2.3 Описание алгоритма поиска экстремума с запоминанием экстремума

Рассмотрим более подробно описанный выше алгоритм поиска экстремума с запоминанием экстремума.

Алгоритм запоминания экстремума заключается в использовании разности между текущим и экстремальным значением выходной величины для нахождения момента реверса системы и имеет вид:

= V₁,V(0) = V₁>0 (2.19)

Функция V(t) меняет знак на противоположный в моменты времени t , для которых выполняется соотношение:

ρ(t_j) = -A₀, ρ'(t_j)<0 , (2.20)

где

p(t) = q(t) - max q(τ),

0< τ < t,

A₀ > 0 , ρ'(t)=.

В силу этого алгоритма в вычислительном устройстве запоминается максимальное значение выходного сигнала q измерительного устройства, реализовавшееся до текущего момента времени t и непрерывно вычисляется функция:

ρ(t) = q(t) - max q(τ)

0 < τ ≤ t

Если измерительный прибор и линейная часть модели производственного процесса не слишком инерционны, то процесс поиска экстремума происходит следующим образом.

В начальный момент t = 0,V(0) = V₁ > 0 и координата х начинает

увеличиваться. Если х(0) находится слева от точки х*, в которой достигается у* - максимум нелинейной характеристики, то точка х движется к х*, функция ρ(t) при тождественно равна 0, т.к. max q(t), 0 < τ ≤ t достигается в текущий момент времени t. При этом переключения функции V(t) не происходит пока точка х не перескочит положение х*, величина у, а значит и Z и q не начнут уменьшаться, функция ρ(t) станет отрицательной, т.к. max q(t) > q(t), 0 < τ ≤ t. В силу приведенного правила переключение произойдет при ρ(t) = -А₀, когда точка х окажется на

нисходящей ветви нелинейной характеристики на некотором расстоянии права от х* (рисунок 2.5).

Рисунок 2.5 - Поиск экстремума с запоминанием

После переключения V(t) начинается возвратное движение точки х, при

котором она через некоторое время окажется слева от х и второе переключение произойдет, когда снова, уменьшаясь, функция ρ(t) не достигнет -А₀. Далее возникает колебательное движение точки х в некоторой двусторонней окрестности точки х’, а значит и выходной координаты Z относительно ее максимального значения (рисунок 2.6)

Рисунок 2.6 - Колебательные движения в окрестности экстремума

Если начальное положение х(0) точки х находится правее точки х*, то сначала точка х удаляется от х*, поскольку V(0) = V₁>0, затем происходит переключение и дальнейший процесс аналогичен описанному выше.

Параметры V₁ и А₀ в законе управления выбираются так, чтобы обеспечить

попадание величины Z(t) в заданную достаточно малую окрестность Z_max за приемлемое время и дальнейшее пребывание ее в этой окрестности, т.е. выполнении неравенства:

(2.21)

Чем больше величина V₁, тем быстрее изменяется координата x(t), а значит и Z(t) и тем быстрее Z(t) может попасть в окрестность точки Z_max.

Однако при увеличении V_l возрастают динамические ошибки

воспроизведения входных сигналов линейной частью математической модели и измерительным устройством. Это может привести к “проскакиванию“ координатой Z(t) своего максимального значения Z_max и к дальнейшим колебаниям относительно Z_max со значительной амплитудой. При малых значениях V₁ перемещение Z(t) в точку Z_max произойдет за значительное время.