01.02.03. Динамика материальной точки, движущейся по окружности.

Уровень 1.

Акробат на мотоцикле описывает «мертвую петлю» радиусом R=4 м. С какой наименьшей скоростью ʋ_min должен проезжать акробат верхнюю точку петли, чтобы не сорваться? g=9,8 м/с². Ответ умножьте на 100 и округлите до целого значения. [626] [627]

При насадке маховика на ось центр тяжести оказался на расстоянии r=0,1 мм от оси вращения. Чему будет равна центробежная сила F давления оси на подшипники, если частота вращения маховика n=10 с^-1? Масса m маховика равна 100 кг. π=3,1416. Ответ округлите до целого значения. [39] [40]

Вал вращается с частотой n=2400 мин^-1. К валу перпендикулярно его оси прикреплен стержень очень малой массы, несущий на концах грузы массой m=1 кг каждый, находящиеся на расстоянии R=0,2 м от оси вала. Найти силу F, растягивающую стержень при вращении вала (в кН); π=3,14. Ответ округлите до целого значения. [12] [13].

Уровень 2.

Невесомый стержень вращается в горизонтальной плоскости с угловой скоростью 30 рад/с. На расстояниях 0,4 м и 0,3 м от оси вращения закреплены грузы, имеющие массы 0,2 кг и 0,1 кг соответственно. Какая горизонтальная сила действует на ось вращения, если ось находится между грузами? [45]

В кабине, укрепленной на конце штанги, находится человек. Штанга с кабиной вращается в вертикальной плоскости с угловой скоростью 0,7 рад/с. Какова должна быть длина штанги, чтобы человек в верхней точке траектории, испытывал состояние невесомости? g=9,8 м/с². [20]

Самолет описывает петлю Нестерова радиусом R=200 м. Во сколько раз сила F, с которой летчик давит на сиденье в нижней точке, больше силы тяжести P летчика, если скорость самолета ʋ=100 м/с? g=10 м/с². [6]

Автомобиль массой m=5 т движется со скоростью ʋ=10 м/с по выпуклому мосту. Определить силу F давления автомобиля на мост в его верхней части, если радиус R крутизны моста равен 50 м. Ответ запишите в килоньютонах (кН). g=9,8 м/с². [39]

Сосуд с жидкостью вращается с частотой n=1 с^-1 вокруг вертикальной оси. Поверхность жидкости имеет вид воронки. Чему равен угол φ наклона поверхности жидкости в точках, лежащих на расстоянии r=25 см от оси? g=9,8 м/с², π=3,14. Ответ округлите до целого значения. [45] [46]

Уровень 3.

К одному концу резинового шнура прикрепили шарик массой 50 г, другой его конец закрепили на горизонтальной гладкой поверхности и привели шарик во вращение по поверхности с угловой скоростью 20 рад/с. Найдите удлинение шнура (в см), если его жесткость 100 Н/м, а первоначальная длина 40 см. [10]

Небольшой груз массой 0,5 кг может перемещаться без трения по горизонтальному стержню, прикрепленному к вертикальной оси. Груз связан с осью пружиной. Какова жесткость пружины, если при вращении стержня вокруг вертикальной оси с угловой скоростью 3 рад/с пружина растягивается в 2 раза? [9]

Какую минимальную скорость должен развить автомобиль массой 2000 кг, чтобы благополучно проехать по выпуклому мосту с радиусом кривизны 100 м, выдерживающему нагрузку не более 18000 Н? g=10 м/с². [10]

Машина массой 2 т движется со скоростью 72 км/ч по выпуклому мосту, радиус кривизны которого 100 м. С какой силой (в кН) давит машина на мост, проезжая через его середину? g=10 м/с². [12]

Лыжник массой 65 кг движется по вогнутому участку дороги с радиусом кривизны 20 м. Определите силу давления лыж на дорогу в низшей точке этого участка, если скорость движения лыжника 2 м/с. g=9,8 м/с². [650]

Определите радиус горбатого моста, имеющего вид дуги окружности, если известно, что давление автомобиля, движущегося со скоростью 90 км/ч, в верхней точке моста уменьшилось вдвое (по сравнению с давлением на горизонтальном участке дороги). g=10 м/с². [125]

К невесомому стержню длиной 50 см прикреплен шарик массой 400 г, который равномерно вращается в вертикальной плоскости. При какой минимальной угловой скорости вращения произойдет разрыв стержня, если он выдерживает максимальную нагрузку 24 Н? g=10 м/с². [10]

Небольшой шарик массой 250 г, прикрепленный к концу нити, равномерно вращают в вертикальной плоскости. На сколько сила натяжения нити в нижней точке траектории больше, чем в верхней? g=10 м/с². [5]

Математический маятник имеет массу 1 кг и длину 20 см. В момент, когда нить маятника образует угол 60° с вертикалью, скорость груза маятника равна 1 м/с. Какова в этот момент сила натяжения нити? g=10 м/с². [10]

Самолет делает «мертвую петлю». Определите силу давления летчика на сиденье в нижней точке траектории, если масса летчика 70 кг, скорость самолета 100 м/с, а радиус окружности («петли») 200 м. g=10 м/с². [420]

Самолет делает «мертвую петлю». В нижней точке траектории сила, прижимающая летчика к сиденью, в 5 раз больше силы тяжести. В верхней точке летчик испытывает состояние невесомости. Во сколько раз скорость самолета в нижней точке больше, чем в верхней? [2]

При переносе тела с полюса некоторой планеты на экватор его вес уменьшается на 20%. Угловая скорость вращения планеты 0,001 рад/с, ее радиус 3000 км. Чему равно ускорение свободного падения на этой планете? Планету считать идеальным шаром. [15]

Гоночный автомобиль массой 2500 кг едет по шоссе со скоростью 360 км/ч вдоль экватора. На сколько отличаются силы давления автомобиля на полотно дороги при его движении с запада на восток и с востока на запад? Угловая скорость вращения Земли 7,3·10^-5 рад/с. [73]

На горизонтальной вращающейся платформе на расстоянии 10 см от оси вращения лежит груз. Коэффициент трения между грузом и платформой 0,01. При какой угловой скорости вращения платформы груз начнет скользить. g=10 м/с². [1]

С какой максимальной скоростью может проходить автомобиль поворот дороги радиусом закругления 400 м, если коэффициент трения между шинами автомобиля и дорогой 0,1? g=10 м/с². [20]

Самолет, летящий со скоростью 540 км/ч, наклоняется при повороте на угол, тангенс которого 0,3. Чему равен радиус поворота? g=10 м/с². [7500]

Поворот дороги радиусом 100 м профилирован так, что полотно дороги наклонено в сторону поворота под углом, тангенс которого 0,4. Какова оптимальная скорость (в км/ч) прохождения такого поворота? g=10 м/с². [72]

Диск радиусом R=40 см вращается вокруг вертикальной оси. На краю диска лежит кубик. Принимая коэффициент трения μ=0,4, найти частоту N вращения, при которой кубик соскользнет с диска. g=9,8 м/с², π=3,14. Ответ умножьте на 100 и округлите до целого значения. [50] [49]

К шнуру подвешена гиря массой m=1 кг. Гирю отвели в сторону так, что шнур принял горизонтальное положение, и отпустили. Как велика сила Т натяжения шнура в момент, когда гиря проходит положение равновесия? [30] Какой угол φ с вертикалью составляет шнур в момент, когда сила натяжения шнура равна силе тяжести гири? g=10 м/с². Ответ округлите до целого значения. [70] [71]

Грузик, привязанный к шнуру длиной ℓ=50 см, описывает окружность в горизонтальной плоскости. Какой угол φ образует шнур с вертикалью, если частота вращения n=1 с^-1? g=9,8 м/с², π=3,14. Ответ округлите до целого значения. [60] [61]

Грузик, привязанный к нити длиной ℓ=1 м, описывает окружность в горизонтальной плоскости. Определить период T обращения, если нить отклонена на угол φ=60º от вертикали. g=9,81 м/с², π=3,1416. Ответ округлите до целого значения. [1419] [1418]

Мотоцикл едет по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиусом R=11,2 м. Центр тяжести мотоцикла с человеком расположен на расстоянии ℓ=0,8 м от поверхности цилиндра. Коэффициент трения μ покрышек о поверхность цилиндра равен 0,6. С какой минимальной скоростью ʋ_min должен ехать мотоциклист? [13] [14] g=9,8 м/с². Ответ округлите до целого значения. Каков будет при этом угол φ наклона его к плоскости горизонта? Ответ округлите до целого значения. [31] [30]

Автомобиль едет по закруглению шоссе, радиус R кривизны которого равен 200 м. Коэффициент трения μ колес о покрытие дороги равен 0,1 (гололед). При какой скорости ʋ автомобиля начнется его занос? g=9,8 м/с². [14]

Какую наибольшую скорость ʋ_max может развить велосипедист, проезжая закругление радиусом R=50 м, если коэффициент трения скольжения μ между шинами и асфальтом равен 0,4? [14] Каков угол φ отклонения велосипеда от вертикали, когда велосипедист движется по закруглению? g=9,8 м/с². Ответ округлите до целого значения. [22] [21]

Самолет массой m=2,5 т летит со скоростью ʋ=400 км/ч. Он совершает в горизонтальной плоскости вираж (вираж – полет самолета по дуге окружности с некоторым углом крена). Радиус R траектории самолета равен 500 м. Найти поперечный угол φ наклона самолета [68] [69] и подъемную силу F крыльев во время полета (в кН). g=9,8 м/с². Ответ округлите до целого значения. [66] [65]

Вал вращается с частотой n=2400 мин^-1. К валу перпендикулярно его оси прикреплен стержень очень малой массы, несущий на концах грузы массой m=1 кг каждый, находящиеся на расстоянии R=0,2 м от оси вала. Найти момент М силы, которая действовала бы на вал, если бы стержень был наклонен под углом φ=89º к оси вала. π=3,14. [88] [89] Ответ округлите до целого значения.

В.Тонкую цепочку положили на гладкую горизонтальную поверхность и раскрутили вокруг одного из концов. С какой силой действует цепочка на ось вращения, если сила натяжения в ее середине равна 12 Н? [16]

В.Тонкий однородный стержень массой 0,5 кг и длиной 1 м вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. В нижнем положении скорость другого конца стержня равна 4 м/с. С какой силой действует стержень в этот момент на ось вращения? g=10 м/с². [9]

В.Два шарика массами 1 кг и 4 кг, соединенные нитью длиной 1 м, движутся по гладкой горизонтальной поверхности так, что угловая скорость вращения нити равна 5 рад/с. Найдите силу натяжения нити. [20]

Уровень 4.

С какой скоростью едет автомобиль по выпуклому мосту, радиус кривизны которого 63 м, если давление автомобиля на мост в верхней точке моста в два раза больше, чем в точке, направление на которую из центра кривизны моста составляет 30° с вертикалью? g=10 м/с². √3=1,7. [21]

Тело массой 0,1 кг вращается в вертикальной плоскости на нити длиной 1 м. Ось вращения расположена над полом на высоте 2 м. При прохождении нижнего положения нить обрывается, и тело падает на пол на расстоянии 4 м (по горизонтали) от точки обрыва нити. Определите силу натяжения нити в момент ее обрыва. g=10 м/с². [9]

Тело массой 2 кг вращается в вертикальной плоскости на нити длиной 1 м. Когда тело проходит точку, расположенную на 0,5 м ниже точки подвеса нити, она обрывается. После этого тело поднимается на 4 м выше точки подвеса. Чему было равно натяжение нити перед обрывом? g=10 м/с². [250]

Резиновый шнур длиной 0,8 м и массой 300 г имеет форму круглого кольца. Его положили на гладкую горизонтальную поверхность и раскрутили вокруг вертикальной оси так, что скорость каждого элемента кольца равна 3 м/с. Найдите удлинение (в см) шнура, если его жесткость 30 Н/м. [10]

Какова максимально допустимая скорость движения мотоциклиста на повороте наклонного трека с углом наклона к горизонту 45°, если радиус закругления 30 м, а коэффициент трения 0,5? g=10 м/с². [30]

Мотоциклист производит поворот на наклонном треке. Во сколько раз максимально допустимая скорость движения больше минимальной, если коэффициент трения 0,75, а угол наклона трека к горизонту 45°? Поворот надо пройти без проскальзывания колес по треку. [7]

С какой максимальной скоростью можно кататься на велосипеде по поверхности холма, имеющего форму полусферы радиусом 48 м, оставаясь все время на высоте 38,4 м (отсчитанной от центра кривизны). Коэффициент трения колес о землю 0,8. g=10 м/с². [3]

В цирковом аттракционе мотоциклист движется по внутренней поверхности сферы радиусом 8,5 м, оставаясь все время на 5,1 м выше центра сферы. При какой минимальной скорости это возможно? Коэффициент трения между колесами и поверхностью сферы 0,92. g=10 м/с². [26]

На внутренней поверхности сферы радиусом 12,5 см находится маленькая шайба. До какой минимальной угловой скорости нужно раскрутить сферу вокруг вертикальной оси, чтобы шайба не проскальзывала, находясь на 7,5 см ниже ее центра? Коэффициент трения 0,5, g=9,8 м/с². [7]

С какой скоростью должен вращаться шарик внутри гладкой сферы радиусом 28 см, чтобы все время оставаться в горизонтальной плоскости на высоте 20 см от нижней точки сферы? g=10 м/с². [3]

Гирька массой 100 г, привязанная к резиновому шнуру, вращается с угловой скоростью 10 рад/с по окружности в горизонтальной плоскости так, что шнур составляет угол 60° с вертикалью. Найдите длину (в см) не растянутого шнура, если его жесткость 40 Н/м. g=10 м/с². [15]

Цепочку длиной 1 м и массой 157 г замкнули в кольцо и надели сверху на гладкий круговой конус с вертикальной осью и углом полураствора 45°. Каким будет натяжение (в мН) цепочки, если конус привести во вращение так, чтобы каждый элемент цепочки имел скорость 2 м/с? Принять =3,14, g=10 м/с². [878]

Замкнутая цепочка массой 157 г надета «с натягом» на жесткий вертикальный цилиндр радиусом 5 см. Натяжение цепочки равно 3 Н. До какой угловой скорости надо раскрутить цилиндр, чтобы цепочка соскользнула с него вниз? Коэффициент трения цепочки о цилиндр 0,1, g=10 м/с². Принять =3,14. [20]

Тонкую пластинку массой 500 г, имеющую форму квадрата со стороной 75 см, раскрутили с угловой скоростью 8 рад/с вокруг вертикальной оси, совпадающей с одной из сторон квадрата. С какой силой действует пластинка на ось вращения? g=10 м/с². [13]

Уровень 5. Интегрирование.

Тонкое однородное медное кольцо радиусом R=10 см вращается относительно оси, проходящей через центр кольца, с угловой скоростью ω=10 рад/с. Определить нормальное напряжение σ, возникающее в кольце, если ось вращения перпендикулярна плоскости кольца. [8930]