2.1. Волновые уравнения

Электромагнитные волны удовлетворяют уравнениям аналогичным (1.9)^*, которые выводятся из уравнений Максвелла с применением векторного равенства

Для линейной однородной изотропной среды при отсутствии токов () и зарядов (=0) волновые уравнения для векторов и имеют вид

, , (6)

где и– операторы Лапласа, примененные к векторамисоответственно, они выражаются через операторы Лапласа от скалярных функций

(7)

где – единичные векторы (орты).

В (1.10) приведено выражение для оператора Лапласа, примененного к скалярной функции. Будем далее предполагать, что электромагнитная волна распространяется в направлении оси x (см. рис. 1) со скоростью и при этом вектор колеблется в одной плоскости, например, в плоскостиxoy (эту плоскость называют плоскостью поляризации). Тогда вектор будет колебаться в перпендикулярной к ней плоскостиxoz [это следует из двух первых уравнений (1)], т.е. в такой линейно поляризованной волне векторы иимеют только по одной составляющей, т.е. .

Следует заметить, что векторы ,иобразуют правую тройку взаимноперпендикулярных векторов (т.е. направление векторасовпадает с направлением поступательного движения правого буравчика, рукоятка которого вращается откпо наикратчайшему пути).

Для такой линейно поляризованной волны волновые уравнения (6) упростятся и примут вид

, , (8)

где индексы y и z при Е и Н подчеркивают лишь то, что векторы инаправлены вдоль взаимно перпендикулярных осейy и z.

2.2. Уравнение плоской гармонической волны

Уравнениям (8) удовлетворяют, в частности, плоские электромагнитные гармонические волны, описываемые уравнениями

(9)

где Е₀, Н₀ – амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей; =2/Т=2 – круговая частота (с^-1); Т – период колебаний (с); =1/Т – частота колебаний (Гц); k=/v=2/ – волновое число; v – скорость распространения волны, для нее скорость переноса энергии (групповая скорость) u равна фазовой скорости v этой волны [см.(1.14)]; =vT – длина волны, для вакуума

=сT=с/, (10)

₀ – начальные фазы колебаний в точках с координатой x = 0.

В уравнениях гармонической волны (9) ₀ – одинаково, т.к. колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят в одинаковой фазе [это следует из (1)].

На рис.2. показаны векторы иполя плоской линейно поляризованной волны в различных точках луча (осиох) в один и тот же момент времени. Плоскость, проходящая через электрический вектор и луч (или вектор), называется плоскостью поляризации.

Электромагнитную гармоническую волну часто записывают в экспоненциальной (комплексной) форме аналогично (1.6), где вместо s и А₀ будет Е и Е₀, Н и Н₀ соответственно для электрического и магнитного векторов.

Электромагнитная волна так же, как упругая волна (см. параграф 1.3) характеризуется фронтом волны, волновой поверхностью. В отличие от упругих волн, которые распространяются только в среде (в вакууме упругие волны не могут распространяться, т.к. в нем нет частиц, которые совершали бы колебания), электромагнитные волны распространяются не только в среде, но и в вакууме, т.к. они представляют собой процесс распространения колебаний векторовив пространстве.

Как и в случае упругих волн по форме волновых поверхностей или волновому фронту различают плоские, сферические, цилиндрические и прочие электромагнитные волны.

Обычно в практике используются пучки электромагнитной энергии (света) конечного поперечного сечения. Конечный, но достаточно узкий пучок будем называть лучом. Луч всегда перпендикулярен волновому фронту.

Из уравнений Максвелла (1) следует, что электромагнитные волны являются поперечными волнами, т.к. векторы иколеблются перпендикулярно к направлению распространения волны (см. рис. 1 и 2).

Из (1) также следует, что

, (11)