ТЭД - Лекция 3 2021
.pdf
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича
Техническая электродинамика
Лекция 3
Коровин Константин Олегович Ауд 436/1 konstkor@yahoo.com
2
Тема Лекции
-Энергетический баланс ЭМП. Теорема Умова-Пойнтинга.
-Монохроматическое электромагнитное поле
-Однородная и неоднородная система уравнений Максвелла.
-Однородное и неоднородное волновое уравнение. Единственность решения.
-Скалярный и векторный потенциал. Внутренняя и внешняя задача.
-Диполь Герца
Уравнение баланса энергии поля (теорема Пойнтинга) |
3 |
|
H D j |
|
E ( H) E D |
E j |
|
|
|
||||||||
|
R |
R |
R |
|
|
R |
R |
R |
R |
|
|
|
||
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
E B |
|
H ( E) H B |
|
|
|
|
||||||||
|
R |
|
|
R |
|
|
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
H |
B E j |
|||
|
|
|
E ( H) H ( E) E D |
|||||||||||
|
|
|
R |
|
R |
|
R |
R |
R |
|
R |
R |
R |
|
|
|
|
(E H) E D |
|
|
t |
|
t |
|
|||||
|
|
|
H B |
E j |
|
|||||||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
R |
|
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
Проинтегрируем теперь уравнение по некоторому объёму V, включающему |
||||||||||||||
источники поля |
R |
R |
|
|
|
E D H B |
|
R |
R |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
(E H)n |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dV E jdV |
|
|||||
|
|
|
S |
|
|
t V |
2 |
|
|
|
V |
|
|
|
|
dW |
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(E |
H)n dS P |
|
|
E H - вектор Пойнтинга |
|||||||||
dt |
|
|
||||||||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Монохроматическое электромагнитное поле |
4 |
|
формула Эйлера
Электродинамические потенциалы. Волновое уравнение |
5 |
|
Прямые задачи электродинамики – нахождение векторов электромагнитного поля по заданным источникам
HR D Rj t
R |
B |
E |
|
|
t |
R |
|
|
|
R |
R |
|
1 H |
0 |
|
|
E |
1 j, |
|
t |
||||||
R |
|
|
|
|
R |
|
1 E |
0 |
|
|
H |
||
t |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
R |
|
|
|
2H |
|
|
1R |
|
|
|
|
|||
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
t |
2 |
|
|
R |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
R |
|
|
|
|
|
|
||
1 E |
E |
|
|
j |
0 |
0 |
|
|||||||||||
|
|
с2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
c2 |
t2 |
|
t |
|
|
|
|
|
|||||
уравнения Даламбера
Для однородной среды
С учетом
Электродинамические потенциалы. Волновое уравнение 6
Если в рассматриваемой области нет сторонних источников, уравнения являются однородными. Такие уравнения называются волновыми.
R
a 0
B 0
B A, A
|
R |
1 |
R |
|
|
H |
A |
||
- векторный потенциал |
0 |
|||
|
|
|||
|
|
|
Подставляя выражение во 2 уравнение Максвелла получим
R |
A |
Тогда |
R |
A |
(E |
t ) 0 |
E |
t |
|
|
|
|
Электродинамические потенциалы. Волновое уравнение |
7 |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
R |
|
При помощи векторного тождества ( a) ( a) 2a |
|
||||||||||||||
2 A |
2 |
R |
|
A |
j |
|
|
|
|||||||
|
A |
|
|
|
|||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
c2 t2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
c2 t |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вспомним, что вектор А определен с точностью до градиента произвольной скалярной функции
A 0 - калибровка Лоренца
tc2
Простейшее решение волнового уравнения.
8
Плоские волны
2H |
2 |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
H j |
|
|
|
|||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
R |
||||
R |
|
2 E |
|
|
1 |
|
|
|
|
j |
|||||||
2 E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
c |
2 |
|
|
t |
|
|
0 |
|
t |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R R
В отсутствии сторонних источников любая декартова компонента векторов E и H удовлетворяет однородному волновому уравнению
|
|
|
|
|
1 2u |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
u v2 |
t2 |
z,t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
u |
1 |
|
|
2 |
u |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0, или |
|
|
|
|
|
|
u(z,t) 0, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
z |
|
|
z |
|
|
|||||||||||||
z |
2 |
|
v |
|
t |
|
|
|
|
v t |
|
v t |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Введем новые переменные |
|
|
z vt; z vt, |
|||||||||||||||||||||||||
z |
|
, |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
22v
Имеем |
|
|
z |
|
t |
|
1 |
|
1 |
, |
|
|
1 |
|
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
z |
t |
2 z |
2v t |
|
2 z |
2v t |
|||||||||||||||||||||
Простейшее решение волнового уравнения.
9
Плоские волны
Это математическое описание некоторого волнового процесса. При распространении волны среда вовлекается в физический процесс, в результате чего происходит передача энергии в пространстве.
Простейшее решение волнового уравнения. |
10 |
Плоские волны
Определим взаимную ориентацию векторов E и H в плоской волне
Проекции напряженностей поля на направление распространения отсутствуют – плоские электромагнитные волны поперечны.