Функция, её график и свойства.

Одним из основных математических понятий является понятие функции. В современном представлении функция  это соответствие между элементами двух множеств.

Определение. Пусть даны два непустых множества X и Y. Соответствие f, которое каждому элементу х  X сопоставляет один и только один элемент y  Y, называется функцией и записывается y = f(x), х  X или f : X  Y. Говорят ещё, что функция f отображает множество X на множество Y.

Множество X называется областью определения функции f и обозначается . Множество всех y  Y называется множеством значений функции f и обозначается .

Пусть задана функция f : X  Y.

Если элементами множеств X и Y являются действительные числа (т.е. X  R и Y  R), то функция f называется числовой функцией. В дальнейшем будем изучать (как правило) числовые функции, для краткости будем именовать их просто функциями и записывать y = f (x).

Произвольный элемент х  X называется аргументом или независимой переменной, а y  функцией или зависимой переменной (от х). Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости. Иногда функциональную зависимость у от х пишут в виде у = у(х), не вводя новой буквы (например, f ) для обозначения зависимости.

Частное значение функции f (x) при х = а записывают так: f (а), у(а), . Например, если то f (0) = 3, .

Графиком функции y = f (x) называется множество всех точек плоскости Оху с координатами (х, f (x)), х  , а f (x)  соответствующее значение функции.

Чтобы задать функцию y = f (x), необходимо указать правило, позволяющее, зная х, находить соответствующее значение у.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ: функция задаётся в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Например:

Если область определения функции y = f (x) не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, для которых указанные формулой действия выполнимы. Это множество значений аргумента называют естественной областью определения (или областью существования) функции и обозначается так же .

Чтобы найти естественную область определения функции, заданной формулой, нужно в виде неравенств записать те условия, при которых выполнимы все указанные формулой действия. В частности, если в формуле имеются выражения:

то записать неравенство

, то записать неравенство G(x) > 0;

то записать неравенство U(x)  0;

arcsinV(x) или arccosV(x), то записать двойное неравенство

Затем нужно решить полученное неравенство или систему неравенств.

В дальнейшем, говоря об области определения функции, заданной формулой, будем подразумевать её естественную область определения. Например, областью определения функции является отрезок . Так как из неравенства  что равносильно двойному неравенству

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию y = f (x).

Графический способ: задаётся график функции.

Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущимися приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции у, соответствующие тем или иным значениям аргумента х, непосредственно находятся из этого графика.

Преимуществом графического способа задания функции является его наглядность, недостатком  его неточность.

Табличный способ: функция, задаётся таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.

На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путём или в результате наблюдений.