ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема1 Расчет действующих значений токов и напряжений

Изучение этой темы предоставляет возможность оперировать показаниями измерительных приборов электромагнитной и электродинамической систем, а также выполнять расчеты при последовательном или параллельном соединении приемников без использования комплексных чисел.

Занятие1

Цели занятия:

1.Научиться строить векторные диаграммы для цепей с последовательным и параллельным соединением приемников.

2.Научиться применять закон Ома для действующих значений.

3.Научиться вычислять потребляемую схемой мощность.

Рассмотрим первую целевую задачу занятия.

Действующим значением тока I считают такой постоянный ток, который производит тот же тепловой эффект, что и реальный переменный ток. Действующие значения обозначают заглавными печатными буквами:

I,U, E .

Законы Кирхгофа для действующих значений не выполняются. Оперировать действующими значениями позволяют прямоугольные треугольники, которые получаются при построении векторных диаграмм.

Схема замещения цепи с последовательным соединением приемников изображена на рис. 2.1.

Рис. 2.1

Построим векторную диаграмму. Построение начнем с вектора величины, общей для данной цепи. При последовательном соединении элементов такой величиной является ток. Вид диаграммы зависит от характера цепи. Построение векторной диаграммы для цепи, имеющей активно-индуктивный характер, т. е.

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 1 Расчет действующих значений токов и напряжений

X L > XC и X > 0, показано на рис. 2.2.

Входное напряжение складывается из напряжений на трех идеальных элементах при учете сдвига фаз. Напряжение на резисторе совпадает с током по фазе. Напряжение на индуктивном элементе опережает ток на 90°, на емкостном – отстает на 90°.

Полученный при построении векторной диаграммы треугольник ОАВ изображен на рис. 2.3.

Угол ϕ = ψu − ψi – угол сдвига фаз тока и полного напряжения.

Треугольник ОАВ дает возможность оперировать действующими значениями:

U= UR2 +(UL −UC )2 ,

ϕ= arctg UL −UC ,

UR

U R =U cosϕ, U L −UC =U sin ϕ.

Схема замещения цепи с параллельным соединением приемников изображена на рис. 2.4.

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 1 Расчет действующих значений токов и напряжений

Построение векторной диаграммы начинаем с вектора напряжения, которое является одинаковым для всех элементов схемы. Векторная диаграмма для случая, когда X L < XC , приведена на рис. 2.5.

Ток в неразветвленной части схемы складывается из токов трех параллельных ветвей при учете сдвига фаз. Ток через резистор совпадает с напряжением по фазе, через индуктивный элемент отстает от напряжения на 90°, ток через конденсатор опережает его на 90°.

Полученный при построении векторной диаграммы треугольник токов ОАВ изображен на рис. 2.6.

IR A

0 ϕ

IL − IC

I

B

Рис. 2.6

Из свойств треугольника токов получаем следующие соотношения, позволяющие оперировать действующими значениями:

емкостное сопротивление.

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 1 Расчет действующих значений токов и напряжений

Закон Ома для действующих значений при последовательном соединении приемников примет вид

U = Z I .

Из свойств треугольника сопротивлений получаем соотношения

Z= R2 + X 2 = R2 + (X L − XC )2 ;

ϕ= arctg XR ;

R = Z cosϕ; X = Z sin ϕ.

Полное сопротивление любого количества последовательно соединенных приемников

Z = (∑R)2 +(∑X L −∑XC )2 .

UIR =G

ϕ

Рис. 2.8

Разделив все стороны треугольника токов на напряжение, получим подобный ему треугольник проводимостей (рис. 2.8), где Y – полная

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 1 Расчет действующих значений токов и напряжений

проводимость; G – активная проводимость; B = BL − BC – реактивная проводимость; BL – индуктивная проводимость; BC – емкостная проводимость.

Закон Ома для действующих значений при параллельном соединении примет вид

I = Y U .

Из свойств треугольника проводимостей получаем соотношения

Y = G2 + B2 ;

G= Y cosϕ; B = Y sin ϕ;

ϕ= arctg GB

Полная проводимость любого количества параллельно соединенных приемников

Y = (∑G)2 +(∑BL −∑BC )2 .

Перейдем к рассмотрению третьей целевой задачи.

Умножением всех сторон треугольника напряжений на ток получаем треугольник мощностей (рис. 2.9).

ϕ

UR I = P

Рис. 2.9

Активная мощность

P =UR I = R I 2 =U I cosϕ

характеризует энергию, которая передается в одном направлении от генератора к приемнику. Она связана с резистивными элементами.

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 1 Расчет действующих значений токов и напряжений

Реактивная мощность Q = UL −UC I = X I 2 =U I sinϕ характеризует

часть энергии, непрерывно циркулирующей в цепи и не совершающей полезной работы. Она связана с реактивными элементами.

Полная (кажущаяся) мощность S =U I = P2 +Q2 .

Активную мощность измеряют в ваттах (Вт), реактивную – в вольтамперах реактивных (вар), полную – вольтамперах (В А).

Задача1

Вычислить показание вольтметра, подключенного к зажимам индуктивной катушки, схема замещения которой представлена на рис. 2.10, если амперметр показывает ток I =10 А, R = 3 Ом, X L = 4 Ом.

A I

R

U V

X L

Рис. 2.10

Решение

1. Вольтметр показывает действующее значение входного напряжения U , которое можно вычислить по закону Ома:

U= Z I .

2.Полное сопротивление схемы

Z = R2 + X L2 = 32 + 42 =5 Ом.

Тогда напряжение на входе схемы

U = 5 10 = 50 В.

Входное напряжение можно вычислить другим путем, используя треугольник напряжений, полученный при построении векторной диаграммы

(рис. 2.11):

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 1 Расчет действующих значений токов и напряжений

U UL I

UR

Рис. 2.11

U = UR2 +UL2 = (R I )2 + (X L I )2 =

= 302 + 402 =50 В.

Следующие задачи решите самостоятельно.

Задача2

В схеме на рис. 2.12 первый вольтметр показывает напряжение 30 В, второй – 90 В, третий – 50 В.

Определить напряжение, которое показывает вольтметр на входе схемы.

Ответ: U = 50 В.

Рис. 2.12

Задача3

В схеме на рис. 2.13 первый амперметр показывает ток 6 А, второй – 20 А, третий – 12 А. Определить ток, который показывает амперметр на входе схемы.

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 1 Расчет действующих значений токов и напряжений

I A

Ответ: I =10 А.

Задача4

Определить, можно ли подключить цепь, схема замещения которой изображена на рис. 2.14, к сети с напряжением U = 66 В и частотой f = 50

Решение

1. По закону Ома для действующих значений

Uаb = Zаb I ; Ubс = Zbc I .

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 1 Расчет действующих значений токов и напряжений

3. Ток в цепи по закону Ома

I= UZ .

4.Полное сопротивление схемы

Z = (R1 + R2 )2 + (X L − XC )2 = (8 +3)2 +(49,5 − 49,5)2 =11 Ом.

катушке при подключении ее к сети постоянного тока того же напряжения?

Решение

1. Вычислим ток в катушке при подключении ее к сети переменного напряжения, воспользовавшись формулой активной мощности

P =U I cosϕ.

Отсюда

I~ = U P = 440 = 4 А.

cosϕ 220 0,5

2.Ток в катушке при подключении ее к сети постоянного напряжения можно найти по закону Ома I_ = UR , так как в схеме замещения (рис. 2.10)

остается только резистивный элемент (ω= 0, X L = L ω= 0).

3. Вычислим активное сопротивление из формулы активной мощности

ГЛАВА 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Тема 1 Расчет действующих значений токов и напряжений

Тогда I− = 27220,5 = 8 А.

Следующую задачу решите самостоятельно.

частотой f = 50 Гц ток I =100 А, активная мощность P =10000 Вт.

Пояснение к решению

Параметрами индуктивной катушки являются активное сопротивление R и индуктивность L .

Ответ: R =1 Ом, L = 0,002 Гн.

Для самоконтроля решите задачи 7–10.

Задача7

В цепь синусоидального тока (рис. 2.15) включены три амперметра электромагнитной системы. Определить показание амперметра А2 , если

амперметры А и А1 показывают соответственно I =10 А и I1 = 6 А.

R

A1

A XC

A2

Рис. 2.15

Ответ: I2 =8 А.

Задача8

Определить ток I и входное напряжение U схемы на рис. 2.16, если напряжение на емкостном элементе UC = 70,7 В, R =100 Ом, C = 2 мкФ,

ω= 5000 с-1.