ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 2 Символический метод расчета

Рис. 2.34

Ответ: PW = −5 Вт.

Тема3 Анализ резонансных режимов

Резонансные режимы могут быть в цепях, содержащих индуктивные катушки и конденсаторы, которые компенсируют действие друг друга.

Занятие1

Цели занятия:

1.Научиться строить векторные диаграммы при резонансе напряжений.

2.Научиться использовать условие резонанса для расчета цепей с последовательным соединением приемников.

Если в условии заданы токи и напряжения, для решения задачи нужно построить векторную диаграмму. Алгоритм ее построения не отличается от рассмотренных ранее, но векторы входного тока и входного напряжения при резонансе направлены одинаково.

Если в условии задачи заданы параметры схемы (R, L, C), для решения необходимо использовать условие резонанса. При резонансе напряжений

вцепи с последовательным соединением приемников входное реактивное сопротивление Х = 0. В целом цепь имеет чисто активный характер. Ток на входе цепи совпадает по фазе с входным напряжением (ϕ = 0), поэтому

потребляемая мощность Р = U I .

Рассмотрим алгоритмы решения целевых задач на конкретных примерах.

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 3 Анализ резонансных режимов

Задача1

На рис. 2.35 изображена схема замещения цепи с последовательным соединением реальной индуктивной катушки и конденсатора. Вычислить напряжение на реальной катушке, если в резонансном режиме U =120 В,

UC =160 В.

Рис. 2.35

Решение

1. В условии задачи заданы электрические величины, поэтому для решения нужно построить векторную диаграмму (рис. 2.36). Алгоритм построения диаграммы подробно изложен в занятии 1 темы 1. Напряжение на реальной индуктивной катушке

U

Рис. 2.36

UK = UR2 +UL2 .

При резонансе напряжений U L =UC , U R =U . Поэтому

UK = U 2 +UC2 = 1202 +1602 = 200 В.

Задача2

Вычислить UL в схеме рис. 2.37, если ϕ = 0, U = 180 В, UC = 300 В.

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 3 Анализ резонансных режимов

2

Рис. 2.37

Пояснение к решению

Так как индуктивный и емкостный элементы находятся на участках цепи, соединенных между собой последовательно, ток и напряжение на входе совпадают по фазе (ϕ = 0), то наблюдается режим резонанса

напряжений.

Выявим узлы (1 и 2), ветви, направим токи.

Решение

1. Построим векторную диаграмму (рис. 2.38), начиная с вектора напряжения между двумя узлами U12 . Затем строим векторы токов в

пассивных параллельных ветвях IR и IC . Вектор тока I L равен геометрической сумме векторов IR и IC . Входное напряжение складывается

Задача3

Вычислить все сопротивления схемы рис. 2.37, если Р = 200 Вт,

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 3 Анализ резонансных режимов

U = 40 В, UL =30 В, U12 = 50 В, ϕ = 0.

Решение

1. Вычислим ток I L , воспользовавшись формулой активной мощности

P =U IL cosφ =U IL .

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 3 Анализ резонансных режимов

2

Рис. 2.40

В условии даны значения параметров схемы, следовательно, для решения нужно использовать условие резонанса напряжений: Xэ = 0 .

Решение

1. Запишем эквивалентное комплексное сопротивление схемы:

2. Эквивалентное реактивное сопротивление является мнимой составляющей (без j) комплексного сопротивления:

Xэ = −XC + 0,27 = 0.

3. Эквивалентное комплексное сопротивление цепи является чисто активным:

Z э = Rэ =1,94 Ом.

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 3 Анализ резонансных режимов

4. Вычислим ток в цепи по закону Ома: I = U = 120 = 62 А.

Rэ 1,94

Следующую задачу решите самостоятельно.

Задача6

Эквивалентное комплексное сопротивление цепи, схема которой представлена на рис. 2.41, чисто активное и Z э = Rэ =125 Ом.

X L

Рис. 2.41

Определить индуктивность катушки L и емкость конденсатора С, если

сопротивление R = 200 Ом, циклическая частота ω= 2 105 с-1. Ответ: L = 0,484 мГн; C = 0,0194 мкФ.

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 3 Анализ резонансных режимов

Задача8

Вычислить U в схеме (рис. 2.43), если ϕ = 0, UC =150 В, U L =120 В,

Занятие2

Цели занятия:

1.Научиться строить векторные диаграммы при резонансе токов.

2.Научиться использовать условие резонанса для расчета цепей при параллельном соединении приемников.

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 3 Анализ резонансных режимов

Алгоритм построения векторных диаграмм подробно рассмотрен на с. 45 и 63. Так как при резонансном режиме сопротивление цепи чисто активное, направления векторов входного тока и входного напряжения совпадают.

Если в условии задачи заданы параметры схемы (R,L,C), для решения

необходимо использовать условие резонанса.

При резонансе токов в цепи с параллельным соединением индуктивных катушек и конденсаторов входная реактивная проводимость В = 0.

Реактивную проводимость ветви определяют по формуле

U

Рис. 2.46

Решение

1. Построим векторную диаграмму (рис. 2.47).

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 3 Анализ резонансных режимов

I3

. U

I1 I2

Рис. 2.47

2. Вычислим ток I2 :

Решение

1. Вычислим ток I2 из треугольника токов (рис. 2.47):

I2 = I12 − I32 = 52 − 42 =3 А.

2. Определим входное напряжение, воспользовавшись формулой активной мощности:

P =U I3 cosϕ =U I3 .

Отсюда U = P = 80 = 20 В.

I3 4

3. Вычислим активное сопротивление, воспользовавшись формулой

P = R I12 . Тогда R = P = 80 =3,2 Ом.

I12 52

4. Вычислим полное сопротивление индуктивной катушки по закону

Ома:

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 3 Анализ резонансных режимов

ZK = U = 20 = 4 Ом.

I1 5

5. Рассчитаем индуктивное сопротивление:

X L = ZK2 − R2 = 42 −3,22 = 2,4 Ом.

6. Вычислим емкостное сопротивление:

проводимость B = 0. Схема содержит две параллельные ветви с разным характером реактивных сопротивлений. Поэтому B = BL − BC = 0 и BL = BC .

Индуктивная проводимость

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 3 Анализ резонансных режимов

BL = X 2X+LR2

L 1

Емкостная проводимость

BC = X 2X+CR2

C 2

Подставив эти значения, получим следующее уравнение:

6XC2 −100XC +150 = 0.

Найдем корни этого уравнения:

Полученное решение означает, что резонанс токов возможен при двух значениях емкостного сопротивления.

2. Вычислим ток в неразветвленной части схемы по закону Ома для действующих значений:

I = Y U .

Полная проводимость Y при резонансе токов является чисто активной:

При XC1 =15 Ом активная проводимость

Тогда ток I = G U = 0,1 50 = 5 А.

При ХС2 =1,67 Ом активная проводимость

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 3 Анализ резонансных режимов

G = 1008 + 275,8 = 0,26 См.

Ток I = 0,26 50 =13 А.

Задача5

Вычислить I,U, B2, ω в схеме (рис. 2.49), если ϕ = 0, I1 =1 А, I2 = 0,8 А, Q2 =32 вар, L = 25 мГн.

Рис. 2.49

Решение

1. Вычислим ток I из треугольника токов, который получается при построении векторной диаграммы (рис. 2.50):

I = I12 − I22 = 12 −0,82 = 0,6 А.

Отсюда U = Q2 = 32 = 40 В.

I2 0,8

3. Вычислим индуктивную проводимость по закону Ома:

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 3 Анализ резонансных режимов

Решение

1. Вычислим ток I1 из треугольника токов (см. рис. 2.47):

I1 = I 2 + I22 = 0,42 + 0,72 = 0,8 А.

2. Вычислим входное напряжение по закону Ома:

I =Y U =G1 U.

3. Вычислим полную проводимость первой ветви по закону Ома:

Y1 = UI1 = 05,8 = 0,16 См.

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 3 Анализ резонансных режимов

4. Вычислим полное сопротивление первой ветви:

Решение

Можно предложить несколько вариантов для решения этой задачи. Рассмотрим наиболее рациональные и интересные.

Вариант I.

1. Вычислим потребляемую мощность по формуле

P= Z I 2 = 4 0,82 = 2,56 Вт.

2.Вычислим напряжение U по закону Ома:

U= Z I = 4 0,8 = 3,2 В.

3.Вычислим ток I2 по закону Ома:

I2 = B2 U .

Из условия резонанса токов B1 = B2 , поэтому

I2 = 0,3 3,2 = 0,96 А.

4. Вычислим ток I1 из треугольника токов (см. рис. 2.47):

5. Вычислим активное сопротивление R из формулы активной мощности: P = R I12 .

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 3 Анализ резонансных режимов

Отсюда

R = P = 2,56 =1,63 Ом.

I12 1,252

Вариант II.

1. Вычислим активную проводимость G1. При резонансе токов G1 равна полной проводимости цепи Y :

G1 =Y = Z1 = 0,25 См.

2. Вычислим полную проводимость ветви с индуктивной катушкой:

Y1 = G12 + B12 = 0,252 + 0,32 = 0,39 См.

3. Вычислим активное сопротивление по формуле

R = G1 = 0,25 =1,63 Ом.

Y12 0,392

Следующие задачи решите самостоятельно.

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 3 Анализ резонансных режимов

Ответ: I = 0,6 А; B2 = 0,02 См; U = 40 В.

X L

R I1

XC

UR

U

Рис. 2.52

Ответ: U =100 В; U R = 0.