ГЛАВА 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Тема 1 Однофазные цепи несинусоидального тока
Задача 6
Найти коэффициент мощности, если i =1+ 
2 sin ωt А,
u =10 +10
2 sin(ωt +30°)+10
2 sin 3ωt .
Ответ: χ= 0,76.
Тема2 Высшие гармоники в трехфазных цепях
Занятие1
Цели занятия:
1. Научиться находить законы изменения электрических величин
втрехфазных цепях при несинусоидальных периодических воздействиях.
2.Научиться определять показания электроизмерительных приборов.
Трехфазную систему несинусоидальных ЭДС раскладывают в ряд Фурье.
Гармоники с номерами k = 3n +1, где n =0, 1, 2, , образуют прямую
последовательность чередования фаз, т. е. обычную симметричную систему ЭДС.
Гармоники с номерами k = 3n −1, где n =1, 2, 3, , образуют обратную последовательность чередования фаз, аналогичную прямой, в которой фазы В
и С поменялись местами. |
|
n =1, 2, 3, , образуют нулевую |
|
Гармоники с номерами k = 3n , |
где |
||
последовательность |
чередования |
фаз, |
представляющую собой три |
одинаковых вектора. |
|
|
|
При анализе |
трехфазных цепей несинусоидального тока используют |
||
метод наложения. |
|
|
|
Расчет подсхем с прямой и обратной последовательностями чередования фаз принципиально не отличается от расчета цепей с симметричной системой ЭДС.
В подсхемах с нулевой последовательностью чередования фаз наблюдаются следующие особенности:
1.Линейные напряжения не содержат гармоник, кратных трем.
2.В трехпроводной цепи линейные токи не содержат гармоник, кратных трем.
3.В трехпроводной цепи фазные напряжения приемника не содержат гармоник, кратных трем.
4.При соединении фаз приемника трехпроводной звездой при симметричной нагрузке возникает напряжение смещения нейтрали за счет гармоник, кратных трем.
5.При соединении звездой четырехпроводной ток в нейтральном проводе образует гармоники, кратные трем.
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-227- |
ГЛАВА 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Тема 2 Высшие гармоники в трехфазных цепях
6. При соединении фаз обмоток генератора треугольником в контуре возникает уравнительный ток за счет гармоник, кратных трем.
Рассмотрим целевые задачи на конкретных примерах.
Задача1
Вобмотке генератора наводится несинусоидальная ЭДС, разложенная
вряд Фурье: eф =160sin ωt +80sin 3ωt + 20sin 5ωt В. Вычислить фазные и
линейные напряжения при соединении фаз обмоток генератора звездой и треугольником.
Решение
1. При соединении фаз обмоток звездой фазное напряжение содержит все три гармоники. Действующее значение несинусоидальной функции определяют по формуле
|
1 |
|
|
|
|
=127 В. |
|||
UфY = |
|
|
U12m +U32m +U52m |
= 0,7 |
1602 +802 + 202 |
||||
|
|
|
|||||||
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Линейные напряжения не содержат гармоник, кратных трем. Поэтому при расчете учитывают две подсхемы: с первой и пятой гармониками. Первая гармоника образует прямую последовательность чередования фаз, пятая –
обратную. В обоих случаях линейное напряжение в 
3 раз больше фазного:
Uл1 = |
|
Uф1 и Uл5 = |
|
|
|
Uф5. Таким образом, |
|
|
|||||||||
3 |
|
3 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
UлY = |
|
|
|
U12m +U52m |
= |
|
|
|
1602 |
+ 202 |
=197 В. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. При соединении фаз обмоток генератора треугольником Uф =U л . Линейное напряжение не содержит гармоник, кратных трем. Поэтому
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
=114 В. |
|||
Uф =Uл |
= |
|
|
U12m +U52m |
= |
|
|
1602 + 202 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача2
Фазы обмоток генератора, находящегося в режиме холостого хода, соединены треугольником (рис. 4.18). Вычислить ток в обмотках генератора,
если E1m = 
2 125 В, E3m = 
2 51 В, R =1,3 Ом, L ω = 2,8 Ом.
Решение
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-228- |
ГЛАВА 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Тема 2 Высшие гармоники в трехфазных цепях
Результирующая ЭДС контура в каждой подсхеме равна геометрической или комплексной сумме ЭДС трех фаз. В первой подсхеме, где действует первая гармоника, образующая прямую последовательность чередования фаз, результирующая ЭДС равна 0. Поэтому тока в первой подсхеме нет.
|
eС |
R |
|
|
|
R |
|
L |
|
|
|
L |
|
eA |
eB |
R |
L |
Рис. 4.18
Во второй подсхеме, где действует третья гармоника, образующая нулевую последовательность чередования фаз, результирующая ЭДС равна утроенному значению ЭДС одной фазы. Возникает уравнительный ток
|
|
E3m |
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
|
|
|
|
|
|
||||
I = 3E3 = |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
51 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
= |
2 |
|
|
|
= |
|
= 6 А. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3Z3 |
R2 + (3Lω)2 |
|
|
1,32 + (3 2,8)2 |
|
|
1,32 +8,42 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
На первичную обмотку трехфазного трансформатора, соединенную |
|||||||||||||||||||||
звездой трехпроводной |
(рис. 4.19), подают |
|
напряжение с частотой |
||||||||||||||||||
f = 50 Гц. Во вторичной обмотке возникает несинусоидальное напряжение, дающее при разложении в ряд Фурье значения U1 = 500 В, U3 =175 В, U5 =100 В. Определить показание вольтметра, если RV → ∞.
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-229- |
ГЛАВА 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Тема 2 Высшие гармоники в трехфазных цепях
V 
Рис. 4.19
Решение
Фазы вторичной обмотки трансформатора образуют «открытый» треугольник. Напряжение вольтметра в каждой подсхеме равно геометрической сумме напряжений на фазах. В первой подсхеме с прямой последовательностью чередования фаз показания вольтметра равны нулю. Во второй подсхеме с нулевой последовательностью чередования фаз показания вольтметра UV 3 = 3U3 = 3 175 = 525 В. В третьей подсхеме с обратной
последовательностью чередования фаз геометрическая сумма напряжений на фазах равна нулю. Показание вольтметра UV =525В.
Следующие задачи решите самостоятельно.
Задача4
Определить показания приборов электромагнитной системы (рис. 4.20),
если еА = 80
2 sin ωt +30
2 sin 3ωt + 60
2 sin 5ωt В, Lω =1 Ом, генератор
симметричный.
Ответ: I =10 А; UV =100 В.
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-230- |
ГЛАВА 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Тема 2 Высшие гармоники в трехфазных цепях
A |
|
eА |
eС |
|
B |
||
e |
eB |
|
V2 |
С |
|
|
eА |
|
A |
|
|
V |
|
eB |
|
|
|
|
|
|
C |
|
V1 |
Рис. 4.20 |
|
|
Рис. 4.21 |
Задача5
Определить показания вольтметров электромагнитной системы (рис.
4.21), если еА = 80sin ωt +60sin(3ωt +30°) В.
Ответ: UV1 =127 В; UV2 = 70,7 В.
Задача6
Определить показания вольтметров электромагнитной системы (рис. 4.22), если фазная ЭДС симметричного трехфазного генератора
еф = 80
2 sin ωt + 60
2 sin 3ωt В.
eА A
eB |
V2 |
N |
B |
eС C
V1
Рис. 4.22
Ответ: UV1 =100В; UV2 =138,6 В.
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-231- |
ГЛАВА 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Тема 2 Высшие гармоники в трехфазных цепях
|
|
Задача7 |
|
|
|
|
|
|
|
Найти |
мгновенное |
значение тока |
|
ib |
в схеме |
рис. |
4.23, если |
||
еА =120sin ωt +20sin(3ωt +30°) +12sin(5ωt −30°) |
В, |
1 |
= 30 |
Ом. |
|||||
|
Сω |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить показания вольтметров (RV →∞) электромагнитной системы. |
|||||||||
|
A |
|
|
|
a |
|
|
|
|
V |
eА |
|
|
|
|
С |
V |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ia |
2 |
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
||
|
V4 |
|
|
|
n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
С |
|
||
eС |
|
eB |
|
С |
|
|
|
||
C |
V3 |
B |
c |
iс |
|
ib |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|||||
Рис. 4.23
Решение
1.Делим схему на три подсхемы с частотами ω,3ω и 5ω.
2.В первой подсхеме с трехфазной системой ЭДС, образующих
прямую последовательность чередования фаз, e1B =120sin(ωt −120°) В. Приемник симметричный, поэтому Uф.п =Uф.г .
Комплекс максимального значения тока
I1mb = |
E1mB |
|
= |
120e− j120° |
= |
120e− j120° |
= 4e− j30° A. |
|
1 |
|
− j30 |
30e− j90° |
|||||
|
− j |
|
|
|
|
|
|
|
|
Cω |
|
|
|
|
|
|
|
Мгновенное значение тока
i1b = 4sin(ωt −30°) А.
3. Во второй подсхеме действуют ЭДС нулевой последовательности чередования фаз. Схема представляет собой соединение звездой трехпроводной. По первому закону Кирхгофа геометрическая сумма токов в узле равна нулю. Но три одинаковых тока в сумме нуль дать не могут, поэтому токи в подсхеме отсутствуют.
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-232- |
ГЛАВА 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Тема 2 Высшие гармоники в трехфазных цепях
4. В третьей подсхеме трехфазная система ЭДС образует обратную последовательность чередования фаз, поэтому
e5B =12sin(5ωt +90°) В.
Комплекс максимального значения тока
I5mb = |
E5mB |
|
= |
12e j90° |
= |
12e j90° |
= 2e j180° А. |
|
1 |
|
− j6 |
6e− j90° |
|||||
|
− j |
C 5ω |
|
|
|
|
|
|
Мгновенное значение тока
i5b = 2sin(5ωt +180°) А.
5. Мгновенное значение тока
ib =i1b +i5b = 4sin(ωt −30°)+2sin(5ωt +180°) А.
6. |
Первый вольтметр показывает напряжение на фазе генератора: |
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
UV = |
|
|
|
U12m +U32m +U52m |
= |
1202 +202 +122 |
=86 В. |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Второй |
|
вольтметр показывает |
напряжение на |
фазе приемника. |
||||||||
В трехпроводной цепи оно не содержит гармоник, кратных трем, поэтому
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
=85 В. |
||
U |
|
= |
|
|
U 2 |
+U 2 |
= |
|
1202 +122 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
V2 |
2 |
|
|
1m |
5m |
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8. Третий вольтметр показывает линейное напряжение:
UV3 = 
32 
U12m +U52m = 
32 
1202 +122 =148 В.
Подробно решение этого пункта рассмотрено в задаче 1 (см. с. 200).
9. Четвертый вольтметр показывает напряжение смещения нейтрали, которое возникает за счет гармоник, кратных трем:
UV4 = U32m = 202 =14,1 В.
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-233- |
ГЛАВА 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Тема 2 Высшие гармоники в трехфазных цепях
|
|
|
Задача8 |
|
|
Определить |
показания |
амперметров в схеме |
(рис. 4.24), |
если |
|
eA =100sin(ωt +60°)+80sin(3ωt −45°)+60sin(5ωt +30°)+40sin(6ωt −30°) |
В, |
||||
Lω =10 Ом. |
|
|
|
|
|
|
A |
|
A1 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
eА |
|
|
L |
|
|
N |
|
A2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
eС |
eB |
|
L |
L |
|
C |
|
B |
c |
b |
|
Рис. 4.24
Решение
1. Делим схему на четыре подсхемы с частотами ω,3ω, 5ω и 6ω.
В схеме есть нейтральный провод, поэтому во всех подсхемах напряжения на фазах приемника равны соответствующим напряжениям на фазах генератора. Амперметры показывают действующие значения токов, поэтому произведем их расчет в каждой подсхеме.
2. В подсхеме с частотой ω линейный ток
I1A = I1a = |
E1A |
= |
E1Am |
= |
100 |
= 7 А. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 Lω |
|
2 10 |
||||||
|
Lω |
|
|
|
|
|||||
Ток в нейтральном проводе
I1nN = I1a + I1b + I1c = I1a + I1aa2 + I1aa = 0.
3. В подсхеме с частотой 3ω линейный ток
I |
3A |
= I |
3a |
= |
E3A |
= |
|
E |
3Am |
= |
|
80 |
=1,89 А. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3Lω 2 3Lω 2 30 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-234- |
ГЛАВА 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Тема 2 Высшие гармоники в трехфазных цепях
Ток в нейтральном проводе
|
I3nN = I3a + I3b + I3c = I3a + I3a + I3a = 3 I3a . |
||||||||||||||||||||||
Отсюда |
I3nN = 5,67 А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
В подсхеме с частотой 5ω линейный ток |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
I5A = I5a = |
|
E5A |
= |
|
E5Am |
= |
|
|
60 |
|
= 0,85 А. |
|||||||||||
|
|
5Lω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 5Lω |
2 50 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ток в нейтральном проводе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= 0 . |
||||
|
I5nN = I5a + I5b |
|
+ I5c = I5a + I5a a + I5a a |
|
|||||||||||||||||||
5. |
В подсхеме с частотой 6ω линейный ток |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
I6A |
= I6a = |
|
E6A |
|
= |
|
E6Am |
|
= |
|
40 |
|
|
= 0,47 А. |
||||||||
|
6 Lω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 6 Lω |
|
2 60 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ток в нейтральном проводе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
I6nN = I6a + I6b + I6c = I6a + I6a + I6a = 3I6a . |
||||||||||||||||||||||
Тогда ток I6nN =1,42 А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. |
Первый амперметр показывает действующее значение линейного |
||||||||||||||||||||||
тока:
I= 
I12A + I32A + I52A + I62A = 
72 +1,892 +0,852 +0,472 = 7,45 А.
7.Второй амперметр показывает действующее значение тока в нейтральном проводе:
InN = 
I32nN + I62nN = 
5,672 +1,422 =5,85 А.
Следующие задачи решите самостоятельно.
Задача9
Записать законы изменения ЭДС фаз В и С симметричного генератора,
если eA =100
2 sinωt +50
2 sin(3ωt −15°)+30
2 sin(5ωt +20°) В.
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-235- |
ГЛАВА 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Тема 2 Высшие гармоники в трехфазных цепях
Задача10
Определить показание амперметра электромагнитной системы в схеме рис. 4.25, если ЭДС фазы симметричного трехфазного генератора меняется по
закону eф = 20
2 sinωt +8
2 sin3ωt +6
2 sin9ωt В, R = 2 Ом. eА R
eB R
N 
n eС R
А
Рис. 4.25
Ответ: I =15 А.
Для самоконтроля решите задачи 11 и 12.
Задача11
Определить показания приборов электромагнитной системы в схеме на
рис. 4.26, при |
замкнутом |
и разомкнутом ключе К, если |
|||
еА =100 |
|
sinωt +30 |
|
sin3ωt В, |
Lω =2 Ом. |
2 |
2 |
||||
eА |
Lω |
eА |
|
1 |
eB |
|
А |
Сω |
|
Lω |
eB |
1 |
||
N |
n |
|
||
|
Сω |
|||
eС |
|
|
|
|
Lω |
N |
|
n |
|
|
|
eС |
|
1 |
|
|
|
Сω |
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
V |
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.26 |
|
Рис. 4.27 |
|
|
|
|
|
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-236- |
ГЛАВА 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Тема 2 Высшие гармоники в трехфазных цепях
Ответ:
а) при замкнутом ключе I A =15 А; UV = 0 В; б) при разомкнутом ключе IA = 0 А; UV =30 В.
Задача12
Определить показания приборов электромагнитной системы в схеме рис. 4.27, если ЭДС фазы симметричного трехфазного генератора
еф =100
2 sinωt +60
2 sin3ωt В, С1ω =10 Ом.
Ответ: I A =10 А; UV = 60 В.
Теоретические основы электротехники. Практикум |
-237- |