- •Тема5 . Введение в математический анализ Множество действительных чисел. Последовательности
- •Функция, её график и свойства.
- •Основные свойства функций
- •Обратная функция
- •Предел функции
- •Бесконечно большие функции (б.Б.Ф) Бесконечно малые функции (б.М.Ф)
- •Основные теоремы о пределах
- •Признаки существования пределов
- •Первый и второй замечательные пределы
- •Эквивалентные бесконечно малые функции
- •Замечание. Аналогично формулируются правила сравнения б.М.Ф.При
- •Основные теоремы о бесконечно малых функциях. Применение эквивалентных бесконечно малых функций
- •Вычисление пределов
- •Приближённые вычисления
- •1.4 Непрерывность функции Непрерывность функции в точке, в интервале и на отрезке
- •Классификация точек разрыва
- •Основные теоремы о непрерывных функциях Непрерывность элементарных функций
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Асимптоты графика функции
Приближённые вычисления
Если ~ при , то, отбрасывая в равенстве бесконечно малую более высокого порядка, т.е. , получим приближённое равенство . Оно позволяет выражать одни бесконечно малые через другие.
Приведённые выше формулы справедливы при малых х, и они тем точнее чем меньше х.
На рисунках 20 24 проиллюстрированы некоторые из важнейших эквивалентностей, о которых говорилось выше. Например, графики функций и в окрестности точки О практически не различимы (рисунок 20), а кривая в окрестности точки О сливается с прямой (рисунок 21).
Пример Найти приближённое значение для .
Решение. . Для сравнения результата по таблице логарифмов находим, что .
1.4 Непрерывность функции Непрерывность функции в точке, в интервале и на отрезке
Определение. Пусть функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел в этой точке, т.е.
. (1)
Данное равенство означает выполнение трёх условий:
функция определена в точке и в её окрестности;
функция имеет предел при ;
предел функции в точке равен значению функции в этой точке.
Так как , то равенство (1) можно записать в виде
. (2)
Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию вместо аргумента х подставить его предельное значение .
Например, В равенстве функция и предел поменялись местами в силу непрерывности функции .
Пример Вычислить
Решение.
Можно дать ещё одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.
Пусть функция определена в некотором интервале . Возьмём произвольную точку . Для любого разность называется приращением аргумента х в точке и обозначается («дельта х»): . Отсюда .
Разность соответствующих значений функций называется приращением функции в точке и обозначается (или или ): или
(рисунок 25).
Очевидно, приращения и могут быть как положительными, так и отрицательными.
Запишем равенства (1) в новых обозначениях. Так как условия и одинаковы, то равенство (1) принимает вид или
(3)
Полученное равенство (3) является ещё одним определением непрерывности функции в точке.
Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в точке и её окрестности и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Исследуя непрерывность функции в точке, применяют либо равенство (1), либо равенство (3) определение.
Пример Исследовать на непрерывность функцию .
Решение. Функция определена при всех
Возьмём произвольную точку х и найдём приращение :
Тогда так как произведение ограниченной функции и б.м.ф. есть б.м.ф.
Согласно определению (3), функция непрерывна в точке х.
Аналогично доказывается, что функция также непрерывна.
Определение. Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Определение. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в интервале и в точке непрерывна справа , а в точке непрерывна слева