₃^*=0.5

y₁ = 2 y₂^* =2 y₃^*=2

Рисунок 2.7 - Горизонтальный дрейф нелинейной характеристики

Исследуем точность функционирования СЭР с дрейфующей нелинейной характеристикой.

Из-за нестационарности НХ естественным показателем точности функционирования представляется величина модуля разности текущего значения выхода управляемого объекта и текущего значения максимума нелинейной характеристики:

ε(t) = z(t) - m(t). (2.32)

Конечно, в силу ряда технологических причин, величина ε (0) при t=0 может быть достаточно большой, и анализировать точность СЭР целесообразно в “квазистационарном ” режиме “захвата” экстремума нелинейной характеристики, наступающем после первого переключения u(t) в момент t₁. Поскольку сигнал управления имеет релейный характер, то в описываемых условиях “квазистационарный ” режим будет колебательным.

Приведем несколько терминов, связанных с точностью функционирования линейных стационарных систем при неполной информации о внешних воздействиях и используемых в формулировке основного утверждения.

Пусть такая система описывается дифференциальным уравнением

R(w) = S(v)

или передаточной функцией

(2.33)

где v(t) - внешнее воздействие, w(t) - выходной сигнал;

V(p),W(p) - их изображения по Лапласу при нулевых начальных условиях для самих функций и их производных.

Назовем максимальным нормированным отклонением выходного сигнала w(t) (k-ой производной w^(k)(t) выходного сигнала) системы соответственно величины

максимальной нормированной ошибкой воспроизведения входного сигнала системой величину

В этих определениях предполагается, что система до момента включения t = 0 находится в состоянии покоя, т.е. w(t) = v(t) = 0 при t ≤ 0.

Величины Δ, δ называются точностными показателями качества (ТПК) системы.

Для систем произвольного порядка справедливо следующее утверждение.

Если

Заметим еще, что Δ(w', G(p)) = Δ(w, pG(p)).

Максимальная нормированная ошибка δ(G(p)) и максимальные нормированные отклонения Δ(w^(k), G(p)) также определяются и при условиях

w(t) = v(t) = с при t ≤ 0.

В этом случае под Δ(w, G(p)) понимается максимальное возможное

отклонение от величины с.

Опишем дополнительные условия, накладываемые на поведение нестационарной нелинейной характеристики. Требования унимодальности f(t,x) при любом фиксированном t недостаточно для получения содержательных утверждений о точности функционирования СЭР. Положим

r = x-x_m(t). (2.35)

Тогда

y = f(t,х) = f(t,r + х_m(t)) ≡ g(t, r) (2.36)

Функция g(t,r) при фиксированном t описывает движение по нелинейной характеристике, а при фиксированном r - её деформацию во времени. Функция х_m (t) отображает перемещение абсциссы точки максимума нелинейной характеристики; при этом g(t,0) = m(t).

Используя введенные выше обозначения (2.34) и (2.36), положим:

2.37

Априорная информация о поведении нелинейной характеристики исчерпывается соотношениями:

у = с₂х² + с₁ - уравнение стационарной нелинейной характеристики, r₀ = -0.5 - начальное положение х,

r = x-x_m(t),

Отсюда

y = c₂(x-x_m(t))² +с₁, х_m = α sin(ωt).

Таким образом у = С₂ • (х - sin(w • t))² + С₁, a g = С₂ • r² + С₁.

 Для объекта 1-го порядка:

Где α = (α- положительная часть вещественного корня уравнения τ₁p+1=0). Тогда

 Для объекта 2-го порядка:

Соответствующее G_y (р) характеристическое уравнение имеет корни

 Для объекта 3-го порядка:

Представим ПФ G_y(р) в виде:

Тогда соответствующее G_v2(p) характеристическое уравнение имеет корни:

р₁₂ =-α(1 ± iμ),

Если описанная выше СЭР до начала работы в момент /==0 находилась в состоянии покоя:

q(t) = z(t) = y(t) = f(0, х(0)) = g(0, r(0)), x(t) = x(0) при t < 0,

r(0) = x(0) - x_m (0) < 0, r(0) ϵ [-r₀,0); (2.38)

величины А, τ₀ заданы и выполнены условия

k > О, В < r₀, (2.39)

то после первого переключения сигнала управления u(t) в момент t₁ > 0

отклонение текущего значения абсциссы НХ от текущего значения абсциссы её максимума и отклонение текущего значения выхода СЭР z(t) от текущего значения m(t) максимума НХ заведомо удовлетворяют неравенствам

(2.40)

Более сложен вопрос о выборе желаемого значения величины х₁ - скорости перемещения абсциссы нелинейной характеристики x(t). При малом х₁, абсцисса x_m(t) текущего экстремума нелинейной характеристики будет удаляться от x(t); большое х₁, увеличивает величину А₀, связанную с динамическими погрешностями линейной части управляемого объекта, а значит и величину В. Существует, следовательно, оптимальное значение скорости х₁.

Выполняя расчет точностных показателей качества для разных порядков объекта управления (Приложение Б), мы получаем данные для минимизации величины В по параметру х₁ которые приведены в таблицах 1, 2, 3.

Таблица 1 - параметры системы для объекта 1-го порядка

Таблица 2 - параметры системы для объекта 2-го порядка

Таблица 3 - параметры системы для объекта 3-го порядка

Минимизация величины В по параметру х приводит при х оценкам:

- для объекта 1-го порядка - |г(/)| < В = 0.282, \z(t) - m{t)\ < 0.106;

- для объекта 2-го порядка - |г(/)| < В = 0.364, \z(t) - m(t)\ < 0.176;

- для объекта 3-го порядка - |г(/)| < В = 0.455, \z(t) - m(t)\ < 0.275 .

j = 0.055 к