03. Электростатика

01. Закон Кулона. Взаимодействие заряженных тел формулы

Закон Кулона в векторной форме

,

здесь F₁₂ – сила, действующая на точечный заряд Q₁ со стороны точечного заряда Q₂ ( ); ₀ – электрическая постоянная (₀ = 8,85·10^–12 Ф/м);  – диэлектрическая проницаемость среды; – радиус-вектор, направленный от заряда Q₁ к заряду Q₂.

Закон Кулона в скалярной форме

,

здесь м/Ф.

Закон сохранения заряда

,

здесь – алгебраическая сумма зарядов, входящих в изолированную систему; n – число зарядов.

ЗАДАЧИ

01.01. Взаимодействие точечных зарядов

Уровень 1.

1. Два точечных заряда взаимодействуют с силой 8 мН. Какова будет сила взаимодействия (в мН) между зарядами, если, не меняя расстояния между ними, величину каждого из зарядов увеличить в 2 раза? [32]

2. Во сколько раз надо увеличить расстояние между двумя точечными зарядами, чтобы сила взаимодействия осталась прежней при увеличении одного из зарядов в 4 раза? [2]

3. Точечный заряд 1 мкКл в керосине (=2) взаимодействует со вторым зарядом, находящимся на расстоянии 10 см, с силой 1,8 Н. Какова величина второго заряда (в мкКл)? Коэффициент в законе Кулона k=9·10⁹ м/Ф. [4]

4. Два точечных заряда взаимодействуют в вакууме на расстоянии 10 см с такой же силой, как в диэлектрике на расстоянии 5 см. Определите диэлектрическую проницаемость диэлектрика. [4]

5. Определите силу взаимодействия двух точечных зарядов Q₁=Q₂=1 Кл, находящихся в вакууме на расстоянии r=1 м друг от друга. Электрическая постоянная k=9·10⁹ м/Ф. Полученный ответ умножьте на 10^–9. [9]

Уровень 2.

1. Два точечных заряда находятся в вакууме на расстоянии 0,03 м друг от друга. Если их поместить в жидкий диэлектрик и увеличить расстояние между ними на 3 см, то сила взаимодействия зарядов уменьшится в 8 раз. Найдите диэлектрическую проницаемость диэлектрика. [2]

2. Два точечных заряда взаимодействуют в вакууме на расстоянии 5 см с силой 120 мкН, а в жидком диэлектрике на расстоянии 10 см – с силой 15 мкН. Найдите диэлектрическую проницаемость диэлектрика. [2]

3. Два одинаковых маленьких металлических шарика находятся на расстоянии 1 м друг от друга. Заряд одного шарика в 4 раза больше заряда другого. Шарики привели в соприкосновение и развели на некоторое расстояние. Найдите это расстояние (в см), если сила взаимодействия шариков осталась прежней. [125]

4. Два одинаковых проводящих шарика, обладающих зарядами 50 нКл и 10 нКл, находятся на некотором расстоянии друг от друга. Их приводят в соприкосновение и разводят на прежнее расстояние. На сколько процентов увеличится в результате сила взаимодействия? [80]

5. Два одинаковых положительных заряда находятся на некотором расстоянии друг от друга. Во сколько раз возрастет величина силы, действующей на один из зарядов, если на середине прямой, соединяющей заряды, поместить третий, такой же по величине, но противоположный по знаку точечный заряд? [3]

6. Когда посередине между двумя одинаковыми зарядами поместили третий заряд, система зарядов оказалась в равновесии. Во сколько раз величина этого заряда меньше величины каждого из двух крайних зарядов? [4]

7. Расстояние между двумя точечными зарядами Q₁=1 мкКл и Q₂=–Q₁ равно 10 см. Определить силу F, действующую на точечный заряд Q=0,1 мкКл, удаленный на r₁=6 см от первого и на r₂=8 см от второго зарядов. ₀=8,85·10^–12 Ф/м, π=3,14. Полученный ответ умножьте на 1000 и округлите до целого значения. [287] [286]

8. Два положительных точечных заряда Q и 4Q закреплены на расстоянии ℓ=60 см друг от друга. Определить, в какой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий заряд Q₁ так, чтобы он находился в равновесии. Полученный ответ умножьте на 100. [20] [40]

9. Расстояние ℓ между свободными зарядами Q₁=180 нКл и Q₂=720 нКл равно 60 см. Определить точку на прямой, проходящей через заряды, в которой нужно поместить третий заряд Q₃ так, чтобы система зарядов находилась в равновесии. Полученный ответ умножьте на 100. [20] [40]

Уровень 3.

1. Шарик массой 90 мг подвешен на непроводящей нити и имеет заряд 10 нКл. После того, как под шариком на расстоянии 10 см от него поместили точечный заряд другого знака, натяжение нити увеличилось вдвое. Найдите величину этого заряда (в нКл). k=910⁹ м/Ф, g=10 м/с². [100]

2. Несколько одинаково заряженных шариков одного размера и массы подвешены на нитях одинаковой длины, закрепленных в одной точке. Опуская шарики в жидкий диэлектрик, заметили, что угол отклонения нитей от вертикали в воздухе и в диэлектрике остается одним и тем же. Найдите диэлектрическую проницаемость диэлектрика, если его плотность в 1,25 раза меньше плотности материала шариков. [5]

3. Два одинаковых маленьких шарика массой 80 г каждый подвешены к одной точке на нитях длиной 30 см. Какой заряд (в мкКл) надо сообщить каждому шарику, чтобы нити разошлись под прямым углом друг к другу? k=9·10⁹ м/Ф, g=10 м/с². [4]

4. Два маленьких шарика массой 1,5 г каждый подвешены к одной точке на нитях длиной 13 см. Какой заряд (в нКл) надо сообщить каждому шарику, чтобы они разошлись на расстояние 24 см? k=9·10⁹ м/Ф, g=10 м/с². [480]

5. Вокруг точечного заряда 5 нКл по окружности радиусом 3 см вращается с угловой скоростью 5 рад/с маленький отрицательно заряженный шарик. Найдите отношение заряда шарика к его массе (в мкКл/кг). k=9·10⁹ м/Ф. Силу тяжести не учитывать. [15]

6. Точечные заряды q, q и 2q расположены на одной прямой один за другим на одинаковом расстоянии. На средний заряд действует сила 8 Н. Какая сила действует на заряд 2q? [20]

7. Два точечных заряда по 8 нКл каждый находятся на расстоянии 3 см. С какой силой (в мкН) они действуют на точечный заряд 1 нКл, находящийся на расстоянии 3 см от каждого из них? k=9·10⁹ м/Ф, =1,7. [136]

8. Четыре одинаковых точечных заряда по 10 нКл каждый расположены в вершинах квадрата со стороной 3 мм. Найдите силу (в мН), действующую со стороны трех зарядов на четвертый, k=910⁹ м/Ф. =1,4. [190]

9. В двух противоположных вершинах квадрата находятся одинаковые заряды 1 мкКл. Во сколько раз увеличится сила, действующая на один из этих зарядов, если в две другие вершины квадрата поместить заряды 1 мкКл и –1 мкКл? [3]

10. Расстояние ℓ между свободными зарядами Q₁=180 нКл и Q₂=720 нКл равно 60 см. Определить величину отрицательного заряда, который необходимо поместить в точку на прямой, проходящей через заряды, чтобы система зарядов находилась в равновесии. Полученный ответ умножьте на 10^–9. [80]

11. Два шарика массой m=0,1 г каждый подвешены в одной точке на нитях длиной L=20 см каждая. Получив одинаковый заряд, шарики разошлись так, что нити образовали между собой угол =60°. Найти заряд каждого шарика. ₀=8,85·10^–12 Ф/м, π=3,14, g = 9,8 м/с². Полученный ответ умножьте на 10⁹ и округлите до целого значения. [50] [51]

12. Даны два шарика массой m=1 г каждый. Какой заряд Q нужно сообщить каждому шарику, чтобы сила взаимного отталкивания зарядов уравновесила силу взаимного притяжения шариков по закону тяготения Ньютона? Рассматривать шарики как материальные точки. ₀=8,85·10^–12 Ф/м, π=3,14, G = 6,678·10^–11 м³/(кг·с²). Полученный ответ умножьте на 10⁹ и округлите до целого значения. [86] [87]

13. В элементарной теории атома водорода принимают, что электрон обращается вокруг ядра по круговой орбите. Определить 1) скорость υ электрона, если радиус орбиты r=53 пм (Полученный ответ умножьте на 10^–4 и округлите до целого значения), 2) также частоту n вращения электрона (Полученный ответ умножьте на 10^–14 и округлите до целого значения). ₀=8,85·10^–12 Ф/м, π=3,14, заряд электрона q_e=1,6·10^–19 Кл, масса электрона m_e=9,1·10^–31 кг.

1) [219] [218] 2) [66] [65]

14. В вершинах правильного шестиугольника со стороной а=10 см расположены точечные заряды Q, 2Q, 3Q, 4Q, 5Q, 6Q (Q=0,1 мкКл). Найти силу F, действующую на точечный заряд Q, лежащий в плоскости шестиугольника и равноудаленный от его вершин. ₀=8,85·10^–12 Ф/м, π=3,14. Полученный ответ умножьте на 10³ и округлите до целого значения. [54] [53]

Уровень 4.

1. Небольшой заряженный шарик, подвешенный на непроводящей нити, вращается в горизонтальной плоскости с угловой скоростью 3 рад/с, причем в центре описываемой им окружности расположен точно такой же заряд, что имеет шарик. Если вращающийся шарик зарядить зарядом противоположного знака (но такой же абсолютной величины), то при том же радиусе вращения угловая скорость станет 4 рад/с. Найдите расстояние (в см) от точки подвеса шарика до плоскости его вращения, g=10 м/с². [80]

2. Два одинаковых заряженных шарика подвешены в одной точке на нитях одинаковой длины. При этом нити разошлись на угол . Шарики погружаются в масло плотностью ρ₀=810² кг/м³. Определить диэлектрическую проницаемость  масла, если угол расхождения нитей при погружении шариков в масло остается неизменным. Плотность материала шариков ρ=1,610³ кг/м³. [2]

3. Два одинаковых проводящих заряженных шара находятся на расстоянии r=60 см. Сила отталкивания F₁ шаров равна 70 мкН. После того как шары привели в соприкосновение и удалили друг от друга на прежнее расстояние, сила отталкивания возросла и стала равной F₂=160 мкН. Вычислить заряды Q₁ и Q₂, которые были на шарах до их соприкосновений, в ответе запишите значении большего заряда. Диаметр шаров считать много меньшим расстояния между ними. ₀=8,85·10^–12 Ф/м, π=3,14. Полученный ответ умножьте на 10⁹ и округлите до целого значения. [140] [141]

4. Два одинаковых проводящих заряженных шара находятся на расстоянии r=30 см. Сила притяжения F₁ шаров равна 90 мкН. После того как шары были приведены в соприкосновение и удалены друг от друга на прежнее расстояние, они стали отталкиваться с силой F₂=160 мкН. Определить заряды Q₁ и Q₂, которые были на шарах до их соприкосновения, в ответе запишите модуль большего заряда. Диаметр шаров считать много меньшим расстояния между ними. ₀=8,85·10^–12 Ф/м, π=3,14. Полученный ответ умножьте на 10⁹ и округлите до целого значения. [90] [91]

5. Три одинаковых заряда Q=1 нКл каждый расположены по вершинам равностороннего треугольника. Какой отрицательный заряд Q₁ нужно поместить в центре треугольника, чтобы его притяжение уравновесило силы взаимного отталкивания зарядов? Будет ли это равновесие устойчивым? Полученный ответ умножьте на 10¹² и округлите до целого значения. [577] [578]

6. В вершинах квадрата находятся одинаковые заряды Q=0,3 нКл каждый. Какой отрицательный заряд Q₁ нужно поместить в центре квадрата, чтобы сила взаимного отталкивания положительных зарядов была уравновешена силой притяжения отрицательного заряда? Полученный ответ умножьте на 10¹² и округлите до целого значения. [287] [288]

01.02. Взаимодействие точечного заряда с зарядом, равномерно распределенным

Уровень 1–3.

Уровень 4.

1. Тонкое кольцо радиусом R=10 см несет равномерно распределенный заряд Q=0,1 мкКл. На перпендикуляре к плоскости кольца, восставленном из его середины, находится точечный заряд Q₁=10 нКл. Определить силу F, действующую на точечный заряд Q со стороны заряженного кольца, если он удален от центра кольца на: 1) ℓ₁=20 см (Полученный ответ умножьте на 10⁶ и округлите до целого значения); 2) ℓ₂=2 м (Полученный ответ умножьте на 10⁸ и округлите до целого значения). ₀=8,85·10^–12 Ф/м, π=3,14.

1) [161] [160] 2) [224] [225]

Уровень 5 (Интегрирование).

1. Тонкий стержень длиной ℓ=10 см равномерно заряжен. Линейная плотность  заряда равна 1 мкКл/м. На продолжении оси стержня на расстоянии а=20 см от ближайшего его конца находится точечный заряд Q=100 нКл. Определить силу F взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда. ₀=8,85·10^–12 Ф/м, π=3,14. Полученный ответ умножьте на 10⁶ и округлите до целого значения. [1499] [1500]

2. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью  заряда, равной 10 мкКл/м. На продолжении оси стержня на расстоянии а=20 см от его конца находится точечный заряд Q=10 нКл. Определить силу F взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда. ₀=8,85·10^–12 Ф/м, π=3,14. Полученный ответ умножьте на 10⁶ и округлите до целого значения. [4498] [4499]

3. Тонкий очень длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью  заряда, равной 10 мкКл/м. На перпендикуляре к оси стержня, восставленном из конца его, находится точечный заряд Q=10 нКл. Расстояние а заряда от конца стержня равно 20 см. Найти силу F взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда. ₀=8,85·10^–12 Ф/м, π=3,14. Полученный ответ умножьте на 10⁶ и округлите до целого значения. [6361] [6362]

4. Тонкая нить длиной ℓ=20 см равномерно заряжена с линейной плотностью =10 нКл/м. На расстоянии а=10 см от нити, против ее середины, находится точечный заряд Q=1 нКл. Вычислить силу F, действующую на этот заряд со стороны заряженной нити. ₀=8,85·10^–12 Ф/м, π=3,14. Полученный ответ умножьте на 10⁸ и округлите до целого значения. [127] [128]

5. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью =10 мкКл/м. Какова сила F, действующая на точечный заряд Q=1 нКл, находящийся на расстоянии а=20 см от стержня, вблизи его середины? ₀=8,85·10^–12 Ф/м, π=3,14. Полученный ответ умножьте на 10⁶ и округлите до целого значения. [900] [899]

6. Тонкая бесконечная нить согнута под углом 90°. Нить несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью =1 мкКл/м. Определить силу F, действующую на точечный заряд Q=0,1 мкКл, расположенный на .продолжении одной из сторон и удаленный от вершины угла на a=50 см. ₀=8,85·10^–12 Ф/м, π=3,14. Полученный ответ умножьте на 10⁵ и округлите до целого значения. [402] [403]

7. Тонкое полукольцо радиусом R=10 см несет равномерно распределенный заряд с линейной плотностью =1 мкКл/м. В центре кривизны полукольца находится заряд Q=20 нКл. Определить силу F взаимодействия точечного заряда и заряженного полукольца. ₀=8,85·10^–12 Ф/м, π=3,14. Полученный ответ умножьте на 10⁴ и округлите до целого значения. [36] [35]

8. По тонкому кольцу радиусом R=10 см равномерно распределен заряд с линейной плотностью =1 нКл/м. В центре кольца находится заряд Q=0,4 мкКл. Определить силу F, растягивающую кольцо. Взаимодействием зарядов кольца пренебречь. ₀=8,85·10^–12 Ф/м, π=3,14. Полученный ответ умножьте на 10⁶ и округлите до целого значения. [36] [35]