Основные теоремы о пределах

Рассмотрим теоремы (без доказательства), которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка теорем для случаев, когда и , аналогично. В приводимых теоремах будем считать, что пределы , существуют.

Теорема 5.8 Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов: .

Теорема 5.9 Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

Отметим, что теорема справедлива для произведения любого конечного числа функций.

Следствие 3 Постоянный множитель можно выносить за знак предела: .

Следствие 4 Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: . В частности,

Теорема 5.10 Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

Пример Вычислить

Решение.

Пример Вычислить

Решение. Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т.к. предел знаменателя, при равен 0. Кроме того, предел числителя равен 0. В таких случаях говорят, что имеем неопределённость вида . Для её раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим на :

Пример Вычислить

Решение. Здесь мы имеем дело с неопределённость вида . Для нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель на :

Функция есть сумма числа 2 и б.м.ф., поэтому

Признаки существования пределов

Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция при предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедится в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела.

Теорема 5.11 (о пределе промежуточной функции). Если функция заключена между двумя функциями и , стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т.е. если , , , то .

Теорему 3.11 иногда шутливо называют «принципом двух милиционеров». Роль «милиционеров» играют функции и , функция «следует за милиционерами».

Теорема 5.12 (о пределе монотонной функции). Если функция монотонна и ограничена при или при , то существует соответственно её левый предел или её правый предел .

Следствие 5 Ограниченная монотонная последовательность имеет предел.

Первый и второй замечательные пределы

Определение.При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел

,

называемый первым замечательным пределом.

Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю.

Пример Найти

Решение. Имеем неопределённость вида . Теорема о пределе дроби неприменима. Обозначим тогда при и

Пример 3 Найти

Решение.

Определение. Равенства и называются вторым замечательным пределом.

Замечание. Известно, что предел числовой последовательности

имеет предел, равный е :. Число е называют неперовым числом. Число е иррациональное, его приближённое значение равно 2,72 (е = 2, 718281828459045…). Некоторые свойства числа е делают особенно удобным выбор этого числа в качестве основания логарифмов. Логарифмы по основанию е называются натуральными логарифмами и обозначаются Заметим, что

.

Примем без доказательства утверждение, что к числу е стремится и функция

Если положить то из следует . Эти равенства широко используются при вычислении пределов. В приложениях анализа большую роль играет показательная функция с основанием е. Функция называется экспоненциальной, употребляется также обозначение

Пример Найти

Решение. Обозначим очевидно, при Имеем