9.3. Волновая функция и ее статистический смысл

Мы привыкли к тому, что физически реальное – измеримо. Бор и Гейзенберг сделали обратное высказывание: «Принципиально неизмеримое – физически нереально». Поэтому «не надо говорить о вещах, которые невозможно измерить» (Фейнман). Поскольку из соотношения неопределенностей следует, что частица не имеет одновременно импульс и координату, то не следует об этом и говорить. А «говорить» следует о волновой функции, которая описывает микросостояние системы, ее волновые свойства.

Де Бройль связал со свободно движущейся частицей плоскую волну. Известно [cм. (1.5), (1.6)], что плоская волна, распространяющаяся в направлении оси х описывается уравнением

S=Acos(t- kх+_О)

или в экспоненциальной форме

S=А_Oехр[i(t- kх+_О)].

Заменив в соответствии с (1) и (2)  и k=2/ через Е и p, уравнение волны де Бройля для свободной частицы пишут в виде

=А_Oехр[(-i/)(Еt- pх)] (16)

(в квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет  ², то это [cм. (16)] несущественно).

Функцию  называют волновой функций или пси-функцией. Она, как правило, бывает комплексной.

Интерпретацию волновой функции дал в 1926 г. Борн: квадрат модуля волновой функции определяет вероятность того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV:

dP= ² dV=^*, (17)

где ^* – комплексно-сопряженная волновая функция.

Величина  ²=^* = dP/ dV – имеет смысл плотности вероятности.

Интеграл от (17), взятый по всему пространству, должен равняться единице (вероятность достоверного события Р=1).

(18)

Выражение (18) называют условием нормировки.

Отметим еще раз, что волновая функция описывает микросостояние частицы, ее волновые свойства, и она позволяет ответить на все вопросы, которые имеет смысл ставить. Например, найти энергию и импульс частицы. Для этого следует вычислить следующие частные производные  по координате х и времени t:

откуда

. (19)

9.4. Уравнение Шредингера для стационарных состояний

В развитие идеи де Бройля о волновых свойствах частиц Шредингер в 1926 г. получил уравнение

, (20)

где m – масса частицы, – мнимая единица,U – потенциальная энергия частицы,  – оператор Лапласа [см. (1.10)].

Решение уравнения Шредингера позволяет найти волновую функцию (x,y,z,t) частицы, которая описывает микросостояние частицы и ее волновые свойства.

Если поле внешних сил постоянно во времени (т.е. стационарно), то U не зависит явно от t. В этом случае решение уравнения (20) распадается на два множителя

(x, y, z, t) =(x, y, z) exp[-i(E/)t], (21)

где E/=.

В стационарном случае уравнение Шредингера имеет вид

, (22)

где Е, U – полная и потенциальная энергия, m – масса частицы.

Следует заметить, что исторически название "волновой функции" возникло в связи с тем, что уравнение (20) или (22), определяющее эту функцию, относится к виду волновых уравнений.