Добавил:

89135606891 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саяно-Шушенский Филиал Сибирского Федерального Университета

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

практикум СФУ.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.02.2024

Размер:

3.68 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1711 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

ГЛАВА 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ

НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Тема1 Однофазные цепи несинусоидального тока

Занятие 1

Цели занятия:

1.Научиться рассчитывать мгновенные значения токов и напряжений.

2.Научиться определять показания электроизмерительных приборов.

Несинусоидальную периодическую функцию, подчиняющуюся

условию Дирихле, можно разложить в ряд Фурье:

f(ωt) = A0 + A1m sin(ωt + ψ1) + A2m sin(2ωt + ψ2 ) +

+... + Akm sin(kωt + ψk ) +...,

где А0 – постоянная составляющая ряда; Akm sin(kωt +ψk ) – гармоническая

составляющая, меняющаяся с частотой kω.

Источник несинусоидальной ЭДС представляют как ряд последовательно соединенных источников ЭДС, источник несинусоидального тока – как ряд параллельно соединенных источников тока с разной частотой.

При расчете применяют метод наложения. Рационально разбить схему на столько подсхем, сколько частот получается при разложении в ряд Фурье несинусоидальных ЭДС и токов. Подсхемы отличаются друг от друга не только источниками энергии, но и величинами реактивных сопротивлений, которые зависят от частоты:

X kL = kLω и	X kC	=	1
			kCω

Мгновенные значения токов	и	напряжений в схеме получают

суммированием соответствующих мгновенных значений в подсхемах. Действующие значения токов, напряжений и ЭДС определяют через соответствующие действующие значения в подсхемах по формулам:

I = I02 + I12 + I22 + + Ik2 + ;

U = U02 +U12 +U22 + Uk2 + ;

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-212-

ГЛАВА 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Тема 1 Однофазные цепи несинусоидального тока

Е = Е02 + Е12 + Е22 + + Еk2 + .

Приборы электромагнитной и электродинамической систем показывают действующие значения несинусоидальных периодических электрических величин, магнитоэлектрической системы – постоянную составляющую, магнитоэлектрической с выпрямителем – среднее по модулю значение.

Рассмотрим целевые задачи на конкретных примерах.

Задача 1

Найти законы изменения токов i1 и i2 в цепи, схема замещения которой представлена на рис. 4.1, если i =102 sin ωt +102 sin3ω t А, R = 8

Ом, L ω= 4 Ом, C1ω =12 Ом.

1 С i2

Решение
1.	Разделим схему на две подсхемы с	Рис. 4.1
частотами ω и 3ω.
2.	Вычислим искомые величины в первой

подсхеме с частотой ω. Рационально сделать расчет для комплексов максимальных значений токов, воспользовавшись формулой для определения тока в одной из двух пассивных параллельных ветвей:

′

j 45°

I1m =

Im =

8 − j8

2 =

11,3e

− j 45°

=10e

А;

R + j Lω−

Сω

j Lω−

− j90°

′

C ω

′

−

80 2 e

− j 45°

− j 45° 10

=10e

А.

I2m =

Im =

11,3e

− j 45°

R + j Lω−

C ω

Мгновенные значения токов i1′

и i2′ меняются по следующим законам:

i1′ =10sin (ωt +45°) А;

i2′ =10sin (ωt −45°) А.

3. Аналогично вычислим искомые величины во второй подсхеме с частотой 3ω:

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-213-

ГЛАВА 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Тема 1 Однофазные цепи несинусоидального тока

I1′′m =

I"m = 8 + j8

2 =10e

А.

− j 45°

3Lω−

R + j

3Сω

j 3Lω−

+ j90°

3C ω

80 2 e

′′

j 45°

8 + j8 10 2

=10e

А.

2m =

Im =

11,3e

j 45°

+ j 3Lω−

Мгновенные значения токов i1′′ и i2′′ меняются по следующим законам:

i1′′=10sin (3ωt −45°) А;

i2′′

=10sin (3ωt +45°) А.

4. Мгновенные значения токов в схеме представим в виде рядов

Фурье:

i1 =i1′ +i1′′=10sin (ωt +45°)+10sin (3ωt −45°) А;

i2 =i2′

+i2′′ =10sin (ωt −45°)+10sin (3ωt +45°) А.

Задача 2

Найти закон изменения напряжения на

зажимах источника тока (рис. 4.2),

если J (t)=

J (t)

= 2sin ωt +sin 3ωt А,

R =12 Ом,

Lω=12 Ом.

Решение

Рис. 4.2

1. Разделим схему на две подсхемы с

частотами ω и 3ω.

2. Найдем

комплекс

максимального

значения искомого напряжения по закону Ома в первой подсхеме с частотой

ω:

Um′ = Z′ J1m = (R + j Lω)J1m = (12 + j12) 2 =16,97еj45° 2 ≈ 34e j45°В.

Закон изменения мгновенного значения u′:

u′=34sin (ωt +45°) В.

3. Аналогично найдем комплекс максимального значения искомого напряжения во второй подсхеме с частотой 3ω:

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-214-

ГЛАВА 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Тема 1 Однофазные цепи несинусоидального тока

′′

j 71,56°

В.

Um = Z

J3m

= (R + j3Lω)J3m = (12 + j36) 1=37,9e

Мгновенное значение um меняется по закону

′′

u′′=37,9sin (3ωt +71,56°) В.

4. Запишем закон изменения напряжения на зажимах источника тока:

u =u′+u′′=34sin(ωt +45°)+37,9sin(3ωt +71,56°) В.

Задача 3

Найти закон изменения напряжения

в схеме рис. 4.3,

если u = 200 +250

sin ωt

В,

uС

R = 3

Ом,

= 4 Ом.

Сω

Решение

1. Разделим схему на две подсхемы с

Рис. 4.3

частотами 0 и ω.

В первой подсхеметок равен нулю, так как XC0 = ∞. Тогда напряжение uC′ равно входному: uC′ = 200 В.

2. Во второй подсхеме вычислим комплекс максимального значения напряжения на емкостном элементе по закону Ома:

′′

250 2

′′

= − j

UCm = − j

C ω

R − j

= − j 4

− j 4

C ω

− j 90° 250

= 4e

= 200

e− j 37° В.

5e− j 53°

Тогда uC′′ = 2002 sin(ωt −37°) В.

3. Запишем закон изменения напряжения uC в исходной схеме: uC = 200 +2002 sin (ωt −37°) В.

Следующие задачи решите самостоятельно.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-215-

ГЛАВА 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Тема 1 Однофазные цепи несинусоидального тока

Задача 4

Найти закон изменения напряжения на

зажимах

источника

тока

(рис.

4.4),

если

J (t)

J (t)= 2sin ωt +1sin 3ωt

А,

R =12 Ом,

=12 Ом.

C ω

Рис. 4.4

Ответ: u =34sin (ωt −45°)

+12,6sin (3ωt −18,43°) В.

Задача 5

Найти

закон

изменения

напряжения u2 (рис. 4.5),

если

u1 = 30 +50

sin ωt

В,

R = 30 Ом, Mω =20 Ом,

L1 ω=L2 ω = 40 Ом.

Рис. 4.5

Пояснение крешению

di1

Закон

изменения

напряжения

= M

, поэтому постоянной составляющей оно содержать

не будет.

Ответ: u2 = 28sin (ωt +37°) В.

Задача 6

Вычислить мгновенные

значения токов во всех ветвях и

показания приборов

электромагнитной системы в схеме

рис. 4.6, если

Е = 40 В, Е

=30 В,

е = 60 +30sin (ωt +60°)+

+60sin (2ωt −20°) В, L1 ω=10 Ом,

L2 ω=30 Ом,

= 40 Ом,

C ω

R = 60 Ом.

Рис. 4.6

Решение

1.Разделим схему на три подсхемы с частотами 0, ωи 2ω.

2.Вычислим искомые величины в первой подсхеме с частотой, равной

0 (рис. 4.7).

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-216-

ГЛАВА 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Тема 1 Однофазные цепи несинусоидального тока

Индуктивный

элемент

сопротивления постоянному

току

i′

не

оказывает

(X L

= L 0

= 0),

i2′

поэтому в схеме на его месте

изображают «закоротку».

UV′

Сопротивление

емкостного

элемента постоянному току

= ∞, поэтому в схемев

C 0

Рис. 4.7

этом месте будет разрыв.

ЭДС

Е0 = 60

В – постоянная

составляющая разложенной в ряд Фурье несинусоидальной ЭДС е. Подсхема получилась одноконтурнойстоком i′ = i2′ = E0 R− E2 =

60 −30

= 0,5

А.

Ток

i1′ = 0.

I′A = 0 .

Показания

амперметра

′′

1 i′′

Показания

вольтметра

определяем

как

разность

i2′′

потенциалов:

UV′ = −E1 + E2 = −10 В.

3. Вычислим требуемые по

условию

величины

во

второй

подсхеме счастотой ω (рис. 4.8).

Рис. 4.8

ЭДС е1 – первая гармоника

разложенной

ряд

Фурье

несинусоидальной ЭДС е. В подсхеме один источник энергии, поэтому рационально сделать расчет методом эквивалентных преобразований для комплексов максимальных значений.

Комплексное сопротивление ветви с током i1′′

Z1" = j L1 ω− j C1ω = j10 − j 40 = − j30 Ом.

Комплексное сопротивление ветви с током i2′′

Z"2 = jL2ω= j30 Ом.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-217-

ГЛАВА 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Тема 1 Однофазные цепи несинусоидального тока

Комплексное сопротивление параллельного участка

"		Z1″ Z 2″		− j30 j30
Z12	=		=			= ∞.
		Z1″ + Z 2″		− j30	+ j30

Ток i′′= 0 . В подсхеме наблюдается режим резонанса токов. Ток

i2″ = −i1″.

Падения напряжения на резисторе нет, поэтому

U12′′ m = E1m =30e j60°В.

Комплекс максимального значения тока

′′

30e

j60°

30e

j60°

I2′′m =

U12m

=1e

− j30°

А.

j30

30e j90°

″

Мгновенное значение тока i2′′ =1sin (ωt −30°) А. Мгновенное значение

тока i1′′= −i2′′ =1sin(ωt +150°) А.

Амперметр показывает действующее значение тока

I1′′= I1′′m2 = 0,7 А.

Показания вольтметра определим по формуле

UV′′ = C1ω I1′′= 40 0,7 = 28 В.

4. Вычислим требуемые величины в третьей подсхеме с частотой 2ω. Ее графическое изображение не отличается от второй подсхемы (рис. 4.8).

Вместо ЭДС е1		действует е2 – вторая гармоника разложенной в ряд Фурье
несинусоидальной ЭДС. Значения реактивных сопротивлений изменятся.
Комплексное сопротивление первой ветви
'''			1		i	′′′	R		i′′′
Z1	= j 2L ω−			= j (20 −20)= 0 .	i			1
		1	2Cω						i2′′′
		1	2Cω		e2

									L2
									L2

 Теоретические основы электротехники. Практикум	Рис. 4.9	-218-
	Рис. 4.9

ГЛАВА 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Тема 1 Однофазные цепи несинусоидального тока

Подсхему можно изобразить в виде, представленном на рис. 4.9.

Ветвь с током i2′′′

закорочена, поэтому ток i2′′′= 0. В подсхеме один ток

′′′

= i

′′′

E2m

60e− j20°

=1e

− j20°

А.

. Комплекс максимального значения Im =

Мгновенное значение тка

i′′′ =i1"' =1sin(2ωt −20°) А.

Амперметр показывает ток

I′A′′ = I1′′m2′ = 0,7 А.

Вычислим показания вольтметра:

UV′′′ = 2C1ω I1′′′= 20 0,7 =14 В.

4. Определим требуемые по условию величины в схеме. Мгновенные значения токов:

i =i′+i′′′= 0,5 +1sin(2ωt −20°) А;

i1 =i1′′+i1′′′=1sin(ωt +150°)+1sin(2ωt −20°) А; i2 =i2′ +i2′′ = 0,5 +1sin(ωt −30°) А.

Амперметр показывает ток

I A = (I′A′ )2 +(I′A′′)2 = 0,72 +0,72 =1 А.

Вольтметр показывает напряжение

UV = (UV′ )2 +(UV′′ )2 +(UV′′′)2 = 102 +282 +142 =33 В.

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-219-

ГЛАВА 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Тема 1 Однофазные цепи несинусоидального тока

Задача 7

Вычислить

показания

вольтметра

магнитоэлектрической

системы

(рис.

4.10),

если

вольтметры

электромагнитной

системы

показывают

напряжения

=80 В,

= 40 В.

Коэффициент

Рис. 4.10

Решение

трансформации K =1.

включают

как

постоянную, так

все

Показания вольтметра

гармонические составляющие: UV

U02 + ∑Uk2

Показания вольтметра V

содержат

только

гармонические

составляющие,

так

как постоянное

напряжение не трансформируется: UV

∑Uk2

Вольтметр магнитоэлектрической системы V1

показывает только постоянную

составляющую напряжения, поэтому

= 69 В.

UV =

UV2 −UV2

802 −402

Следующие

задачи

решите

самостоятельно.

А1

Задача 8

Определить

показания

приборов

А2

электромагнитной системы в схеме рис. 4.11,

если i2 =10 +10sin ωt +10sin 2ωt

А, R =12Ом,

Lω= 6 Ом,

=12

Ом.

C ω

UV =169,7

I1 = 20

Рис. 4.11

Ответ:

В,

А,

I2 =14,14 А.

Задача 9

С V

Определить показания вольтметра

магнитоэлектрической

системы

(рис.

4.12), если

u =100 +141sin100t

В,

R =100

Ом,

C =100 мкФ.

Ответ: UV =100 В.

Рис. 4.12

Для самоконтроля решите задачи 10–13.

 Теоретические основы электротехники. Практикум	-220-
	Рис. 4.13

ГЛАВА 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Тема 1 Однофазные цепи несинусоидального тока

Задача 10

Вычислить I2m в схеме рис. 4.13, если

u =100sin(ωt +ψ1)+40sin(2ωt +ψ2 ) В, I1m =50A .

Ответ: I2m =10 А.

Задача 11

Вычислить X L = Lω всхемерис.4.14,

если u =U

sin(ωt +45°), R =

=40

Cω

Ом, i = I1msinωt .

Ответ: X L =80 Ом.

Рис. 4.14

Задача 12

Вычислить значения I1, I3,

I и UR в схеме рис. 4.14, если R = 60 Ом,

3Lω=

=30 Ом, u = 400

В.

2sin(ωt +50°)+180

2sin3ωt

3Cω

Ответ: I1 = 4А; I3 =3 А; I = 5 А; U R =300 В.

Задача 13

(А1 иV1) и

Вычислить

показания

приборов магнитоэлектрической

электромагнитной (А2 иV2 )

систем (рис. 4.15), если R = R1 =10 Ом, Lω =10

Ом,

=16 Ом,

u = 50 +30sin(ωt + 45°)+ 20sin(2ωt −15°) В.

Cω

u	L	С	R	V1		V2
А1 А2
	Рис. 4.15
Ответ: I A = 5	А; UV = 0 ;	IA	= 5,19	А; UV	2	=12 В.
1	1	2			2

Занятие 2

Цели занятия:

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-221-

ГЛАВА 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Тема 1 Однофазные цепи несинусоидального тока

1.Научиться определять показания ваттметра в цепях при несинусоидальных периодических воздействиях.

2.Научиться вычислять коэффициент мощности.

3. Ознакомиться с особенностями расчетов мощностей в цепях с несинусоидальными воздействиями.

Активную мощность получают суммированием активных мощностей всех подсхем:

Р = Р0 + Р1 + Р2 + + Рk + .

Реактивную мощность вычисляют суммированием реактивных мощностей подсхем с синусоидальными токами:

Q = Q1 +Q2 + +Qk + .

Полную мощность определяют как произведение действующих значений напряжения и тока в схеме: S =U I .

Эти три мощности, в отличие от цепей синусоидального тока, обычно не образуют прямоугольный треугольник:

S2 ≥ P2 +Q2 .

Величину Т = S2 − P2 −Q2 называют мощностью искажения.

Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности и иногда приравнивают к косинусу некоторого условного угла θ:

χ = РS = cosθ.

Углу θ можно дать графическую интерпретацию, пользуясь понятиями эквивалентных синусоид тока и напряжения, действующие значения которых равны действующим значениям несинусоидальных величин. Угол сдвига фаз между эквивалентными синусоидами тока и напряжения будет равен

условному углу

θ в случае, если мощность,

вычисляемая по

формуле

P =Uэ Iэ cosθ,

будет

равна

мощности,

потребляемой

цепью

несинусоидального тока.

Рассмотрим целевые задачи на конкретных примерах.

Задача 1

Определить мощность, которую показывает ваттметр в

схеме на

рис. 4.16, если R1 = 60 Ом,

R2 = R3 = 30 Ом,

L1ω = 40 Ом, L2ω = Mω = 20 Ом,

= 80 Ом, u =120

sin ωt −30

cos2ωt

В.

Cω

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-222-

ГЛАВА 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Тема 1 Однофазные цепи несинусоидального тока

*	R1
* W
	L1
u	С
	С
	L2
	R3
	R2

Рис. 4.16

Решение

1. Воспользуемся эквивалентной развязкой магнитных связей,

правило которой изложено на с. 83.

Эквивалентная схема замещения без магнитных связей приведена на рис. 4.17.

	R1
I
1
	X L	− X M
	1
		XM
U	− X M	XC
X L	− X M
2
	R2	R3
	R2

Рис. 4.17

2.Разделим схему на две подсхемы с частотами ω и 2ω.

3.Рассчитаем комплекс действующего значения общего тока впервой

подсхеме с частотой ω методом эквивалентных преобразований.

Эквивалентное комплексное сопротивление подсхемы

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-223-

ГЛАВА 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Тема 1 Однофазные цепи несинусоидального тока

						1
	[R2 + j(L2			ω− Mω)] R3	+ j Mω−

Z ′ = R1 + j(L1 ω− M ω)+						Cω		=
			+ j(L	ω− Mω)+ R		1
	R				+ j Mω−

		2	2	3			Cω

= 60 + j20

30(30

− j60)

60 + j20 +

30 67e− j63°

= 60 + j20 + 23,69e− j18° =

60 − j60

84,85e

− j45°

= 60 + j20 + 22,53 − j7,32 =82,53 + j12,68 =83,5e j8,7°Ом.

′

120

− j8,7°

Тогда ток I

=1,44e

А.

Z′

83,5e j8,7°

Определим показания ваттметра в первой подсхеме:

PW =U1

I1 cosϕ =120 1,44 cos8,7° =170,8 Вт.

′

Можно воспользоваться формулой комплексной мощности:

PW′

= Re(S′W )= Re U1

I1′

= Re(120 1,44e j8,7°)=170,8 Вт.

Вычислим комплекс действующего значения общего тока во второй

подсхеме с частотой 2ω.

Комплексное эквивалентное сопротивление

[R2

+ j(2L2ω− 2Mω)]

+ j 2Mω−

Z ″ =

R + j(2L

ω− 2Mω)+

2Cω

+ j(2L2ω− 2Mω)+ R3

+ j 2Mω−

2Cω

= 60 + j40 +

30 30

= 60 + j40 +15 = 75 + j40 = 85e j28°Ом.

30e− j90°

Ток I1′′=

= 0,35e− j118°

А.

Z ″

85 j j28°

Определим показания ваттметра во второй подсхеме:

PW′′

=U2 I1′′cosϕ′′ = 30 0,35 cos 28° = 9,27 Вт

 Теоретические основы электротехники. Практикум

-224-

ГЛАВА 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Тема 1 Однофазные цепи несинусоидального тока

либо PW′′			*	= Re(30e− j90° 0,35e j118° )= 9,27
либо PW′′	= Re(S"W )= Re U	2	I"	= Re(30e− j90° 0,35e j118° )= 9,27	Вт.
			1

6.	Определим показания ваттметра в исходной схеме:
	PW = PW′ + PW′′ =170,8 +9,27 ≈180 Вт.