156
.pdf
|
х |
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
11 |
||||||
x |
|
|
||||||
2 |
= |
2 |
|
; |
||||
|
|
|||||||
|
|
11 |
|
|||||
x |
3 |
= 0; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 = 0.
8.Общее решение однородной линейной системы
Рассмотрим однородную линейную систему m уравнений с n
неизвестными
a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0 |
|
||||
|
|
|
+ ... + a2n xn = 0 |
|
|
a21x1 + a22 x2 |
|
||||
.............................................. . |
(*) |
||||
|
|
|
|
|
|
a |
x + a |
x |
+ ... + a |
x = 0 |
|
m1 |
1 |
m2 2 |
mn |
n |
|
Рассматриваемая система получается из системы, рассмотренной в п. 7
путем обнуления столбца свободных членов. Следовательно, для нее также
имеет место теорема Кронекера-Капелли.
Но так как расширенная матрица A B для системы однородных уравнений получается из матрицы A системы добавлением столбца,
состоящего из одних нулей, то ранг матрицы A всегда равен рангу расширенной матрицы A B , т.е. однородная система всегда совместна.
Возможны два случая:
1. r = n , тогда однородная система имеет единственное нулевое
решение x1 = x2 = K = xn = 0 , называемое тривиальным. Действительно, все определители Aj , получаемые из главного определителя системы путем замены j -го столбца на столбец свободных членов, будут равны нулю, и по
формулам Крамера имеем x |
= x |
|
= K = x |
|
= |
|
0 |
= 0 . |
2 |
n |
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
A |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
2.Ранг матрицы системы r( A) < n . Предположим, что в базисный
минор входят коэффициенты первых r уравнений. Тогда оставшиеся m − r
уравнений являются линейными комбинациями, т.е. следствиями предыдущих. Поэтому можно оставить в системе только первые r уравнений
a x + a x |
2 |
+ K + a |
|
x |
n |
= 0 |
||||
|
11 |
1 |
12 |
|
1n |
|
|
|||
a21x1 + a22 x2 |
+ K + a2n xn |
= 0 |
||||||||
|
|
................................ |
. |
|||||||
|
|
|
||||||||
a |
r1 |
x + a |
r 2 |
x |
2 |
+ K + a |
rn |
x |
n |
= 0 |
|
1 |
|
|
|
|
Оставим в левой части каждого уравнения неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, а остальные неизвестные перенесем направо:
a11x1 + a12 x2 + K + a1r xr |
= −a1,r+1xr+1 − K − a1n xn |
|
|||||||||||||||||||||
a |
|
x + a |
22 |
x |
2 |
+ K + a |
2r |
x |
r |
= −a |
2,r+1 |
x |
r +1 |
− K − a |
2n |
x |
n |
|
|||||
|
21 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(**) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
................................ |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
x + a |
|
|
|
|
|
− K − a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a |
r 2 |
x |
2 |
+ K + a |
rr |
x |
r |
= −a |
r ,r+1 |
x |
r+1 |
rn |
x |
n |
|
||||||||
|
|
r1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта система будет иметь единственное решение относительно неизвестных x1 = x2 = K = xr , выражающее их через остальные неизвестные
(xr+1 ,K, xn ) , которым можно придавать любые произвольные значения.
Таким образом, однородная система при r( A) < n является неопределенной.
Подводя итог, заметим, что необходимым и достаточным условием нетривиальных решений однородной системы является условие r( A) < n , где
A – матрица коэффициентов при неизвестных переменных, n – число неизвестных. Для систем n уравнений с n неизвестными это равносильно утверждению, что определитель такой системы равен нулю.
43
Напомним, что неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор матрицы, называются базисными неизвестными, а
остальные – свободными неизвестными.
Покажем, что число линейно независимых решений системы (*) равно n − r . Действительно, рассмотрим столбцы вида
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
~ |
= |
|
0 |
, |
X r +1 |
K |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
= |
|
1 |
~ |
= |
|
0 |
, |
X r +2 |
K |
, …, X n |
K |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
содержащие по n − r чисел. Очевидно, что эти столбцы линейно независимы,
а любой другой столбец той же размерности является их линейной комбинацией.
Пусть эти столбцы задают значения свободных неизвестных системы
(*). Тогда базисные неизвестные будут однозначно определяться для выбранных свободных неизвестных из системы (**) , и все решения системы,
соответствующие наборам свободных неизвестных, образуют n − r линейно независимых столбцов, т.е. n − r линейно независимых решений системы (*).
Любые n − r линейно независимых решений системы (*) называются
ее фундаментальной системой решений.
Свойство 1. Сумма решений системы (*) является ее решением.
Свойство 2. Столбец решений (*), умноженный на любое число, тоже есть решение этой системы.
Следовательно, любая линейная комбинация фундаментальной системы решений системы (*) является ее решением.
44
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 + x2 + x3 + x4 = 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x − 3x |
2 |
+ 4x |
3 |
+ 2x |
4 |
= 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|||
|
Пример 32. Решить систему |
3x − 2x |
|
+ 5x + 3x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
= 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 4x |
2 |
+ 3x |
3 |
+ x |
4 |
= 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем матрицу системы |
2 |
|
4 |
|
2 |
Приведем матрицу к виду |
||||||||||||
A = |
|
|
− 2 |
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
0 |
Очевидно, r( A) |
< n , |
тогда система имеет бесконечное |
|||||||||||||
A = |
0 |
0 |
0 |
0 |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
множество решений. Решаем систему двух уравнений х1 + х2 + х3 + х4 = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 5х2 + х3 = 0 |
|
|
|||||||||
Пусть |
x1 , |
x2 |
- базисные |
неизвестные, |
а |
|
|
|
|
x3 , |
x4 |
|
- |
свободные |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
= − |
6 |
|
х |
− х |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
5 |
3 |
|
|||||
неизвестные. |
Тогда выразим из системы уравнений х1 и х2 : |
|
|
1 |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 = |
х3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|||||
Найдем фундаментальную систему решения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пусть x |
|
= 1, |
x |
|
= 0 . Тогда x |
= − |
6 |
, |
x |
|
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть x3 = 0 , x4 = 1. Тогда x1 = −1, |
x2 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Получена фундаментальная система решений: X1 = |
|
1 |
|
|
, |
X 2 |
= |
0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приложение
Задания по вариантам
46
Задание 1. Вычислить определитель матрицы по правилу треугольника, по правилу Саррюса и разложением по строке или столбцу.
Вариант |
Исходные данные |
Вариант |
Исходные данные |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
4 2 |
−3 |
2 |
2 2 |
3 |
|||||||
|
|
−3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
4 4 |
−1 |
|||||
|
|
|
4 3 |
|
|
|
|
3 2 |
|
|||
|
|
|
−1 |
|
|
−3 |
||||||
3 |
3 2 |
3 |
4 |
2 3 |
3 |
|||||||
|
|
2 |
4 |
5 |
|
|
5 |
4 |
2 |
|||
|
|
|
−7 |
|
|
|
−6 3 |
|
||||
|
2 |
1 |
|
|
1 |
|||||||
5 |
3 3 |
2 |
6 |
4 4 |
1 |
|||||||
|
|
4 5 |
2 |
|
|
|
3 2 |
−2 |
||||
|
|
−6 3 |
|
|
|
−3 2 |
|
|||||
|
|
1 |
|
|
3 |
|||||||
7 |
|
4 |
3 |
4 |
|
8 |
|
− |
5 |
− |
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 1 |
−2 |
|
|
|
3 2 |
4 |
||||
|
−3 −2 |
0 |
|
5 4 |
4 |
|||||||
9 |
−3 |
2 |
−1 |
10 |
3 −1 |
−3 |
||||||
|
|
2 |
2 |
3 |
|
|
|
2 |
4 |
2 |
||
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
2 4 |
3 |
|||||||
11 |
3 5 |
1 |
12 |
3 2 |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 4 |
−7 |
|
|
3 4 |
3 |
|||||
|
3 2 |
2 |
|
2 5 |
−6 |
|||||||
13 |
2 2 |
1 |
14 |
1 −2 |
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
5 |
3 |
|
|
4 |
2 |
2 |
|||
|
3 4 |
−6 |
|
4 3 |
−3 |
|||||||
15 |
4 −2 |
0 |
16 |
−1 4 |
4 |
|||||||
|
3 1 |
−2 |
|
|
5 2 |
4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 3 |
|
||
|
4 2 |
−3 |
|
|
5 |
|||||||
17 |
−1 3 |
4 |
18 |
−3 2 |
3 |
|||||||
|
|
|
2 2 |
−3 |
|
|
|
−1 4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
4 |
||||||
|
|
−3 2 |
4 |
|
3 2 |
2 |
47
|
1 |
7 |
2 |
|
|
|
|
|
−6 |
|
|||||
19 |
|
|
− |
|
|
|
20 |
|
1 |
3 |
|
||||
|
5 |
4 |
2 |
|
|
2 |
4 |
5 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
2 |
3 |
|
|
3 |
3 |
2 |
|||||||
21 |
|
1 |
3 |
6 |
|
|
22 |
|
|
|
|
−3 |
|
||
|
|
|
− |
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|||||
|
2 |
5 4 |
|
|
−2 2 |
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
3 |
3 |
|
|
1 |
4 |
4 |
|||||||
23 |
0 |
−2 −3 |
|
24 |
4 4 |
5 |
|||||||||
|
|
−2 |
1 2 |
|
|
|
|
4 2 |
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 5 |
|
|
|
||
|
4 |
3 4 |
|
|
|
−2 |
|||||||||
25 |
4 |
−3 |
4 |
|
26 |
3 4 |
2 |
||||||||
|
|
3 |
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
4 |
2 |
|
|||
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
−3 |
−1 |
|
|
|
||
|
|
2 −3 |
|
|
|
3 |
|||||||||
27 |
|
2 |
2 3 |
|
28 |
−6 5 |
2 |
||||||||
|
|
−7 |
4 2 |
|
|
|
|
3 4 |
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
5 |
3 |
|
|
1 |
2 |
3 |
||||||
29 |
−6 |
4 3 |
|
30 |
−3 3 |
4 |
|||||||||
|
|
3 |
5 |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
2 2 |
|
|
3 −2 |
1 |
|||||||||
Задание 2. Вычислить определитель. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вариант |
Исходные данные |
|
Вариант |
Исходные данные |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
3 |
2 3 |
|
2 |
2 3 |
3 |
|||||||||
|
|
2 |
4 |
5 |
|
|
|
|
5 |
4 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−6 3 |
|
|
|||
|
2 |
−7 1 |
|
|
|
|
1 |
||||||||
3 |
3 |
3 2 |
|
4 |
4 4 |
1 |
|||||||||
|
|
4 |
5 2 |
|
|
|
|
|
3 2 |
−2 |
|||||
|
|
−6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
−3 2 |
3 |
|||||||||
5 |
4 |
3 4 |
|
6 |
−2 5 |
−1 |
|||||||||
|
|
2 |
1 −2 |
|
|
|
|
3 2 |
4 |
|
|
||||
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 0 |
|
|
5 4 |
4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
−3 2 |
−1 |
|
8 |
3 −1 |
−3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
3 |
|
|
|
2 |
4 |
2 |
|||
|
4 −3 |
4 |
|
|
2 4 |
3 |
|||||||
9 |
3 5 |
1 |
|
10 |
3 2 |
1 |
|
||||||
|
|
2 |
4 |
−7 |
|
|
|
3 |
4 |
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 2 |
2 |
|
|
2 5 |
−6 |
|
||||||
11 |
2 2 |
1 |
|
12 |
1 −2 |
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
5 |
3 |
|
|
|
|
4 |
2 |
2 |
||
|
3 4 |
−6 |
|
|
4 3 |
−3 |
|||||||
13 |
4 −2 |
0 |
|
14 |
−1 4 |
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 1 |
−2 |
|
|
|
5 2 |
4 |
||||||
|
4 2 |
−3 |
|
|
|
−2 3 |
5 |
||||||
15 |
−1 3 |
4 |
|
16 |
−3 2 |
3 |
|||||||
|
|
2 2 |
−3 |
|
|
−1 4 |
4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
−3 2 |
4 |
|
|
3 2 |
2 |
|||||||
17 |
1 −7 |
2 |
|
18 |
1 3 |
−6 |
|||||||
|
5 |
4 |
2 |
|
|
|
2 |
4 |
5 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
2 |
3 |
|
|
3 |
3 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
−6 |
|
|
|
|
3 |
2 |
3 |
|
19 |
|
|
1 |
3 |
|
|
20 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 5 |
4 |
|
|
|
−2 |
2 |
3 |
|
||
|
|
2 |
3 |
3 |
|
|
1 |
4 |
4 |
||||
21 |
0 −2 |
−3 |
|
22 |
4 4 |
5 |
|||||||
|
|
−2 1 |
2 |
|
|
|
4 2 |
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 5 |
|
||
|
4 |
3 |
4 |
|
|
|
−2 |
||||||
23 |
4 −3 |
4 |
|
24 |
3 4 |
2 |
|||||||
|
|
3 |
2 |
2 |
|
|
|
2 |
4 |
2 |
|
||
|
|
−1 2 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
||
|
|
−3 |
|
|
−3 |
3 |
|||||||
25 |
2 2 |
3 |
|
26 |
−6 5 |
2 |
|||||||
|
|
−7 4 |
2 |
|
|
|
|
3 4 |
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
5 |
3 |
|
|
1 |
2 |
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
27 |
−6 |
4 |
3 |
28 |
−3 |
3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
2 |
|
2 |
2 |
4 |
|
1 |
2 |
2 |
|
3 |
−2 1 |
|
29 |
4 |
2 |
−3 |
30 |
2 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
2 |
2 |
|
4 |
4 |
−1 |
|
4 |
3 |
−1 |
|
3 |
2 |
−3 |
Задание 3. Вычислить определитель.
Вариант |
Исходные данные |
Вариант |
Исходные данные |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
−5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
−2 1 2 3 |
|
|
2 |
|
|
|
2 5 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 −3 1 −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 −5 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
−1 −1 4 −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 −3 −4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
3 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
−5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
−5 5 2 3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
−1 1 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−2 −5 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 −3 1 −4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 2 −3 −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 −1 4 −2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3 |
−3 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−1 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
2 1 −3 −3 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
2 −8 −3 −3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 −4 −2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 −1 −2 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 3 −3 −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 −1 −3 −2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 3 3 −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 −4 −2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
1 2 1 −3 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
−5 2 1 4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
3 |
5 |
−5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−1 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 2 −3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 −2 5 −1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 3 −4 −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 3 −4 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
9 |
|
|
|
−5 2 1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
−1 −5 −2 2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 1 −3 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 −5 2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
3 |
−1 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
−3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50
2 −3 1 −2 |
−2 4 −1 −1 |
11 |
|
4 −3 −2 −3 |
12 |
|
|
|
|
−4 1 −3 5 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
−1 −8 −1 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 1 −2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
2 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−5 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
−2 4 3 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
−4 −3 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
13 |
|
−4 1 4 5 |
|
|
14 |
|
|
|
|
|
3 1 −5 −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3 |
2 |
−1 |
−2 |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
−5 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
−4 2 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 −3 3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
15 |
3 |
−2 −5 −3 |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
1 −2 −4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
−5 4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 −3 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
−1 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
−3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
−1 5 −2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 −3 2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
17 |
|
−1 −3 1 2 |
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
2 −5 5 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
4 |
1 |
2 |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
−2 −4 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 3 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 −2 −5 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 −1 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
19 |
|
2 −5 5 3 |
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
−1 −3 1 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
−3 1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
2 |
−5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
−4 3 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 −4 3 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
21 |
|
−2 −3 −1 2 |
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
−1 5 −2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 −2 −1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 −1 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
−3 −3 −8 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 1 2 −5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 4 −1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 −4 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
23 |
−4 −3 2 2 |
|
|
|
|
24 |
|
−2 4 −1 3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 1 −5 −3 |
|
|
|
|
|
|
−4 1 −3 4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
2 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
2 |
1 |
−1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
1 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−5 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
25 |
|
2 −3 1 −2 |
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
2 3 3 −4 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 −3 −2 −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 1 −3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
−3 1 −4 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 5 −5 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
3 2 4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 −5 −2 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51