1.3.Фронт волны, волновые поверхности, фазовая скорость

Волна, распространяясь от источника колебаний, охватывает все новые и новые области пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым фронтом.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью (поверхностью постоянных фаз, фазовой поверхностью).

Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени – один.

Гармоническая бегущая волна (5) является плоской волной, т.к. ее волновые поверхности представляет собой совокупности плоскостей, параллельных друг другу и перпендикулярных осих.

Уравнение гармонической сферической волны имеет вид

, (7)

где r – радиальная координата. При распространении волны в непоглощающей среде A(r) ~ 1/r.

Скорость v распространения гармонической волны называется фазовой скоростью. Она равна скорости перемещения волновой поверхности. Например, в случае плоской гармонической волны из условия следует, что

. (8)

1.4. Волновое уравнение

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением – дифференциальным уравнением в частных производных.

, (9)

где (10)

 – оператор Лапласа, v – фазовая скорость.

Решением уравнения (9) является уравнение любой волны (плоской, сферической и т.д.). В частности, для анализируемой здесь плоской гармонической волны (5), которая не зависит от координат y и z волновое уравнение принимает вид

. (11)

Соответствующей подстановкой можно убедится, что уравнению (11) удовлетворяет уравнение (5).

1.5. Принцип суперпозиции волн. Групповая скорость

Предполагается, что гармоническая волна вида (5) не имеет ни начала, ни конца во времени и пространстве.

Реальная волна ограничена во времени и в пространстве, поэтому является негармонической, оказывается такую волну можно заменить эквивалентной ей системой гармонических волн, которые распространяются в линейной среде независимо друг от друга.

Это утверждение справедливо для волн любой природы и носит название принципа суперпозиции.

Негармоническую волну заменяют системой гармонических волн, частоты которых мало отличаются друг от друга, т.е. негармоническую волну представляют в виде группы волн или волнового пакета.

Интерес представляет скорость распространения огибающей этой группы волн (по существу, скорость распространения энергии волнового пакета или скорость передачи сигнала). Эту скорость называют групповой скоростью. Можно показать, что групповая скорость

u=d /dk (12)

и она связана с фазовой скоростью соотношением

(13)

Для гармонической волны =0 и скорость переноса энергии (групповая скорость) равна фазовой скорости, т.е. u=v. (14)