Эквивалентные бесконечно малые функции

Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой, бесконечно малой функцией или вообще не стремиться ни к какому пределу.

Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.

Пусть иесть б.м.ф. при, т.е. и

1. Если , тоназываютсябесконечно малыми одного порядка.

2. Если , тоназываетсябесконечно малой более высокого порядка, чем β.

3. Если , тоназываетсябесконечно малой более низкого порядка, чем β.

4. Если не существует, тоназываютсянесравнимыми бесконечно малыми.

Замечание. Аналогично формулируются правила сравнения б.М.Ф.При

Пример Сравнить порядок функций при

Решение. При это б.м.ф. одного порядка, так как

Говорят, что б.м.ф. одного порядка стремятся к нулю с примерно одинаковой скоростью.

Пример Являются ли функции б.м.ф. одного порядка при

Решение. При функция есть б.м.ф. более высокого порядка, чем β, так как В этом случае б.м.ф. стремится к нулю быстрее, чем β.

Пример Сравнить порядок функций при .

Решение. Так как то есть б.м.ф. более низкого порядка, чем β.

Пример Можно ли сравнить функции при ?

Решение. Функции при являются несравнимыми б.м.ф., так как предел не существует.

Основные теоремы о бесконечно малых функциях. Применение эквивалентных бесконечно малых функций

Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.

Определение. Если , то называются эквивалентными бесконечно малыми (при ); это обозначается так:  ~ .

Например, ~x при т.к.~x при , т.к.

Теорема 5.13 Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

Теорема 5.14 Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.

Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. есть бесконечно малая высшего порядка, чем или , то — эквивалентные бесконечно малые.

Теорема 5.15 Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы.

Замена суммы б.м.ф. её главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.

Пример Найти предел

Решение. поскольку ~ 3x и ~ 2х при .

Вычисление пределов

Для раскрытия неопределённостей вида часто бывает полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно,~ x при т.к.~x при , т.к.

Пример Покажем, что ~ при .

Решение.

Пример Найдём

Решение. Обозначим Тогдаипри. Поэтому

Следовательно, ~x при .

Пример Покажем, что ~ при .

Решение. Так как

то ~ при .

Ниже приведены важнейшие эквивалентности, которые используются при вычислении пределов.

1. ~ x при ;	6. ~x ();
2. ~x ();	7. ~ ();
3. ~x ();	8. ~ x ();
4. ~x ();	9. ~ ();
5. ~ ();	10. ~ в частности ~ ().

Пример Найти

Решение. Так как ~ 2x, ~ 3x при , то

Пример Найти

Решение. Обозначим , изследует . Поэтому

Пример Найти

Решение. Так как ~ (x  1) при ,то