Знакомство с основными концепциями разработки алгоритма

ЗНАКОМСТВО С ОСНОВНЫМИ КОНЦЕПЦИЯМИ РАЗРАБОТКИ АЛГОРИТМА

Как уже говорилось в главе 1, словарь American Heritage Dictionary определяет алгоритм следующим образом:

«Конечный набор однозначных инструкций, которые при заданном наборе начальных условий могут выполняться в заданной последовательности для достижения определенной цели и имеют определимый набор конечных условий».

Разработка алгоритма заключается в том, чтобы придумать этот «конечный набор однозначных инструкций»‚ позволяющий наиболее эффективным спо­ собом добиться «достижения определенной цели». В случае сложной при­ кладной задачи разработка алгоритма — дело весьма утомительное. Чтобы осуществить качественную реализацию, мы должны всесторонне изучить поставленную задачу. Прежде чем придумать, как это будет сделано (то есть разработать алгоритм)‚ необходимо выяснить, что нужно сделать (то есть по­ нять требования). Понимание задачи включает в себя как функциональные, так и нефункциональные требования. Давайте посмотрим, что это такое:

zz Функциональные требования формально определяют интерфейсы ввода и вывода, а также связанные с ними функции. Они помогают понять, как данные будут обрабатываться и какие вычисления необходимо реализовать, чтобы получить результат.

zzНефункциональные требования определяют ожидания в отношении произ­ водительности и безопасности алгоритма.

Разработка алгоритма подразумевает удовлетворение как функциональных, так и нефункциональных требований наилучшим возможным способом, учитывая обстоятельства и доступные ресурсы.

Чтобы получить результат, соответствующий функциональным и нефункциональ­ ным требованиям, надо ответить на три вопроса, сформулированные в главе 1:

zz Вопрос 1. Даст ли разработанный алгоритм ожидаемый результат?

zz Вопрос 2. Является ли данный алгоритм оптимальным способом получения этого результата?

zzВопрос 3. Как алгоритм будет работать с большими наборами данных?

Далее мы подробно рассмотрим эти вопросы.

Вопрос 1. Даст ли разработанный алгоритм ожидаемый результат?

Алгоритм — это математическое решение реальной задачи. Чтобы быть полез­ ным, он должен давать точные результаты. О проверке правильности алгоритма нужно думать заранее‚ и она должна быть заложена в его архитектуру. Прежде чем разрабатывать стратегию проверки алгоритма, нам нужно рассмотреть следующие два аспекта:

zz Определение истины (truth). Для проверки алгоритма нам нужны некоторые известные правильные результаты для заданного набора входных данных. В контексте поставленной задачи такие результаты называются истинами. Пытаясь найти лучшее решение, мы последовательно совершенствуем наш алгоритм и используем истину в качестве ориентира.

zzВыбор метрик. Кроме того, нужно решить, как именно мы собираемся коли­ чественно оценивать отклонение от определенной истины. Выбор правильных показателей (метрик) поможет точно оценить качество нашего алгоритма.

Например, для алгоритмов машинного обучения в качестве истины можно ис­ пользовать существующие размеченные данные. Для количественной оценки отклонения от истины можно выбрать одну или несколько метрик, таких как

доля правильных ответов (accuracy), полнота (recall) или точность (precision). Важно отметить, что в некоторых случаях результат не ограничен одним значе­ нием‚ а представляет собой диапазон для заданного набора входных данных. Во время разработки нашей целью будет итеративное улучшение алгоритма до тех пор, пока результат не окажется в пределах диапазона, указанного в требо­ ваниях.

Вопрос 2. Является ли данный алгоритм оптимальным способом получения результата?

Более развернуто этот вопрос звучит так:

Является ли алгоритм оптимальным решением и можем ли мы убедиться, что для этой задачи не существует другого решения, которое было бы лучше нашего?

На первый взгляд, на этот вопрос ответить довольно просто. Однако в случае с некоторыми классами алгоритмов исследователи потратили десятилетия на безуспешные попытки подтвердить оптимальность конкретного решения.

Таким образом, сначала важно понять задачу и ее требования и оценить ресур­ сы, доступные для запуска алгоритма. Необходимо признать следующее утверж­ дение:

Нужно ли стремиться найти оптимальное решение этой проблемы? Поиск и проверка оптимального решения — очень сложный и длительный процесс. Поэтому лучше всего подойдет работоспособное (приемлемое) решение, основанное на эвристике.

Понимание задачи и ее сложности — важно, и это помогает оценить требования к ресурсам.

Прежде чем мы углубимся в детали, давайте определим два термина.

zz Полиномиальный алгоритм (polynomial algorithm). Если алгоритм имеет временную сложность O (n k), мы называем его полиномиальным, где k — константа.

zzСертификат (certificate). Предлагаемый вариант решения, полученный по окончании итерации, называется сертификатом. По мере итеративного про­ движения к решению конкретной задачи мы обычно генерируем серию сертификатов. Если решение стремится к сходимости, каждый сгенериро­ ванный сертификат будет лучше предыдущего. В какой-то момент, когда сертификат будет соответствовать требованиям, мы выберем его в качестве окончательного решения.

В главе 1 мы ввели понятие нотации «O-большое», которое можно использовать для анализа временной сложности алгоритма. В контексте этого анализа мы рассматриваем следующие временные интервалы:

zz время, необходимое алгоритму для получения предлагаемого решения, на­ зываемого сертификатом: tr;

zz время, необходимое для проверки предлагаемого решения (сертификата): ts.

Определение сложности задачи

На протяжении многих лет исследовательское сообщество делило задачи на различные категории в зависимости от их сложности. Прежде чем разрабатывать решение, имеет смысл охарактеризовать задачу. Как правило, задачи делятся на три типа:

zz Тип 1. Задачи, для которых доказано существование полиномиального ал­ горитма.

zz Тип 2. Задачи, для которых доказано, что они не могут быть решены с по­ мощью полиномиального алгоритма.

zzТип 3. Задачи, для которых не найден полиномиальный алгоритм, но не до­ казано, что его не существует.

Рассмотрим различные классы задач:

zz Недетерминированные полиномиальные, NP (non-deterministic polynomial). Чтобы задача была NP-задачей, она должна удовлетворять следующему условию:

yy гарантированно существует полиномиальный алгоритм, который может быть использован для проверки оптимальности варианта решения (сер­ тификата).

zz Полиномиальные, P (polynominal). Это типы задач, которые можно рассма­ тривать как подмножество NP. В дополнение к выполнению условия задачи NP задачи P должны удовлетворять еще одному условию:

yy гарантированно существует по крайней мере один полиномиальный ал­ горитм, который может быть использован для их решения.

Взаимосвязь между классами P и NP показана на следующей диаграмме (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Если задача принадлежит к классу NP, то принадлежит ли она так­ же и к классу P? Это одна из величайших проблем в информатике, которая до сих пор остается нерешенной. Математический инсти­ тут Клэя включил ее в число Задач тысячелетия. За решение этой проблемы предлагается 1 миллион долларов, так как оно оказало бы значительное влияние на такие области, как искусственный интеллект, криптография и теоретические компьютерные науки (рис. 4.2).

Рис. 4.2

Вернемся к списку классов задач.

zz NP-полные (NP-complete). Данная категория содержит самые сложные за­ дачи из всех NP. NP-полная задача удовлетворяет следующим двум услови­ ям:

yy не существует известных полиномиальных алгоритмов для генерации сертификата;

yy существуют известные полиномиальные алгоритмы для проверки того, что предлагаемый сертификат является оптимальным.

zzNP-трудные (NP-hard). Эта категория содержит задачи, которые по крайней мере так же сложны, как и любая задача категории NP; при этом они необя­ зательно принадлежат категории NP.

Теперь попробуем нарисовать диаграмму, чтобы проиллюстрировать различные классы задач (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Исследовательскому сообществу еще предстоит доказать, является ли P = NP. И хотя это еще не доказано, весьма вероятно, что P ≠ NP. В таком случае для