05. Электрическая емкость. Конденсаторы формулы

Электрическая емкость уединенного проводника или конденсатора

C = ΔQ/Δφ,

здесь ΔQ – заряд, сообщенный проводнику (конденсатору); Δφ – изменение потенциала, вызванное этим зарядом.

Электрическая емкость уединенной проводящей сферы радиусом R, находящейся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью ε,

Если сфера полая и заполнена диэлектриком, то электроемкость ее от этого не изменяется.

Электрическая емкость плоского конденсатора

,

здесь S – площадь пластин (каждой пластины); d – расстояние между ними; ε – диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами.

Электрическая емкость плоского конденсатора, заполненного n слоями диэлектриком толщиной d_i каждый с диэлектрическими проницаемостями ε, (слоистый конденсатор),

Электрическая емкость сферического конденсатора (две концентрические сферы радиусами R₁ и R₂, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε)

Электрическая емкость цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндра длиной ℓ и радиусами R₁ и R₂, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε)

Электрическая емкость С последовательно соединенных конденсаторов:

в общем случае здесь n – число конденсаторов;

в случае двух конденсаторов

в случае n одинаковых конденсаторов с электроемкостью С₁ каждый

C = C₁/n.

Электрическая емкость параллельно соединенных конденсаторов:

в общем случае C = C₁ + C₂ +... + C_n;

в случае двух конденсаторов C = C₁ + C₂;

в случае n одинаковых конденсаторов с электроемкостью С₁ каждый C = nC₁.

ЗАДАЧИ

05.01. Электрическая емкость проводящей сферы

Уровень 1.

Металлическому шару, находящемуся в воздухе, сообщили заряд 1 нКл. Радиус шара 15 см. Определите потенциал вне шара на расстоянии 10 см от его поверхности. k=9·10⁹ м/Ф. [36]

2. Найти электроемкость С уединенного металлического шара радиусом R=1 см. ₀=8,85·10^–12 Ф/м, π=3,14. Полученный ответ умножьте на 10¹⁴ и округлите до целого значения. [111] [112]

3. Определить электроемкость С металлической сферы радиусом R=2 см, погруженной в воду (=81). ₀=8,85·10^–12 Ф/м, π=3,14. Полученный ответ умножьте на 10¹² и округлите до целого значения. [180] [181]

4. Определить электроемкость С Земли, принимая ее за шар радиусом R=6400 км. ₀=8,85·10^–12 Ф/м, π=3,14. Полученный ответ умножьте на 10⁶ и округлите до целого значения. [711] [712]

Уровень 2.

1. Металлический шар радиусом 5 см заряжен до потенциала 150 В. Чему равна напряженность поля в точке, находящейся на расстоянии 5 см от поверхности шара? [750]

Уровень 3.

1. Тысяча одинаковых шарообразных капелек ртути заряжена до одинакового потенциала 0,01 В. Определите потенциал большой шарообразной капли, получившейся в результате слияния малых капель. [1]

2. Два удаленных друг от друга проводящих шара имеют радиусы 3 и 7 см и потенциалы 20 и 30 В соответственно. Каким станет потенциал шаров после соединения их тонким проводом? [27]

3. Металлические шары, заряженные одинаковым зарядом, имеют потенциалы 20 В и 30 В. Каким будет потенциал этих шаров, если соединить их проволокой? Емкостью соединительной проволоки пренебречь. Расстояние между шарами велико по сравнению с их радиусами. [24]

4. Две концентрические проводящие сферы имеют радиусы 19 и 20 см. Внутренняя сфера заряжена, заряд внешней равен нулю. Во сколько раз уменьшится потенциал внутренней сферы, если внешнюю сферу заземлить? [20]

5. Две концентрические проводящие сферы имеют радиусы 2 и 12 см. Внутренняя сфера заряжена, заряд внешней равен нулю. Во сколько раз уменьшится потенциал внутренней сферы, если ее соединить с внешней сферой тонкой проводящей проволокой? [6]

6. Уединенная проводящая сфера радиусом 2 см заряжена зарядом 10 нКл. Во сколько раз уменьшится ее потенциал, если на расстоянии 3 см от ее центра поместить точечный заряд – 12 нКл? [5]

7. Два металлических шара радиусами R₁=2 см и R₂=6 см соединены проводником, емкостью которого можно пренебречь. Шарам сообщен заряд Q=1 нКл. Найти поверхностную плотность σ зарядов 1) на маленьком шаре и 2) на большом шаре. π=3,14. Полученный ответ округлите до целого значения.

1) [50] [49] 2) [17] [16]

8. Шар радиусом R₁=6 см заряжен до потенциала φ₁=300 В, а шар радиусом R₂=4 см – до потенциала φ₂=500 В. Определить потенциал φ шаров после того, как их соединили металлическим проводником. Емкостью соединительного проводника пренебречь. [380]

05.02. Электрическая емкость плоского конденсатора

Уровень 1.

1. Чему равна емкость (в мкФ) конденсатора, если при увеличении его заряда на 30 мкКл разность потенциалов между пластинами увеличивается на 10 В? [3]

2. Во сколько раз увеличится емкость плоского конденсатора, если площадь пластин увеличить в 8 раз, а расстояние между ними уменьшить в 2 раза? [16]

3. Конденсатор образован двумя квадратными пластинами, отстоящими друг от друга в вакууме на расстояние 0,88 мм. Чему должна быть равна сторона (в см) квадрата, чтобы емкость конденсатора составляла 1 пФ? ₀=8,8·10^–12 Ф/м. [1]

4. Емкость плоского конденсатора равна 6 мкФ. Чему будет равна его емкость (в мкФ), если расстояние между пластинами увеличить в 2 раза, а затем пространство между пластинами заполнить диэлектриком с =5? [15]

5. Расстояние между пластинами заряженного плоского конденсатора уменьшили в 2 раза. Во сколько раз увеличится при этом напряженность поля конденсатора, если он все время остается присоединенным к источнику напряжения? [2]

6. Расстояние между пластинами плоского конденсатора равно 2 см. Пластины заряжены до разности потенциалов 100 В. Чему будет равна разность потенциалов между пластинами, если, не изменяя заряда, расстояние между ними увеличить до 8 см? [400]

7. Между обкладками изолированного плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов 400 В, находится пластина с диэлектрической проницаемостью 5, примыкающая вплотную к обкладкам. Какова будет разность потенциалов между обкладками конденсатора после удаления диэлектрика? [2000]

8. Определить электроемкость С плоского слюдяного конденсатора (=7), площадь S пластин которого равна 100 см², а расстояние между ними равно 0,1 мм. ₀=8,85·10^–12 Ф/м. Полученный ответ умножьте на 10¹². [6195]

9. Между пластинами плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов U=600 В, находятся два слоя диэлектриков: стекла толщиной d₁=7 мм и эбонита толщиной d₂=3 мм (_ст=7, _э=3). Площадь S каждой пластины конденсатора равна 200 см². Найти электроемкость С конденсатора. ₀=8,85·10^–12 Ф/м. Полученный ответ умножьте на 10¹³. [885]

Уровень 2.

1. Плоский воздушный конденсатор емкостью 1 мкФ соединили с источником напряжения, в результате чего он приобрел заряд 10 мкКл. Расстояние между пластинами конденсатора 5 мм. Определите напряженность поля (в кВ/м) внутри конденсатора. [2]

2. Плоский воздушный конденсатор присоединен к источнику напряжения с ЭДС 200 В. На сколько уменьшится напряженность (в кВ/м) диэлектрического поля в конденсаторе, если расстояние между пластинами увеличить от 1 см до 2 см? [10]

3. Расстояние d между пластинами плоского конденсатора равно 1,33 мм площадь S пластин равна 20 см². В пространстве между пластинами конденсатора находятся два слоя диэлектриков: слюды толщиной d₁=0,7 мм и эбонита толщиной d₂=0,3 мм (_сл=7, _э=3, _в=1). Определить электроемкость C конденсатора. ₀=8,85·10^–12 Ф/м. Полученный ответ умножьте на 10¹² и округлите до целого значения. [33] [34]

4. Между пластинами плоского конденсатора находится плотно прилегающая стеклянная пластинка. Конденсатор заряжен до разности потенциалов U₁=100 В. Какова будет разность потенциалов U₂, если вытащить стеклянную пластинку из конденсатора? (_ст=7). [100]

Уровень 3.

1. На точечный заряд, находящийся внутри плоского конденсатора емкостью 100 мкФ, действует некоторая сила. Напряжение на конденсаторе 20 кВ. Во сколько раз увеличится сила, действующая на заряд, если конденсатор в течение двух минут подзаряжать током 0,1 А? [7]

2. С каким ускорением поднимается вертикально вверх пылинка массой 10^–7 г, несущая заряд 1,77 пКл, в плоском конденсаторе с поверхностной плотностью заряда на обкладках 6 нКл/м²? ₀=8,85·10^–12 Ф/м, g=10 м/с². [2]

3. Круглую равномерно заряженную пластину радиусом 6 см поместили в однородное поле с напряженностью 10⁴ В/м, направленной перпендикулярно пластине. Оказалось, что напряженность поля с одной стороны от пластины вблизи ее центра равна нулю. Чему равен заряд (в нКл) пластины? ₀=1/4k, k=9·10⁹ м/Ф. [2]

4. Между пластинами плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов U=600 В, находятся два слоя диэлектриков: стекла толщиной d₁=7 мм и эбонита толщиной d₂=3 мм (_ст=7, _э=3). Площадь S каждой пластины конденсатора равна 200 см². Найти: 1) электрическое смещение D (полученный ответ умножьте на 10⁹), 2) напряженность Е поля (полученный ответ умножьте на 10^–3) и 3) падение потенциала Δφ в каждом слое. ₀=8,85·10^–12 Ф/м.

1) [2655] 2) [100] 3) [300]

5. На пластинах плоского конденсатора равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью σ=0,2 мкКл/м². Расстояние d между пластинами равно 1 мм. На сколько изменится разность потенциалов на его обкладках при увеличении расстояния d между пластинами до 3 мм? ₀=8,85·10^–12 Ф/м. Полученный ответ округлите до целого значения. [45] [46]

6. В плоский конденсатор вдвинули плитку парафина (=2) толщиной d=1 см, которая вплотную прилегает к его пластинам. На сколько нужно увеличить расстояние между пластинами, чтобы получить прежнюю емкость? Полученный ответ умножьте на 10³. [5]

7. Электроемкость с плоского конденсатора равна 1,5 мкФ. Расстояние d между пластинами равно 5 мм. Какова будет электроемкость С конденсатора, если на нижнюю пластину положить лист эбонита (=3) толщиной d₁=3 мм? Полученный ответ умножьте на 10⁷. [25]

Уровень 4.

1. Внутри конденсатора, расстояние между обкладками которого 1 мм, находится пластина из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью 3 и толщиной также 1 мм. С какой силой (в мН) давят обкладки на пластину, если заряд конденсатора 2 мкКл, а напряжение на конденсаторе 200 В? [600]

2. Внутрь плоского конденсатора, подключенного к источнику постоянного напряжения, вводят пластину из диэлектрика, целиком заполняющую пространство между обкладками. Во сколько раз возрастет при этом сила притяжения между обкладками, если диэлектрическая проницаемость диэлектрика равна 4? [16]

3. Одну пластину незаряженного конденсатора, обладающего емкостью 1 нФ, заземляют, а другую присоединяют длинным тонким проводом к удаленному проводящему шару радиусом 20 см, имеющему заряд 92 мкКл. Какой заряд (в мкКл) останется на шаре? k=9·10⁹ м/Ф. [2]

05.03. Электрическая емкость сферического конденсатора

Уровень 1.

1. Две концентрические металлические сферы радиусами R₁=2 см и R₂=2,1 см образуют сферический конденсатор. Определить его электроемкость С, если пространство между сферами заполнено парафином (=2). ₀=8,85·10^–12 Ф/м, π=3,14. Полученный ответ умножьте на 10¹² и округлите до целого значения. [93] [94]

Уровень 2.

1. Конденсатор состоит из двух концентрических сфер. Радиус R₁ внутренней сферы равен 10 см, внешней R₂=10,2 см, Промежуток между сферами заполнен парафином (=2). Внутренней сфере сообщен заряд Q=5 мкКл. Определить разность потенциалов U между сферами. ₀=8,85·10^–12 Ф/м, π=3,14. Полученный ответ округлите до целого значения. [4410] [4409]

05.04. Соединения конденсаторов

Уровень 1.

1. Какой должна быть емкость (в пФ) конденсатора, который надо соединить последовательно с конденсатором емкостью 800 пФ, чтобы получить батарею конденсаторов емкостью 160 пФ? [200]

2. Плоский конденсатор емкостью 20 пФ соединяют последовательно с таким же конденсатором, но заполненным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 3. Найдите емкость (в пФ) такой батареи. [15]

3. Воздушный плоский конденсатор емкостью 5 мкФ заполняют жидким диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 6. Конденсатор какой емкости (в мкФ) надо соединить последовательно с данным, чтобы такая батарея вновь имела емкость 5 мкФ? [6]

4. Во сколько раз увеличится емкость системы, состоящей из двух параллельно соединенных одинаковых воздушных конденсаторов, если один из них заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 5? [3]

5. Два конденсатора электроемкостями С₁=3 мкФ и С₂=6 мкФ соединены между собой и присоединены к батарее с ЭДС. Ԑ=120 В. Определить заряды 1) Q₁ и 2) Q₂ конденсаторов и 3) разность потенциалов U между их обкладками, если конденсаторы соединены параллельно. Полученный ответ (1 и 2) умножьте на 10⁶.

1) [360] 2) [720] 3) [120]

Уровень 2.

1. Два конденсатора емкостями 2 и 3 мкФ соединены последовательно, а к внешним их концам параллельно подсоединен третий конденсатор емкостью 0,8 мкФ. Какова емкость (в мкФ) всей системы конденсаторов? [2]

2. Конденсаторы емкостями 10 и 1,5 мкФ соединены параллельно. Суммарный заряд конденсаторов 2,3 мкКл. Определите заряд (в мкКл) конденсатора большей емкости. [2]

3. Конденсатор емкостью 1 мкФ, заряженный до 500 В, подключили параллельно незаряженному конденсатору емкостью 4 мкФ. Найдите разность потенциалов на конденсаторах. [100]

4. Конденсатор, заряженный до разности потенциалов 100 В, подключается параллельно конденсатору вдвое большей емкости, заряженному до разности потенциалов 250 В. Какая разность потенциалов установится между обкладками конденсаторов? [200]

5. Во сколько раз увеличится емкость плоского конденсатора, пластины которого расположены вертикально, если конденсатор погрузить до половины в жидкий диэлектрик с диэлектрической проницаемостью 5? [3]

6. Плоский конденсатор, пластины которого расположены вертикально, погружают до половины в жидкий диэлектрик с диэлектрической проницаемостью 5. Во сколько раз нужно после этого увеличить расстояние между пластинами, чтобы емкость конденсатора стала такой же, как до погружения? [3]

Уровень 3.

1. Два конденсатора, емкости которых 2 и 4 мкФ, соединены последовательно и подключены к источнику напряжения с ЭДС 75 В. Найдите разность потенциалов на конденсаторе большей емкости. [25]

2. Два одинаковых плоских воздушных конденсатора соединены последовательно и подключены к источнику напряжения. Внутрь одного из них вносят диэлектрик (=3), заполняющий все пространство между обкладками. Во сколько раз уменьшится напряженность поля в этом конденсаторе? [2]

3. Два одинаковых воздушных конденсатора соединены последовательно и присоединены к источнику постоянного напряжения. У одного из них втрое увеличивают расстояние между пластинами. Во сколько раз уменьшится напряженность поля в этом конденсаторе? [2]

4. Два одинаковых воздушных конденсатора соединены последовательно и присоединены к источнику постоянного напряжения. У одного из них втрое уменьшают расстояние между пластинами, а у другого – втрое увеличивают. Во сколько раз уменьшится напряжение на втором конденсаторе? [5]

5. Плоский конденсатор емкостью 5 пФ с расстоянием между пластинами 2 мм подключен к источнику напряжения с ЭДС 2 В. В пространство между обкладками вводят параллельно им плоскую металлическую пластину толщиной 1 мм так, что она полностью перекрывает полость внутри конденсатора. Определите величину заряда (в пКл), который пройдет через источник при введении пластины. [10]

6. Конденсатор емкостью 1,2 мкФ заряжен до напряжения 135 В. Его соединяют параллельно с конденсатором емкости 0,8 мкФ, напряжение на котором 110 В. Какой заряд (в мкКл) пройдет по соединительным проводам? [12]

7. Два конденсатора, емкость одного из которых в 4 раза больше, чем емкость другого, соединили последовательно и подключили к источнику напряжения с ЭДС 75 В. Затем заряженные конденсаторы отключили от источника и друг от друга и соединили параллельно. Чему будет равно после этого напряжение на конденсаторах? [24]

8. Конденсатор, имеющий заряд 10 нКл, площадь пластин 10 см² и расстояние между пластинами 17,7 мм, погружают в керосин при вертикальном положении пластин на 2/3 его объема. Чему равно напряжение (в кВ) на таком конденсаторе? Диэлектрическая проницаемость керосина 2. ₀=8,85·10^–12 Ф/м. [12]

9. К воздушному конденсатору, заряженному до разности потенциалов U=600 В и отключенному от источника напряжения, присоединили параллельно второй незаряженный конденсатор таких же размеров и формы, но с диэлектриком (для фарфора =5). Определить диэлектрическую проницаемость ε фарфора, если после присоединения второго конденсатора разность потенциалов уменьшилась до U₁=100 В. [5]

10. Два конденсатора электроемкостями С₁=3 мкФ и С₂=6 мкФ соединены между собой и присоединены к батарее с ЭДС Ԑ=120 В. Определить заряды 1) Q₁ и Q₂ (Полученный ответ умножьте на 10⁶) конденсаторов и разности потенциалов 2) U₁ и 3) U₂ между их обкладками, если конденсаторы соединены последовательно.

1) [240] 2) [80] 3) [40]

11. Конденсатор электроемкостью С₁=0,2 мкФ был заряжен, до разности потенциалов U₁=320 В. После того как его соединили параллельно со вторым конденсатором, заряженным до разности потенциалов U₂=450 В, напряжение U на нем изменилось до 400 В. Вычислить емкость С₂ второго конденсатора. Полученный ответ умножьте на 10⁹. [320]

12. Конденсатор электроемкостью С₁=0,6 мкФ был заряжен до разности потенциалов U₁=300 В и соединен со вторым конденсатором электроемкостью С₂=0,4 мкФ, заряженным до разности потенциалов U₁=150 В. Найти заряд ΔQ, перетекший с пластин первого конденсатора на второй. Полученный ответ умножьте на 10⁶. [36]

13. Три одинаковых плоских конденсатора соединены последовательно. Электроемкость С такой батареи конденсаторов равна 89 пФ. Площадь S каждой пластины равна 100 см². Диэлектрик – стекло (для стекла =7). Какова толщина d стекла? Полученный ответ умножьте на 10⁵ и округлите до целого значения. [232] [233]

1 4. Конденсаторы соединены так, как это показано на pис. 17.1. Электроемкости конденсаторов: C₁=0,2 мкФ, C₂=0,1 мкФ, C₃=0,3 мкФ, С₄=0,4 мкФ. Определить электроемкость С батареи конденсаторов. Полученный ответ умножьте на 10⁹. [210]

1 5. Конденсаторы электроемкостями C₁=0,2 мкФ, С₂=0,6 мкФ, С₃=0,3 мкФ, С₄=0,5 мкФ соединены так, как это указано на рис. 17.2. Разность потенциалов U между точками А и В равна 320 В. Определить разность потенциалов U_1,2 на пластинах конденсатора 1) C₁ и 2) С₂.

1) [240] 2) [80]

16. Конденсаторы электроемкостями С₁=10 нФ, С₂=40 нФ, С₃=20 нФ и С₄=30 нФ соединены так, как это показано на рис. 17.3. Определить электроемкость с соединения конденсаторов. Полученный ответ умножьте на 10⁹. [20]

1 7. Конденсаторы электроемкостями С₁=2 мкФ, С₂=2 мкФ, С₃=3 мкФ и С₄=1 мкФ соединены так, как это показано на рис. 17.4. Разность потенциалов на обкладках четвертого конденсатора U₄=100 В. Найти разность потенциалов батареи конденсаторов. [210]

Уровень 4.

1 . Внутрь плоского конденсатора параллельно его обкладкам помещают диэлектрическую пластину, площадь которой равна площади обкладок, а толщина втрое меньше расстояния между ними. Чему равна диэлектрическая проницаемость пластины, если емкость конденсатора возросла на 20 %? [2]

2 . Определить электроемкость схемы, представленной на рис. 17.5, здесь С₁=1 пФ, С₂=2 пФ, С₃=2 пФ и С₄=4 пФ. Полученный ответ умножьте на 10¹². [2]

3. Пять различных конденсаторов соединены согласно схеме, приведенной на рис. 17.6. Определить электроемкость С₄, при которой электроемкость всего соединения не зависит от величины электроемкости С₅. Принять С₁=8 пФ, С₂=12 пФ, С₃=6 пФ. Полученный ответ умножьте на 10¹². [9]