Пример 4. Анализ безубыточности при наличии ограничений

Компания Longer Boats производит три вида высококлассных гоночных яхт — Sting, Ray и Breaker. Соответствующие данные о затратах и доходах на ближайший плановый период представлены в табл.14.

Таблица 14. Данные о затратах и доходах компании Longer Boats

Яхты	Цена, долл. за единицу	Переменные затраты, долл. за единицу	Фиксированные затраты, долл.
Sting	10000	5000	5000000
Ray	7500	3600	3000000
Breaker	15000	8000	10000000

Как свидетельствуют эти данные, фиксированные затраты в каждом случае весьма значительные. Фиксированные затраты — это всевозможные расходы, которые сущест­вуют независимо от того, какое количество продукта производится. Так, для яхт класса Ray потребуется затратить те же самые $3000000 независимо от того, будет построена 1 яхта этого класса, 40 яхт или 0. Высокие фиксированные затраты включают в себя за­траты на модификацию проекта, создание макета и испытание яхты в бассейне.

На рис. 28. представлено определение точки безубыточности (критического объема производства) для яхт класса Sting. Как следует из графика, если компания Longer Boats будет производить только яхты Sting, то для того, чтобы добиться безубыточности, ей по­требуется выпустить не менее 1 000 яхт.

Рис. 28. Анализ безубыточности для производства яхт Sling

Однако перед компанией Longer Boats стоит более сложная задача. Во-первых, на следующий плановый период руководство компании уже заключило контракт на произ­водство 700 яхт Sting. Во-вторых, еще один клиент заказал 400 яхт Breaker, и руководство заинтересовано в выполнении данного заказа. В-третьих, анализ рынка, проведенный отделом маркетинга компании, свидетельствует, что следует произвести не более 300 яхт Ray. Руководство компании хочет выяснить, сколько каких яхт необходимо продать, что­бы добиться безубыточности. Таким образом, необходимо учесть наличие трех моделей, а также заключенных соглашений.

Начнем с общих положений: точка безубыточности характеризуется тем, что суммар­ный доход равняется суммарным затратам. Поскольку компания Longer Boats создана относительно недавно и испытывает определенные сложности с платежами (что связано с быстрым ростом компании), руководство заинтересовано в том, чтобы минимизиро­вать расходы. Поскольку фиксированные затраты придется нести в любом случае, целью можно считать минимизацию суммарных переменных затрат. Таким образом, поставлена задача найти производственный план с наименьшими переменными затратами, соответ­ствующий ограничениям и приносящий доход, равный суммарным затратам. Создайте символическую модель ЛП, на ее основе разработайте табличную версию модели и опти­мизируйте ее с помощью средства Поиск решения.

Разработка моделей лп

Изучая рассмотренные примеры моделей линейного программирования, вы могли убедиться, что их создание сводится к разумной и тщательной спецификации состав­ляющих модели (переменных решения, ограничений, целевой функции и т.д.) в соответ­ствии с символической линейной оптимизационной моделью. Однако в формировании моделей ЛП есть свои ловушки, которых следует избегать. Рассмотрим некоторые ошиб­ки, часто встречающиеся при создании моделей.

• Как всегда при моделировании, не следует сразу излишне детализировать модель, поскольку тогда трудно сформулировать целостную и согласованную модель. При создании табличной версии модели в Excel эти несогласованности превратятся в трудно обнаружимые логические дефекты таблицы. Поэтому лучше начать с формирования минимально достаточного множества переменных решения и ог­раничений. Впоследствии можно усложнить изначально простую модель, добавив дополнительные переменные и ограничения.

• Не следует (по крайней мере, на начальных этапах) включать в модель нелинейные зависимости. Старайтесь использовать линейные уравнения, для чего можно в уз­ком диапазоне значений переменных (заданном с помощью дополнительных ог­раничений) аппроксимировать более сложные нелинейные связи линейными за­висимостями. Отметим, что оптимизировать нелинейную модель гораздо труднее. Кроме того, нелинейная оптимизация имеет свои сложности и ловушки. Если же в модель необходимо включить некие нелинейные связи, лучше сначала разработать упрошенную линейную модель, а нелинейные связи добавить позже.

Заметим, что некоторые нелинейные связи можно достаточно просто преобразо­вать в линейные, не утратив общности модели. Предположим, Джим хочет ввести в модель ограничение на ассортимент выпуска, которое требует, что­бы при выпуске 3 стульев Captain выпускался, по меньшей мере, один стул Mate. Можно записать данное ограничение в виде C/M=3. Это выражение алгебраиче­ски корректно, но функция ограничения является нелинейной по переменной М, поскольку та выступает в качестве знаменателя отношения. С помощью неслож­ного преобразования можно получить эквивалентное неравенство С-3М≤0, ко­торое уже является линейным по обеим переменным.

• Не следует на ранних этапах заниматься выяснением, какими будут реальные по­следствия нецелочисленных значений переменных оптимального решения. Однако, как и нелинейные зависимости, требование целочисленности значе­ний переменных вносит дополнительные сложности в процесс оптимизации, поэто­му на первых этапах моделирования это требование лучше не вводить.

Во многих интересных моделях ЛП принятия решений рассматривается несколько временных периодов (например, задача определения производственного плана на несколько недель при условии, что недели нельзя считать независимыми). В таких случаях лучше сначала моделировать ситуацию для отдельного временного перио­да (например, для одной недели), а затем модифицировать модель, добавляя более сложные формулировки.

В противоположность сказанному выше отметим, что модели ЛП также не должны быль слишком простыми и ограниченными. Например, если модель минимизации затрат не содержит ни одного ограничения, вполне можно получить решение (в реальной жизни не имеющее смысла), что все переменные решения равны нулю, т.е. предлагается минимизировать затраты за счет ликвидации бизнеса. Аналогично в модели максимизации прибыли, не содержащей ни одного ограничения, можно получить "приятное", но нереальное решение с бесконечной прибылью за счет того, что одна или несколько переменных решения в процессе оптимизации модели будут стремиться к бесконечности. В линейном программировании последний результат называется неограниченным решением.

Нужно очень внимательно относиться к ограничениям в виде равенств и сводить их в моделях ЛП к минимуму, стараясь ограничиться только теми ситуациями, при ко­торых с помощью равенств задаются связи, которые должны сохраниться в модели. Например, в модель можно включить ограничение, отражающее уравнение "Прибыль = доход — затраты", или ограничение, отражающее уравнение материаль­ного баланса "Запасы на конец периода = запасы на начало периода + производство — отгрузка". Однако даже такие ограничения снижают результативность модели. Там, где возможно, такие ограничения лучше задавать в форме неравенств "Прибыль ≤..." или "Запасы на конец периода ≤...". В общем случае надо стараться записывать ограничения в виде неравенств, даже если есть основания предполагать, что в оптимальном случае они должны быть равенствами. Позднее, после того как модель будет оптимизирована, можно проверить, действительно ли эти ограничения являются лимитирующими, т.е. выполняется ли равенство, как ожидалось. Если это не так, следует внимательно разобраться, почему этого не происходит.

Включение в модель ограничения в виде равенства увеличивает риск получить че­ресчур ограниченную модель, в результате оптимизации которой получатся реше­ния с низким выигрышем, а в худшем случае допустимых решений может не ока­заться вовсе. Следует особенно внимательно подходить к включению в модель вы­раженных в форме равенств ограничений, отражающих организационную политику. Например, в некой компании XYZ существует неписаное правило: "Назначать одного менеджера (S) на каждые 10 сотрудников (W)", которое пред­полагает, что нужно наложить ограничение W= 105. Если не существует причины, делающей включение данного ограничения неизбежным, можно улучшить значе­ние целевой функции, не вводя его в модель. Если же такое ограничение включить в модель необходимо, нужно попытаться ввести его в форме неравенства. Напри­мер, приведенное выше ограничение можно сформулировать так: "Одному менеджеру может быть подчинено не более 10 сотрудников", в результате получится ог­раничение W≤ 105. При такой формулировке ограничения в ходе оптимизации модели снижается вероятность получения ответа "допустимых решений не суще­ствует". Более того, может оказаться, что наилучшая стратегия состоит в том, что­бы отказаться от исторически сложившейся традиции назначать менеджера в точной пропорции один к десяти.

Не следует добавлять ограничения, которые не диктуются моделируемой ситуацией, как это случается, когда в модель с самого начала вводят ограничения, основанные на интуитивных предположениях (зачастую ошибочных) о природе оптимального решения. В таком случае создается самореализующееся предсказание, поскольку решение задачи определено до проведения оптимизации! В результате невозможно узнать, правильны ли были интуитивные соображения. Если же они были ошибоч­ны, результатом оптимизации модели может быть ответ: "Допустимых решений не существует". Например, менеджер считает: "Очевидно, что в данной ситуации нельзя говорить об эффективности, если запас на конец периода будет больше нуля. По­этому для верности я добавлю в модель ограничение Запас на конец периода = 0. Та­кие рассуждения не только повышают риск получить чересчур ограниченную мо­дель. Если оптимальное решение задачи без данного ограничения приводит к поло­жительному остатку, менеджер не сможет узнать об этом.